Ａ、乘法速算

一、十位数是1的两位数相乘

乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：15×17

15 + 7 = 22

5 × 7 = 35

---------------

255

即15×17 = 255

解释：

15×17

=15 ×（10 + 7）

=15 × 10 + 15 × 7

=150 + （10 + 5）× 7

=150 + 70 + 5 × 7

=（150 + 70）+（5 × 7）

为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。 连在一起就是255，

例：17 × 19

17 + 9 = 26

7 × 9 = 63

即260 + 63 = 323

二、个位是1的两位数相乘

方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。

例：51 × 31

50 × 30 = 1500

50 + 30 = 80

------------------

1580

因为1 × 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。

例：81 × 91

80 × 90 = 7200

80 + 90 = 170

------------------

7370

1

------------------

7371

原理大家自己理解就可以了。

三、十位相同个位不同的两位数相乘

被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上去。

例：43 × 46

（43 + 6）× 40 = 1960

3 × 6 = 18

----------------------

1978

例：89 × 87

（89 + 7）× 80 = 7680

9 × 7 = 63

----------------------

7743

四、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘

十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

例：56 × 54

(5 + 1) × 5 = 30--

6 × 4 = 24

----------------------

3024

例: 73 × 77

(7 + 1) × 7 = 56--

3 × 7 = 21

----------------------

5621

例: 21 × 29

(2 + 1) × 2 = 6--

1 × 9 = 9

----------------------

609

“--”代表十位和个位，因为两位数的首位相乘得数的后面是两个零，请大家明白，不要忘了，这点是很容易被忽略的。

八、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。

两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾数相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。

例：78 × 38

7 × 3 + 8 = 29--

8 × 8 = 64

-------------------

2964

例：23 × 83

2 × 8 + 3 = 19--

3 × 3 = 9

--------------------

1909

Ｂ、平方速算

一、求11～19 的平方

底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：17 × 17

17 ＋ 7 = 24-

7 × 7 = 49

---------------

289

三、个位是5 的两位数的平方

十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。

例：35 × 35

（3 + 1）× 3 = 12--

25

----------------------

1225

七、任意多位数乘法：



    1.两个个位数相乘之积（写个进十）得一数；



    2.个位与十位交叉相乘之积加进位得一数；



    3.个位与百位交叉相乘之积加两个十位相乘之积再加进位得一数；

4.十位与百位相乘之积加进位得一数

有这样一件事：

一次去农村信用合作社取16500元现金，柜员顺手给我刚清点完的1万元后，非常麻利地在珠算上拨上16500元，再拨下去1，珠算上还剩6500。我愕然......

说说我自己吧。小学时就曾专门学过数学速算法，上学期间数学成绩一直名列前茅,工作后也是跟数字打交道,但日常生活中总感觉口算能力欠佳。

随着日常生活中电子计算机的深入应用，人的惯性思维以及惰性、依赖心理所致，口算反应速度怠慢，只有运用一定的方法加强练习才能提高。春节晚会上有一节目，一小朋友们特别能算，当问之：你怎么这么厉害？！那小朋友脱口而出：我妈妈是街头卖白菜的。噢......

第一讲 加法速算

一、凑整加法

凑整加法就是凑整加差法,先凑成整数后加差数,就能算的快。

例：128+19=? 计算时先将19凑成20, 128加20等于148, 148减1等于147

        117＋26=? 计算程序是117+3=120, 26-3=23,120+23=143

二、补数加法

补数加法速度快,主要是没有逐位进位的麻烦。补数就是两个数的和为10 100 1000 等等。8+2=10 78+22=100 8是2的补数，2也是8的补数，78是22的补数，22也是78的补数。利用补数进行加法计算的方法是十位加1，个位减补。

例：27+18=？    27+20=47     47-2=45

       867+898=？   867+1000=1867 1867-102=1765

第二讲 减法速算

一、两位减一位补数减法

两位数减一位数的补数减法是:十位减1,个位加补。

如 116-8=？ 116-10=106 106加上8的补数2就是108。

二、多位数补数减法

补数减法就是减1加补,三位减两位的方法:百位减1,十位加补。

如268－89＝？,计算程序是268减100等于168,168加89的补数11就等于179。

    115－28＝？,115减去30等于85, 85加个位28的补数2等于87。

三、调换位置的减法

两个十位数互换位置,有速算方法:十位数减个位数,然后乘以9,就是差数。

如86－68＝？,计算程序是8－6＝2,2乘以9等于18。

四、多位数连减法

多位数连减,采用补数加减数的方法达到速算。先找到被减数的补数,然后将所有的减数当成加数连加,再看和的补数是多少,和的补数就是所求之差数。

举例说明:653－35－67－43－168＝？,先找被减数653的补数,653的补数是347,然后连加减数347＋35＋67＋43＋168＝660,660的补数为340,差数就得340 。



