中考数学压轴题十大类型经典题
发布时间:2020-05-02 23:08:25
发布时间:2020-05-02 23:08:25
(2011吉林)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,CE⊥AD于点E,AD=8cm,BC=4cm,AB=5cm.从初始时刻开始,动点P,Q 分别从点A,B同时出发,运动速度均为1cm/s,动点P沿A-B-C-E方向运动,到点E停止;动点Q沿B-C-E-D方向运动,到点D停止,设运动时间为
(1) 当x=2s时,y=_____ cm2;当
(2)当5 ≤ x ≤ 14时,求y与x之间的函数关系式.
(3)当动点P在线段BC上运动时,求出
(4)直接写出在整个运动过程中,使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值.
(2007河北)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动;点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q向上作射线QK⊥BC,交折线段CD-DA-AB于点E.点P、Q同时开始运动,当点P与点C重合时停止运动,点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当点P到达终点C时,求t的值,并指出此时BQ的长;
(2)当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ∥DC ?
(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD、DA上时,S与t的关系式;
(4)△PQE能否成为直角三角形?若能,写出t的取值范围;若不能,请说明理由.
备用图
(2008河北)如图,在中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.点从点出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点从点出发沿方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点作射线,交折线BC-CA于点.点同时出发,当点绕行一周回到点时停止运动,点也随之停止.设点运动的时间是秒().
(1)两点间的距离是 ;
(2)射线能否把四边形分成面积相等的两部分?若能,求出的值.若不能,说明理由;
(3)当点运动到折线上,且点又恰好落在射线上时,求的值;
(4)连结,当时,请直接写出的值.
(2011山西太原)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形.直线
(1)点C的坐标为________,直线
(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.
(3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.
(4)随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线
1. (2011四川重庆)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=2
(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.
备用图1
备用图2
三、测试提高
1. (2011山东烟台)如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为
(1)求出点B、C的坐标;
(2)求S随t变化的函数关系式;
(3)当t为何值时S有最大值?并求出最大值.
备用图
1. (2011浙江温州)如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为 C,记点P关于y轴的对称点为P′ (点P′不在y轴上),连结P P′,P′A,P′C,设点P的横坐标为a.
(1) 当b=3时,
1 直线AB的解析式;
2 若点P′的坐标是(-1,m),求m的值;
(2)若点P在第一象限,记直线AB与P′C的交点为D.当P′D:DC=1:3时,求a的值;
(3)是否同时存在a,b,使△P′CA为等腰直角三角形?若存在,请求出所有满足要求的a,b的值;若不存在,请说明理由.
(2010武汉)如图,抛物线
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点 (不与点B重合),点Q在线段MB上移动,且∠MPQ=45°,设线段OP=x,MQ=
(3)在同一平面直角坐标系中,两条直线x=m,x=n分别与抛物线交于点E,G,与(2)中的函数图象交于点F,H.问四边形EFHG能否为平行四边形? 若能,求m,n之间的数量关系;若不能,请说明理由.
备用图
(2011江苏镇江)在平面直角坐标系xOy中,直线
(1)若点E与点P重合,求k的值;
(2)连接OE、OF、EF.若k>2,且△OEF的面积为△PEF的面积2倍,求点E的坐标;
(3)是否存在点E及
(2010浙江舟山)△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=
(1)当点B在第一象限,纵坐标是
(2)如果抛物线
①当
②设b=
(湖北黄冈)已知二次函数的图象如图所示.
(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标;
(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设OQ的长为t,四边形NQAC面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)将△OAC补成矩形,使得△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程).
三、测试提高
1. (2011山东东营)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(
(1)记△ODE的面积为S.求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,且tan∠DEO=
(2011辽宁大连)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等,若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等,若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.
(2011湖北十堰)如图,己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点 B,与y轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(1),己知点H(0,-1).问在抛物线上是否存在点G (点G在y轴的左侧),使得S△GHC=S△GHA?若存在,求出点G的坐标,若不存在,请说明理由:
(3)如图(2),抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(﹣2,0),F是OC的中点,连接DF,P为线段BD上的一点,若∠EPF=∠BDF,求线段PE的长.