第三讲 乘法速算

112=121   122= 144   132=169    142=196    152=225

162=256   172=289    182=324    192=361   

一、两个20以内数的乘法

两个20以内数相乘,将一数的个位数与另一个数相加乘以10,然后再加两个尾数的积,就是应求的得数。

如12×13＝?,计算程序是将12的尾数2,加至13里,13加2等于15,15×10＝150,然后加各个尾数的积得156,就是应求的积数。





二、一个数首尾互补且首尾相同的乘法

一个数首尾互补,而另一个数首尾相同,其计算方法是:头加1,然后头乘头为前积,尾乘尾为后积,两积相连为乘积。

如26×24＝？计算程序是:被乘数26的头加1等于3,然后头乘头,就是3×2＝6,尾乘尾6×4＝24,相连为624。

如37×33＝？,计算程序是(3＋1)×3×100＋7×3＝1221。

五.两个头互补尾相同的乘法

两个十位数互补,两个尾数相同,其计算方法是:头乘头后加尾数为前积,尾自乘为后积。

如48×68＝3264。计算程序是4×6＝24 24＋8＝32 32为前积,8×8＝64为后积,两积相连就得3264。

三、乘数加倍,加半或减半的乘法

在首同尾互补的计算上,可以引深一步就是乘数可加倍,加半倍,也可减半计算,但是:加倍、加半或减半都不能有进位数或出现小数,如48×42是规定的算法,然而,可以将乘数42加倍位84,也可以减半位21,也可加半倍位63,都可以按规定方法计算。48×21＝1008,48×63＝3024，48×84=4032。有进位数的不能算。如87×83＝7221,将83加倍166,或减半41.5,这都不能按规定的方法计算。

六、首同尾非互补的乘法

两个十位数相乘,首位数相同,而两个尾数非互补,计算方法:头加1,头乘头,尾乘尾,把两个积连接起来。再看尾和尾的和比10大几还是小几,大几就加几个首位数,小几就减掉几个首位数。加减的位置是:一位在十位加减,两位在百位加减。如36×35＝1260,计算时(3＋1)×3＝12 6×5＝30 相连为1230 6＋5＝11,比10大1,就加一个首位3,一位在十位加，1230＋30＝1260 36×35就得1260。再如36×32＝1152,程序是(3＋1)×3＝12,6×2＝12,12与12相连为1212,6＋2＝8,比10小2减两个3,3×2＝6,一位在十位减,1212－60就得1152。

七、一数相同一数非互补的乘法

两位数相乘,一数的和非互补,另一数相同,方法是:头加1,头乘头,尾乘尾,将两积连接起来后,再看被乘数横加之和比10大几就加几个乘数首。比10小几就减几个乘数首,加减位置:一位数十位加减,两位数百位加减,如65×77＝5005,计算程序是(6＋1)×7＝49，5×7＝35,相连为4935,6＋5＝11,比10大1,加一个7,一位数十位加。4935＋70＝5005

八、两头非互补两尾相同的乘法

两个头非互补,两个尾相同,其计算方法是:头乘头加尾数,尾自乘。两积连接起来后,再看两个头的和比10大几或小几,比10大几就加几个尾数,小几就减几个尾数,加减位置:一位数十位加减,两位数百位加减。如67×87＝5829,计算程序是:6×8＋7＝55,7×7＝49,相连为5549,6＋8＝14,比10大4,就加四个7,4×7＝28,两位数百位加,5549＋280＝5829

九、任意两位数头加1乘法

任意两个十位数相乘,都可按头加1方法计算:头加1后,头乘头,尾乘尾,将两个积连接起来后,有两比,这两比是非常关键的,必须牢记。第一是比首,就是被乘数首比乘数首小几或大几,大几就加几个乘数尾,小几就减几个乘数尾。第二是比两个尾数的和比10大几或小几,大几就加几个乘数首,小几就减几个乘数首。加减位置是:一位数十位加减,两位数百位加减。如:35×28＝980,计算程序是:(3＋1)×2＝8,5×8＝40,相连为840,这不是应求的 积数,还有两比,一是比首,3比2大1,就要加一个乘数尾,加8,二是比尾,5＋8＝13,13比10大3,就加3个乘数首,3×2＝6,8＋6＝14,两位数百位加,840＋140＝980。再如:28×35＝980, 计算程序是:(2＋1)×3＝9,8×5＝40,相连位940,一是比首,2比3小1,减一个乘数尾,减5,二是比尾,8＋5＝13,比10大3,加三个3,3×3＝9,9－5＝4,一位数十位加,940＋40＝980。