(2010天津)在平面直角坐标系中,已知抛物线
(Ⅰ)若
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE = S△ABC,求此时直线
(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE =2S△AOC,且顶点
(2011山东聊城)如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.点E、F、G分别从点A、B、C同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第ts时,△EFG的面积为Scm2.
(1)当t=1s时,S的值是多少?
(2)写出S与t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;
(3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似?请说明理由.
5. (2011江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2,点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.
(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是 .当t=3时,正方形EFGH的边长是 .
(2)当0<t≤2时,求S与t的函数关系式;
(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?
备用图
三、测试提高
1. (2010山东东营)如图,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长;
(2)设DE = x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值.
第四讲 中考压轴题十大类型之
三角形存在性问题
板块一、等腰三角形存在性
1. (2011江苏盐城)如图,已知一次函数
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l∥y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
(备用图)
(2009湖北黄冈)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程.
板块二、直角三角形
(2009四川眉山)如图,已知直线
(1)求该抛物线的解析式;
(2) 动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标.
(2010广东中山)如图所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线上时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PWQ.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:
(1)说明△FMN∽△QWP;
(2)设
(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.
板块三、相似三角形存在性
(3) (2011湖北天门)在平面直角坐标系中,抛物线
(1)直接填写:
(2)在
(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标.
(备用图)
三、测试提高
1. (2009广西钦州)如图,已知抛物线
(1)填空:点C的坐标是_____,b=_____,c=_____;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
第五讲 中考压轴题十大类型之
四边形存在性问题
1. (2009黑龙江齐齐哈尔)直线
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点Q的运动时间为t秒,△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;
(3)当
(2010河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线
2. (2011黑龙江鸡西)已知直线
(1)试确定直线BC的解析式;
(2)若动点P从A点出发沿AC向点C运动(不与A、C重合),同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C、A重合),动点P的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S,P点的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当△APQ的面积最大时,y轴上有一点M,平面内是否存在一点N,使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
3. (2007河南)如图,对称轴为直线x=
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)①当四边形OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
4. (2010黑龙江大兴安岭)如图,在平面直角坐标系中,函数
(1)求直线AM的解析式;
(2)试在直线AM上找一点P,使得S△ABP=S△AOB ,请直接写出点P的坐标;
(3)若点H为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形?若存在,请直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.
三、测试提高
1. (2009辽宁抚顺)已知:如图所示,关于x的抛物线
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;
(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
第六讲 中考压轴题十大类型之
线段之间的关系
1. (2010天津)在平面直角坐标系中,矩形
(Ⅰ)若
(Ⅱ)若
(2011四川广安)四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,
∠BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大?并求出最大值.
(2011四川眉山)如图,在直角坐标系中,已知点A(0,1),B(
(1) 求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2) 抛物线上有一动点P,设点P到x轴的距离为
(3) 在(2)的条件下,请探究当点P位于何处时,△PAC的周长有最小值,并求出△PAC的周长的最小值.
(2011福建福州)已知,如图,二次函数
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线
2. (2009湖南郴州) 如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,-1),且P(-1,-2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在,请求出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.
图1 图2
3. (2010江苏苏州)如图,以
(1)求抛物线的解析式;
(2)设
(3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点
三、测试提高
1. (2009浙江舟山)如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线
(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
(2)平移抛物线
①当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式;
②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
第七讲 中考压轴题十大类型之定值问题
1. (2011天津)已知抛物线
(Ⅰ)求抛物线
(Ⅱ)①若抛物线
②抛物线
(Ⅲ)将抛物线
(2009湖南株洲)如图,已知△ABC为直角三角形,,,点、在轴上,点坐标为(,)(),线段与轴相交于点,以(1,0)为顶点的抛物线过点、.
(1)求点的坐标(用表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结并延长交于点,试证明:为定值.
(2008山东济南)已知:抛物线(a≠0),顶点C (1,),与x轴交于A、B两点,.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断是否为定值? 若是,请求出此定值;若不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP ,FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合,G与E、B不重合),请判断是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(2011湖南株洲)孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线
(1)若测得
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点
(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点
(2009湖北武汉)如图,抛物线经过
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点
(3)在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且
三、测试提高
1. (2009湖南湘西)在直角坐标系xOy中,抛物线
与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,其中A在B的左侧,B的坐标是(3,0).将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C.