第四讲 除法速算

1/2=0.5     1/3=0.3333    1/4=0.25    1/5=0.2

1/6=0.1666    1/7=0.1428   1/8=0.125    1/9=0.1111

10-20的两位数乘法及乘方速算



方法：尾数相乘，被乘数加上乘数的尾数（满十进位）



【例1】 1 2



　 X 1 3



----------



1 5 6



(1)尾数相乘2X3=6



(2)被乘数加上乘数的尾数12+3=15



(3)把两计算结果相连即为所求结果



【例2】 1 5



X 1 5



------------



2 2 5



(1)尾数相乘5X5=25（满十进位）



(2)被乘数加上乘数的尾数15+5=20，再加上个位进上的2即20+2=22 (3)把两计算结果相连即为所求结果



二、两位数、三位数乘法及乘方速算



a.首数相同，尾数相加和是十的两位数乘法 方法：尾数相乘，首数加一再相乘



【例1】 5 4



X 5 6



---------



3 0 2 4



(1)尾数相乘4X6=24直接写在十位和个位上



(2)首数5加上1为6，两首数相乘6X5=30



(3)把两结果相连即为所求结果



【例2】 7 5



X 7 5



----------



5 6 2 5



(1)尾数相乘5X5=25直接写在十位和个位上



(2)首数7加上1为8，两首数相乘8X7=56



(3)把两计算结果相连即可



b.尾数是5的三位数乘方速算



方法：尾数相乘，十位数加一，再将两首数相乘



【例】 1 2 5



X 1 2 5



------------



1 5 6 2 5



(1)尾数相乘5X5=25直接写在十位和个位上



(2)首数12加上1为13，再两数相乘13X12=156



(3)两计算结果相连



c.任意两位数乘法



方法：尾数相乘，对角相乘再相加，首数相乘



【例】 3 7



X 6 2



---------



2 2 9 4



(1)尾数相乘7X2=14（满十进位）



(2)对角相乘3X2=6；7X6=42，两积相加6+42=48（满十进位）8+1=9



(3)首数相乘3X6=18加上十位进上的4为18+4=22



(4)把计算结果相连即为所求结果



b.任意两位数及三位平方速算



方法:尾数的平方,首数乘尾数扩大2倍,首数的平方



[例] 2 3



X 2 3



---------



5 2 9



(1)尾数的平方3X3=9（满十进位）



(2)首尾数相乘2X3=6扩大两倍为12写在十位上（满十进位）



(3)首数的平方2X2=4加上十位进上的1为5



(4)把计算结果相连即为所求结果



c.三位数的平方与两位数的平方速算方法相同



[例] 1 3 2



X 1 3 2



------------



1 7 4 2 4



(1)尾数的平方2X2=4写在个位



(2)首尾数相乘13X2=26扩大2倍为52写在个位上（满十进位）



(3)首数的平方13X13=169加上十位进上的5为174



(4)把计算结果相连即为所求结果〖注意：三位数的首数指前两位数字！〗



三、大数的平方速算



方法：把题目与100相差，相差数称之为差数；先算差数的平方写在个位和十位上（缺位补零），再用题目减去差数得一结果；最后把两结果相连即为所求结果



【例】 9 4



X 9 4



-----------



8 8 3 6



(1)94与100相差为6



(2)差数6的平方36写在个位和十位上



(3)用94减去差数6为88写在百位和千位上



(4)把计算结果相连即为所求结果



十进制转二进制



十进制转二进制：



用2辗转相除至结果为1



将余数和最后的1从下向上倒序写 就是结果



例如302



302/2 = 151 余0



151/2 = 75 余1



75/2 = 37 余1



37/2 = 18 余1



18/2 = 9 余0



9/2 = 4 余1



4/2 = 2 余0



2/2 = 1 余0



故二进制为100101110



二进制转十进制



二进制转十进制



从最后一位开始算，依次列为第0、1、2...位



第n位的数（0或1）乘以2的n次方



得到的结果相加就是答案



例如:01101011.转十进制:



第0位:1乘2的0次方=1



1乘2的1次方=2



0乘2的2次方＝0



1乘2的3次方＝8



0乘2的4次方＝0



1乘2的5次方＝32



1乘2的6次方＝64



0乘2的7次方＝0



然后：1＋2＋0



＋8＋0＋32＋64＋0＝107．



二进制01101011＝十进制107

第21讲 乘法中的巧算

　　上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的方法。本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。

　　1.乘11，101，1001的速算法

　　一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得

　　a×11=a×(10＋1)=10a＋a，

　　a×101=a×(101＋1)=100a＋a，

　　a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。

　　例如，38×101=38×100＋38=3838。

　　2.乘9，99，999的速算法

　　一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得

　　a×9=a×(10-1)=10a-a，

　　a×99=a×(100-1)=100a- a，

　　a×999=a×(1000-1)=1000a-a。

　　例如，18×99=18×100-18=1782。

　　上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。

例1 计算：

(1) 356×1001

　　＝356×(1000＋1)

　　＝356×1000＋356

　　＝356000＋356

　　＝356356；

(2) 38×102

　　＝38×(100＋2)

　　＝38×100＋38×2

　　＝ 3800＋76

　　＝3876；

(3)526×99

　　＝526×(100-1)

　　＝ 526×100-526

　　＝ 52600-526

　　＝52074；

(4)1234×9998

　　＝ 1234×(10000-2)

　　＝1234×10000-1234×2

　　＝12340000-2468

　　＝12337532。

　　3.乘5，25，125的速算法

　　一个数乘以 5，25，125时，因为 5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到

　　例如，76×25＝7600÷4＝1900。

　　上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。

例2 计算：

(1) 186×5

　　=186×(5×2)÷2

　　=1860÷2

　　=930；

(2) 96×125

　　=96×(125×8)÷8

　　=96000÷8=12000。

　　有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。

例3 计算：

(1) 84×75

　　=(21×4)×(25×3)

　　=(21×3)×(4×25)

　　=63×100=6300；

(2)56×625

　　=(7×8)×(125×5)

　　=(7×5)×(8×125)

　　=35×1000=35000；

(3) 33×125

　　=32×125+1×125

　　=4000+125=4125；

(4) 39×75

　　=(32+1)×125 =(40-1)×75

　　=40×75-1×75

　　=3000-75=2925。

　　4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法

　　个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。例如：

　　仿此同学们自己算算下面的乘积

　　35×35＝______ 55×55＝______

　　65×65＝______ 85×85＝______

　　95×95＝______

　　这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位

　　数相乘的计算，例如，

 练习21

　　用速算法计算下列各题：

　　1.(1) 68×101； (2) 74×201；

　　(3) 256×1002； (4) 154×601。

　　2.(1)45×9；　　(2)457×99；

　　 (3)762×999； (4) 34×98。

　　3.(1)536×5； 　(2)437×5；

　　(3)638×15； 　(4)739×15。

　　4.(1)32×25； 　(2)17×25；

　　　(3)130×25；　(4)68×75；

　　(5)49×75； (6)87×75。

　　5.(1)56×125； (2)77×125；

　　(3)66×375； (4) 256×625；

　　(5)555×375； (6)888×875。

6.(1)295×295； (2)705×705。

多位数乘多位数

速算法的多位数乘法是完全建立在一位数乘法的基础上的。

一，基本规律

1.看看积的位数：设被乘数是n位数，乘数是m位数，那么积就是n+m位。

2.看看运算次数：任何两个多位数相乘，乘数和被乘数的每位数都要相乘一次，不能少乘也不能多乘。由于一位数乘n位数的相乘次数为n+1次，因此m位数乘n位数总乘数为（n+1）×m次。（含首位0）

3.看看运算顺序：采用高位算起，被乘数和乘数依一定程序同时从“逐位乘”的原理出发，通过找出相乘积的“同位数”将积的每个“同位数”分别相加，直接找出总积的每位数，边算边清位直接报出每位得数，达到“逐位清”。这种运算方法可以直呼得数，简化运算过程，快速，准确，方便。

同位数：相同数位上的数。数位：个位，十位，百位……叫数位。

如一个乘法的传统竖式：

     32

×  73  

    96

224    

2336

其中9和4就叫同位数。这个小学都有教吧。

二，计算方法

史丰收的多位数乘法，是直接找总积的每位数来进行的，而总积的每位数，就是所有各位数逐位相乘中所得到的各个“同位数”之和。

1.结合用手指记数

2.被乘数前面写0

3.乘数的首位与被乘数的尾位数对齐，这样写，利于看清楚运算程序，找相乘二数。以首尾相接为准，以前（左边）都是乘数的首数开头乘，简称“首开头”。以后（右边）都是被乘数的尾数开头乘，简称“尾开头”

4.书写积的每位数：积的首位数对准开头的0，后面逐位对齐，最后积刚好对到乘数的最后一位，因为被乘数首位前的0多出一位，而乘数与被乘数首尾对齐减了一位，所以总积数还是没有变

5.在相乘的积的“同位数”相加中，满10要进位

6.可以把“找积的每位数”的方法简要地表述为：

高位算起逐位清，

分清首尾开头乘，

挨位外移再相乘，

乘积相加再移位，

一方无数写得数。

上述统称为“外移法”。

“ 高位算起”包括所补的0。

“逐位清”表示算完本位接算下位。

“分清首尾开头乘”是让你要区分开什么时候用首开头乘,什么时候用尾开头乘。

“外移”指以首尾相接处为界限，被乘数向左移位，乘数向右移位。

“挨位外移再相乘”是指被乘数和乘数同时向外移一位，移位后二数相乘。这实际上表示着被乘数扩大十倍同时乘数缩小十倍，这两个数相乘后与原来相乘的积是同位数。

“乘积相加再移位”指把移位前后乘得的积相加起来，就是积的“同位数”相加（相加时，满十要进位）。

“一方无数写得数”指进行移位后如果被乘数或乘数中有一方没有数了就停止。相乘时按照一位数乘多位数的方法进行，算被乘数的本位要看它的后位定得数。

例：5618×234=？

 0 5 6 1 8

×           2 3 4   

 1 2.0.3.5.1 2

 1 3 1 4 6 1 2

1.首先在被乘数5618前面先加个0,变成乘数05618。再把乘数234的首位2和被乘数的尾位8对齐,写成上面那种形式。

2.按照一位数乘多位数的方法进行,0×2=0（高位算起，首开头）,0后是5进1,0+1=1,所以第一个数是1,首位对“0”写1。

3.2×5=0（逐位清，首开头），5后是6进1，0+1=1，手记1；0×3=0（挨位外移乘），0后是5进1，0+1=1，手中1+1=2（本来还可移位，但被乘数“0”前没数了，“一方无数写得数”，下同）

注：进位要写在前一位数的右下角，和小学时学的一样。 (例子中用 .  表示)

4.下面的就简写了，6×2=2（逐位清，首开头），手记2；5×3=6（挨位外移乘），手中2+6=8，手记8；0×4=2（再挨位外移乘），手中8+2=10，进1写0。

5.1×2=3（逐位清，首开头），手记3；6×3=8（挨位外移乘），手中3+8=11，进1，手记1；5×4=2（再挨位外移乘），手中1+2=3，进1写3。

6.8×2=6（逐位清，首开头），手记6；1×3=5（挨位外移乘），手中6+5=11，进1，手记1；6×4=4（再挨位外移乘），手中1+4=5，进1写5。

7.8×3=4（逐位清，尾开头），手记4；1×4=7（挨位外移乘），手中4+7=11，进1写1。

8.8×4=2（逐位清，尾开头），写2。

9.1203502加上进位后就是1314612，即乘积。

注：在多位数乘法里，同位数累加时，满十要进位，但一位数乘多位数时满十是不进位的，想一想，为什么？

有什么疑问的请提出来。多练习，你总会有收获的。

练习：

28×42=？ 736×47=？ 592×924=？ 8392×467=？ 68324×4075=？ 836937×791312=？

可能有人觉得上面的例子太复杂看不懂,那我下次就写个简单的。

用手指表示数

以手指为基础。脑记十位数，手示个位数，可以减少思维和计算上的负担，也有利于口算能力。

大多数人用右手写字，那我们就把左手就用来记数。

我们把与拇指方向相同的手指叫做该数的外指，与拇指方向相反的手指叫做该数的内指。

1.拇指屈表示1。这时1的外指是1，内指是4。

2.拇指，食指同时屈表示2。这时2的外指是2，内指是3。

……………………

5.五指全屈表示5。这时5的外指是5，内指是0。

6.拇指伸出表示6。这时6的外指是1，内指是4。

……………………

10.五指全伸表示0。这时0的外指是5，内指是0。

          0                  1                   2              3                   4                  5                     6                   7               8