(1) 求k的值;
(2) 求直线BC和抛物线的解析式;
(3) 求△ABC的面积;
(4) 设抛物线顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且
∠APD=∠ACB,求点P的坐标.
、
第八讲 中考压轴题十大类型之
几何三大变换问题
1. (2009山西太原)问题解决:如图(1),将正方形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点,重合),压平后得到折痕.当时,求的值.
(2011陕西)如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或边CD(含端点)交于点F,然后再展开铺平,则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.
(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形;
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的中点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F的坐标;
(3)如图③,在矩形ABCD中, AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标;若不存在,为什么?
图① 图② 图③
(2010江西南昌)课题:两个重叠的正多边形,其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题.
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1=α(α<∠A1A0A2),θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6所表示的角如图所示.
(1)用含α的式子表示:θ3=_________,θ4=_________,θ5=_________;
(2)图1-图4中,连接A0H时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在,请选择其中的一个图给出证明;若不存在,请说明理由;归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合(其中,A1与B1重合),现将正n边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α(
(3)设θn与上述“θ3,θ4,…”的意义一样,请直接写出θn的度数;
(4)试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下,是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在,请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在,请说明理由.
(2009山东德州)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
(2010江苏苏州)刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,
(1)在
(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:
问题①:当
问题②:当
问题③:在
请你分别完成上述三个问题的解答过程.
三、测试提高
1. (2009湖南常德)如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.
第九讲 中考压轴题十大类型之
实践操作、问题探究
1. (2009陕西)问题探究
(1)请在图①的正方形
(2)请在图②的正方形
问题解决
(3)如图③,现在一块矩形钢板
CP ′D钢板,且∠APB=∠CP ′D=60°.请你在图③中画出符合要求的点和P ′,并求出的面积(结果保留根号).
(2011江西)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
设
活动一:
如图甲所示,从点
数学思考:
(1) 小棒能无限摆下去吗?答:______.(填“能”或“不能”)
(2) 设
1
2 若记小棒
活动二:
如图乙所示,从点
数学思考:
(1) 若已经向右摆放了3根小棒,则
(2) 若只能摆放4根小棒,
求
(2009浙江义乌)已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数图象的其中一个伴侣正方形.
(1)若某函数是一次函数,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;
(2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m <2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;
(3)若某函数是二次函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________,写出符合题意的其中一条抛物线解析式________,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数?________.(本小题只需直接写出答案)
(2011江苏南京)
问题情境
已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?
数学模型
设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为.
探索研究
(1)我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数
填写下表,画出函数的图象
x | …… | 1 | 2 | 3 | 4 | …… | |||
y | …… | …… | |||||||
②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;
③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数
解决问题
(2)用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.
(2011黑龙江哈尔滨)已知:在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB,BD=BC,CD交线段AB于点E.
(1)如图1,当∠ACB=90°时,则线段DE、CE之间的数量关系为 ;
(2)如图2,当∠ACB=120°时,求证:DE=3CE;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F是BC边的中点,连接DF,DF与AB交于G,△DKG和△DBG关于直线DG对称(点B的对称点是点K),延长DK交AB于点H. 若BH=10,求CE的长.
三、测试提高
1. (2010北京)问题:已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA.
探究∠DBC与∠ABC度数的比值.
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
(1) 当∠BAC=90︒时,依问题中的条件补全下图.
观察图形,AB与AC的数量关系为 ;
当推出∠DAC=15︒时,可进一步推出∠DBC的度数为 ;
可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ;
(2) 当∠BAC≠90︒时,请你画出图形,研究∠DBC与∠ABC
度数的比值是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以
证明.
第十讲 中考压轴题十大类型之圆
1. (2011湖南湘潭)已知,AB是⊙O的直径,AB=8,点C在⊙O的半径OA上运动,PC⊥AB,垂足为C,PC=5,PT为⊙O的切线,切点为T.
(1)如图(1),当C点运动到O点时,求PT的长;
(2)如图(2),当C点运动到A点时,连结PO、BT,求证:PO∥BT;
(3)如图(3),设
(2010广东广州)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.