         9                 演示

以上10个数字中， 有五对数(即0和5、1和6、2和7、3和8、4和9）的表示方法的指形姿势完全相反，并且每对数刚好相差5，在速算法中，我们把由1变到6，2变到7，这种伸、屈互变的动作称为反手。

加减指数基本类型

诸位在加减指算中须掌握凑数，尾数及补数等概念。指算乃加减运算的基础，初学时可能有点不习惯，切记要反复练习，熟能生巧。

凑数——两数之和等于5，它们互为凑数。如：1和4。

尾数——大于5而小于10的数，都可以分为5和几，这里的几就叫该数的尾数。如：6的尾数为1。

补数——两数之和为10，100，1000……它们互为补数。如：4和6。补数的两数具有前位之和是9，末位之和为10的特点，因此求一个数的补数只要按“前位凑9，末位凑10”即可求出。

为何快速计算法算得快？因在多位数乘多位数中，手指记数占有的功劳何只八成，这也是为何要将手指记数做为一个重点来掌握的原因。

下面乃一些指算的技巧，诸位别认为这些技巧太复杂，这些技巧看似大愚，实则大巧。若能熟练运用，定能运指如飞。

诸位可先掌握加法指算便可，因多位数乘多位数中只用到加法，而减法主要是用在多位数减法和多位数除法中的。

下面的手指记数在下说的不够详细，《快速计算法》中的原文就是这样，在下只补充了几点，有不明的地方还望诸位提出来，看看诸位的悟性如何，诸位切记，需自己思考才有收获，不明的地方请提出来，不是有一个不愿透露姓名的名人说过这么一句话吗——不懂就要问！

1、直加直减类

⑴直加——两数相加，第一加数在0-4或5-9之间而第二加数不超过5，计算时可以直接加上加数而求出和。如6+3，6的内指是4，因此，可直接伸3个手指得到9。下面的题目都可以直加：

0+1（2，3，4，5，）

1+1（2，3，4）

2+1（2，3）

3+1（2）

4+1

5+1（2，3，4，5）

6+1（2，3，4）

7+1（2，3）

8+1（2）

9+1

直加在指算中可归纳为如下口诀：“加看指，够加直加”。

在这里有两点值得注意：

①在直加运算中，由第一加数的内指加上第二加数时，应按“数群”一次屈指或伸指，不要一个手指一个手指的伸和屈。

②在这种类型中，有5+5，6+4，7+3，8+2，9+1两加数恰好互补，其和是10。应脑记十位进1，手示0。

③诸位初学时不必记住上面的题目练习时脑记住十位就行了，个位要留给手指记，这一点必须弄清楚，要练习到加上另一个加数时手指不用大脑去命令，手指就要自己会加。在下说得如此详细，诸位应该知道了吧。

⑵直减——两数相减，被减数在5-1或10-6之间，而减数不超过5，计算时可以直减得到差数。如8-2=？8的外指是3够减去2，因此可直减2而得到6。下面的题目都可直减：

1-1

2-1（2）

3-1（2，3）

4-1（2，3，4）

5-1（2，3，4，5）

6-1

7-1（2）

8-1（2，3）

9-1（2，3，4）

10-1（2，3，4，5）

其中，10-1（2，3，4，5）十位必须先退1（脑记的十位），然后由手指伸屈表示其差。直减指数可以归纳为如下口诀：“减看外指，够减直减”。

2、去补加还补减类

⑴去补加——两数相加，第二加数超过5，不能直接加入。如下列题目：

1+9

2+9（8）

3+9（8，7）

4+9（8，7，6）

6+9

7+9（8）

8+9（8，7）

9+9（8，7，6）

由于6=10-4，7=10-3，8=10-2，9=10-1，指算过程可以变成另一种形式。如：

8+7=8+（10-3）

   =10+（8-3）

    ↓    ↓

   进1   去补

8+7可以直接在手上减去3（7的补数），脑记十位进1。

因此，这种类型的指算可归纳成口诀：“直加不够，去补进1”。

⑵还补减——两数相减，减数超5，不能直减。如下列题目：

10-9（8，7，6）

11-9（8，7）

12-9（8）

13-9

15-9（8，7，6）

16-9（8，7）

17-9（8）

18-9

由于-6=-10+4，-7=-10+8，-8=-10+2，-9=-10+1，指算过程可以变成另一种形式。如：

16-7=16-（10-3）

    =（16-10）+3

        ↓    ↓

       退1   还补

16-7可以直接把脑记的十位退1后，手上加上3（7的补数）。

因此，这种类型的指算可归纳成口诀：“直减不够，退1还补”。

3、反手加反手减类

⑴反手加。

先研究这样的例子：1+5=6

当手指表示1时，屈1个指，伸4个指；当手指表示6时，屈4个指，伸1个指。

再看7+5=12

当手指表示7时，屈3个指，伸2个指；当手指表示2时，屈2个指，伸3个指。

从这里可以得出一个结论：当一个数加上5，可以由原来手上的手指直接反手得到（把伸的变为屈的，把屈的变为伸的）。不过，拇指由伸变为屈时要进1，因为如果拇指原先是伸的话，那表示的数是大于5的，加5要进1。这种加5的加法比较简单，但它却是其它反手加的基础。

①2+4

3+4（3）

4+4（3，2）

7+4

8+4（3）

9+4（3，2）

上式中由于4=5-1，3=5-2，2=5-3，因此指算过程可以变成另一种形式。如：

3+4=3+（5-1）

   =（3+5）-1

        ↓

     直反手凑

3+4可以直接反手后，手上减去1（4的凑数）。

因此，这种类型的指算可归纳成口诀：“去补不够，反手去凑”。

②0+6（7，8，9）

1+6（7，8）

2+6（7）

3+6

5+4（7，8，9）

6+6（7，8）

7+6（7）

8+6

上述中由于6=5+1，7=5+2，8=5+3，9=5+4，因此指算过程可以变成另一种形式。如：

2+7=2+（5+2）

   =（2+5）+2

        ↓

     直反手尾

2+7可以直接反手后，手上加上2（7的尾数）。

因此，这种类型的指算可归纳成口诀：“去补不够，反手还尾”。

⑵反手减。

先研究这样的例子：6-5=1

当手指表示6时，屈4个指，伸1个指；当手指表示1时，屈1个指，伸4个指。

再看12-5=7

当手指表示2时，屈2个指，伸3个指；当手指表示7时，屈3个指，伸2个指。

从这里可以得出一个结论：当一个数减去5，可以由原来手上的手指直接反手得到（把伸的变为屈的，把屈的变为伸的）。不过，拇指由屈变为伸时要从前位退1，因为如果拇指原先是屈的话，那表示的数是小于或等于5的，减去5前位要退1。这种减5的减法比较简单，但它却是其它反手减的基础。

①6-4（3，2）

7-4（3）

8-4

11-4（3，2）

12-4（3）

13-4

上式中由于-4=-5+1，-3=-5+2，-2=-5+3，因此指算过程可以变成另一种形式。如：

7-4=7-（5-1）

   =（7-5）+1

        ↓

     直反手凑

7-4可以直接反手后，手上加上1（4的凑数）。

因此，这种类型的指算可归纳成口诀：“还补不够，反手去凑”。

②6-6

7-6（7）

8-6（7，8）

9-6（7，8，9）

11-6

12-6（7）

13-6（7，8）

14-6（7，8，9）

上述中由于-6=-5-1，-7=-5-2，-8=-5-3，-9=-5-4，因此指算过程可以变成另一种形式。如：

8-6=8-（5+1）

   =（8-5）-1

        ↓

     直反手尾

8-6可以直接反手后，手上减去1（6的尾数）。

因此，这种类型的指算可归纳成口诀：“还补不够，反手去尾”。

公式：

1、直加直减类

加看指，够加直加

减看外指，够减直减

2、去补加还补减类

直加不够，去补进1

直减不够，退1还补

3、反手加反手减类

去补不够，反手去凑

去补不够，反手还尾

还补不够，反手去凑

还补不够，反手去尾

由速算大师史丰收经过10年钻研发明的快速计算法，是直接凭大脑进行运算的方法，又称为快速心算、快速脑算。这套方法打破人类几千年从低位算起的传统方法，运用进位规律，总结26句口诀，由高位算起，再配合指算，加快计算速度，能瞬间运算出正确结果，协助人类开发脑力，加强思维、分析、判断和解决问题的能力，是当代应用数学的一大创举。



这一套计算法，1990年由国家正式命名为“史丰收速算法”，现已编入中国九年制义务教育《现代小学数学》课本。联合国教科文组织誉之为教育科学史上的奇迹，应向全世界推广。

史丰收速算法的主要特点如下：



⊙从高位算起，由左至右

⊙不用计算工具

⊙不列计算程序

⊙看见算式直接报出正确答案

⊙可以运用在多位数据的加减乘除以及乘方、开方、三角函数、对数等数学运算上



演练实例一





□本文针对乘法举例说明

○速算法和传统乘法一样，均需逐位地处理乘数的每位数字，我们把被乘数中正在处理的那个数位称为「本位」，而从本位右侧第一位到最末位所表示的数称「后位数」。本位被乘以后，只取乘积的个位数，此即「本个」，而本位的后位数与乘数相乘后要进位的数就是「后进」。

○乘积的每位数是由「本个加后进」和的个位数即--



□本位积=（本个十后进）之和的个位数

○那么我们演算时要由左而右地逐位求本个与后进，然后相加再取其个位数。现在，就以右例具体说明演算时的思维活动。

（例题） 被乘数首位前补0，列出算式：

0847536×2=1695072

乘数为2的进位规律是「2满5进1」

0×2本个0，后位8，后进1，得1

8×2本个6，后位4，不进，得6

4×2本个8，后位7，满5进1，

8十1得9

7×2本个4，后位5，满5进1，

4十1得5

5×2本个0，后位3不进，得0

3×2本个6，后位6，满5进1，

6十1得7

6×2本个2，无后位，得2



在此我们只举最简单的例子供读者参考，至于乘3、4……至乘9也均有一定的进位规律，限于篇幅，在此未能一一罗列。

「史丰收速算法」即以这些进位规律为基础，逐步发展而成，只要运用熟练，举凡加减乘除四则多位数运算，均可达到快速准确的目的。

>>演练实例二

□掌握诀窍 人脑胜电脑



史丰收速算法并不复杂，比传统计算法更易学、更快速、更准确，史丰收教授说一般人只要用心学习一个月，即可掌握窍门。

对于会计师、经贸人员、科学家们而言，可以提高计算速度，增加工作效益；对学童而言、可以开发智力、活用头脑、帮助数理能力的增强。



参考资料：http://shifengshou.com/gb/htm/what_shifengshou.htm

史丰收速算法易学易用，算法是从高位数算起，记着史教授总结了的26句口诀（这些口诀不需死背，而是合乎科学规律，相互连系），用来表示一位数乘多位数的进位规律，掌握了这些口诀和一些具体法则，就能快速进行加、减、乘、除、乘方、开方、分数、函数、对数…等运算。