(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
(2011福建莆田)已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.
(1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.
①猜想验证:如图2,猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;
②拓展运用:如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断
(2010四川成都)在平面直角坐标系
(1)求直线
(2)如果P是线段
(3)设⊙Q的半径为1,圆心
(2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若A点关于直线
(3)如图2,在(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆.过原点O作⊙O1的切线OP,P为切点(P与点C不重合),抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由.
三、测试提高
1. (2011广西崇左)已知抛物线y=x2+4x+m(m为常数)经过点(0,4).
(1)求m的值;
(2)将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两个条件:它的对称轴(设为直线l2)与平移前的抛物线的对称轴(设为直线l1)关于y轴对称;它所对应的函数的最小值为-8.
①试求平移后的抛物线的解析式;
②试问在平移后的抛物线上是否存在点P,使得以3为半径的圆P既与x轴相切,又与直线l2相交?若存在,请求出点P的坐标,并求出直线l2被圆P所截得的弦AB的长度;若不存在,请说明理由.
第十一讲 中考压轴题综合训练一
1. (2011河南)如图,在平面直角坐标系中,直线
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为
②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.
备用图
(2009浙江台州)如图,已知直线
(1)请直接写出点C,D的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑,直至顶点落在轴上时停止.设正方形落在轴下方部分的面积为,求关于滑行时间的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围;
(4)在(3)的条件下,抛物线也随正方形一起平移,同时停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积.
(2009四川成都)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N,且
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)过点A作x轴的垂线,交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
(2011湖北孝感)如图(1),矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中
(1)求点E、F的坐标(用含
(2)连接OA,若△OAF是等腰三角形,求
(3)如图(2),设抛物线
(2011浙江丽水)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0).以OA为直径在第一象限内作半圆C, 点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接CF.
(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似.若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
三、测试提高
1. (2011浙江金华)如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为(3,0)和(0,3
请解答下列问题:
(1)过A,B两点的直线解析式是 ;
(2)当t﹦4时,点P的坐标为 ;当t ﹦ ,点P与点E重合;
(3)① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为菱形,则t的值是多少?
② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ ∽△BEP?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第十二讲 中考压轴题综合训练二
1. (2011湖北咸宁)如图,在平面直角坐标系中,直线
(1)直接写出点A,B的坐标,并求直线AB与CD交点的坐标;
(2)动点P从点C出发,沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动;同时,动点M从点A出发,沿线段AB以每秒
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1,求t的值;
②点Q是点B关于点A的对称点,问BP+PH+HQ是否有最小值,如果有,求出相应的点P的坐标;如果没有,请说明理由.
备用图1 备用图2
(2011江苏苏州)已知二次函数
(1)如图①,连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a的值;
(2)如图②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).”若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;
(3)如图②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标t是大于3的常数,试问:是否存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.
(2010浙江舟山)如图,在菱形ABCD中,AB=2cm,
∠BAD=60°,E为CD边中点,点P从点A开始沿AC方向以每秒
(1) 当点P在线段AO上运动时.
①请用含x的代数式表示OP的长度;
②若记四边形PBEQ的面积为y,求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(2) 显然,当x=0时,四边形PBEQ即梯形ABED,请问,当P在线段AC的其他位置时,以P,B,E,Q为顶点的四边形能否成为梯形?若能,求出所有满足条件的x的值;若不能,请说明理由.
(2011北京)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把由两条射线AE,BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C.
已知A(
(1)求两条射线AE,BF所在直线的距离;
(2)当一次函数
(3)已知□AMPQ(四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上,且不都在两条射线上,求点M的横坐标x的取值范围.
2. (2011广东珠海)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=1,BC=2.将点A折叠到CD边上,记折叠后A点对应的点为P(P与D点不重合),折痕EF只与边AD、BC相交,交点分别为E、F.过点P作PN∥BC交AB于N、交EF于M,连结PA、PE、AM,EF与PA相交于O.
(1)指出四边形PEAM的形状(不需证明);
(2)记∠EPM=a,△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2.
① 求证:
② 设AN=x,y=