                                                                                             概述

乘法是快速计算法的基础。可是，两个多位数相乘，一直是从个位数算起，再到十位，百位……乘数有几位，就得到几排数，然后再从个位加起，最后得出乘积，中间过程繁多，且进位容易出错。

                                                                   速算乘法运算程序的建立

加法与乘法的运算可以从低位算起，也可以从高位算起，还可以从中间任何一位算起。

例如：345*2

          =300*2+40*2+5*2（从高位算起）

          =5*2+40*2+300*2（从低位算起）

          =40*2+5*2+300*2（从中间任何一位算起）

在日常生活中读写看都是从高位开始，但传统的计算法却是从低位算起，考虑到这种脱节，史丰收产生了乘数也从高位算起的想法，若把读写看算四者统一起来，在实际应用中就方便了。

要实现从高位算起，就必须先弄清“提前进位”的规律，“提前进位”的规律取决于相乘数的个位规律和进位规律的掌握。

我们来看一个普通加法的竖式：

     8344

       296

       543

       789

+   2004  

   11976

传统算法进位数与前位的个位数完全当成一回事，按前位的个位数来对待，这样便造成错觉，掩盖了加法运算的实质。

我们把“后进”和“本个”分裂开来，写成下面这种形式：

     8344

       296

       543

       789

+   2004  

   1122        →后位相加的进位（简称为“后进”）

+   0756      →本位相加的个位（简称为“本个”）

   11976

可以看到，和的首位为“后进”，尾位为“本个”，中间各位数都是“后进”加“本个”；又相加数最高位的“本个”为0，尾位的“后进”为0，因此可以说，和的每位数可统一为“后进”加“本个”。

再看一个乘法竖式：

       8342

×         4

     3110       →“后进”

+     2268     →“本个”

     33368

同加法一样，积的首位为“后进”，尾位为“本个”，中间各位数都是“后进”加“本个”；又相乘数最高位的“本个”为0，尾位的“后进”为0，因此可以说，积的每位数可统一为“后进”加“本个”。由此看来，乘法中积的每位数由高到低，是按由“后进”加“本个”逐位推移的方法运算得到的，因此必须先弄清“提前进位”的规律。而除法是乘法的逆运算，所以乘法是史丰收速算法的基础。

                      一位数乘多位数

 任何一个n位数乘以一位数，结果是一个n位数或n+1位数。例如，2345*3=7035，2345是四位数（n=4），乘以3，结果是四位数（n=4）。又如9999*9=89991，9999是四位数（n=4），乘以9，结果是五位数（n=4+1）。

但第一例中的乘积7035可以在它前面加个0，看成一个五位数07035。做这样的规定后，我们就可以统一地说一个n位数乘以一位数，结果是一个n+1位数。

做了上述的规定后，根据一般乘法规律，我们还可以得出一个结论：多位数乘以一位数时，得数中的第m位数，是由被乘数第m-1位数以及跟这位数的若干位数和乘数而确定的。

例如1757*2=3514按上述规定其积是03514，积的第3位数不是1而是5，它等于被乘数的第二位数7与乘数2相乘所得的个位数4，与7后的数5乘2所得的进位数1相加而得到。

由此可见，要确定乘积中第m位数，关键是要确定进位数，也就是说要找出进位规律来。

 下面是乘数分别是2-9的进位规律（求找过程略）

  乘数                                    进位规律

    2          满5进1 

    3          超3进1　超6进2 

    4          满25进1　满5进2　  满75进3 

    5          满2进1　满4进2　满6进3　满8进4 

    6          超16进1　超3进2　满5进3　超6进4　超83进5 

    7          超142857进1    超285714进2　超428571进3 　超571428进4　超714285进5　超857142进6 

    8          满125进1     满25进2　满375进3　满5进4  满625进5　满75进6　满875进7 

    9          超1进1　　超2进2　超3进3　超4进4　超5进5 超6进6　超7进7　超8进8

所谓“满”，是指≥的意思，“满5进一”指≥0.5时，以2乘之进1。

“超”，是指>的意思，“超3进1”指>0.333……时，以3乘之进1。

下面分别介绍乘数为2-9的具体速算法。

                乘数为1-9的具体速算法

一.乘数为1

这个大家都会吧！

二.乘数为2

1.积首的确定

满5进1

先确定积的第一位，如果被乘数首位≥5，那么积的首位就是1；反之首位为0（不用写）。

2.“本个”口诀

确定积的其余各位数，以下是口诀： （就是取积的个位数）

1*2=2   2*2=4   3*2=6   4*2=8   5*2=0

6*2=2   7*2=4   8*2=6   9*2=8   0*2=0   

例：5843*2=？

被乘数首位是5，所以积的首位就是1。因为积的第2位是由“本个”加“后进”所决定的，而被乘数第一位是5后一位是8，根据口诀5*2=0，“本个”为0，而8>5进1， “后进”为1，所以积的第2位是0+1=1。接下来，8*2=6，而4<5不进，所以积的第3位是6。再4*2=8，后一位3<5，得8。最后一个就是6了。于是我们得出5843*2=11686。



三.乘数为3

1.积首的确定

超3进1　超6进2

先确定积的第一位，如果被乘数首位>33333……而<6666……时，积的首位就是1，如334*3，426562*3等。如果被乘数首位>66666……时，积的首位就是2。

2.“本个”口诀

确定积的其余各位数，以下是口诀：

1*3=3   2*3=6   3*3=9   4*3=2   5*3=5

6*3=8   7*3=1   8*3=4   9*3=7   0*3=0

例：4738*3=？

被乘数首位是4超3，所以积的首位就是1。

被乘数第一位是4，按口诀4*3=2，4后一位是7超6进2，所以积的第2位是4。接下来，7*3=1，因为38超3进1，所以积的第3位是2。3*3=9，后面是8进2，9+2=得1（注：“本个”加“后进”>10时只取个位数）。最后一位是8，8*3=4。

最后我们得出473867*3=14214。



四.乘数为4

1.积首的确定

满25进1　满5进2　满75进3

2.“本个”口诀

确定积的其余各位数，以下是口诀：

1*4=4   2*4=8   3*4=2   4*4=6   5*4=0

6*4=4   7*4=8   8*4=2   9*4=6   0*4=0

例：24657*4=？

被乘数前两位是24<25，所以积的首位就是0（不写）。

被乘数第一位是2，按口诀2*4=8，2后一位是4>25进1，所以积的第2位是9。接下来，4*4=6，因为6>5进2，所以积的第3位是8。6*4=4，后面是5进2，得6。5*4=0，5<7<75进2，得2。7是最后一位，所以积的个位为8。

最后我们得出24657*3=98628。



五.乘数为5

1.积首的确定

满2进1　满4进2　满6进3　满8进4

2.“本个”口诀

确定积的其余各位数，以下是口诀：

“本位”为偶数“本个”得0，“本位”为奇数“本个”得5

例：6732*5=？

被乘数首位是6进3，所以积的首位就是3。被乘数第一位是6为偶数，“本个”得0，后一位是7进3，所以积的第2位是3。接下来，7为奇数“本个”得5，后一位是3进1，所以积的第3位是6。3为奇数“本个”得5，后一位是2进1，所以积的第4位是6。2是最后一位，所以积的个位为0。

最后我们得出6732*5=33660。



六.乘数为6

1.积首的确定

超16进1　超3进2　满5进3　超6进4　超83进5

2.“本个”口诀

确定积的其余各位数，以下是口诀：

1*6=6    2*6=2    3*6=8    4*6=4    5*6=0   

6*6=6    7*6=2    8*6=8    9*6=4    0*6=0        例：4792*6=？

被乘数首位是4进2，所以积的首位就是2。被乘数第一位是4，4*6=4，后一位是7进4，所以积的第2位是8。接下来，7*6=2，后一位是9进5，所以积的第3位是7。9*6=4，后一位是2进1，所以积的第4位是5。2是最后一位，所以积的个位为2。

最后我们得出4792*6=28752。



七.乘数为7

1.积首的确定

超142857进1    超285714进2　超428571进3 　超571428进4　超714285进5　超857142进6

2.“本个”口诀

确定积的其余各位数，以下是口诀：

1*7=7    2*7=4    3*7=1    4*7=8    5*7=5   

6*7=2    7*7=9    8*7=6    9*7=3    0*7=0        例：3792*7=？

被乘数首位是3进2，所以积的首位就是2。被乘数第一位是3，3*7=1，后两位是79>71进5，所以积的第2位是6。接下来，7*7=9，后一位是9进6，所以积的第3位是5。9*7=3，后一位是2进1，所以积的第4位是4。2是最后一位，所以积的个位为4。

最后我们得出4792*7=26544。



八.乘数为8

1.积首的确定

满125进1     满25进2　满375进3　满5进4  满625进5　满75进6　满875进7

2.“本个”口诀

确定积的其余各位数，以下是口诀：

1*8=8    2*8=6    3*8=4    4*8=2    5*8=0   

6*8=8    7*8=6    8*8=4    9*8=2    0*8=0        例：4623*8=？

被乘数首位是4进3，所以积的首位就是3。被乘数第一位是4，4*8=2，后两位是623<625进4，所以积的第2位是6。接下来，6*8=8，后两位是23<25进1，所以积的第3位是9。2*8=6，后一位是3进2，所以积的第4位是8。3是最后一位，所以积的个位为4。

最后我们得出4792*7=36984。



九.乘数为9

1.积首的确定

超1进1　超2进2　超3进3　超4进4　超5进5 超6进6　超7进7　超8进8

2.“本个”口诀

确定积的其余各位数，以下是口诀：

1*9=9    2*9=8    3*9=7    4*9=6    5*9=5   

6*9=4    7*9=3    8*9=2    9*9=1    0*9=0        例：8746*9=？

被乘数首位是87不超8进7，所以积的首位就是7。被乘数第一位是8，8*9=2，后两位是74不超7进6，所以积的第2位是8。接下来，7*9=3，后两位是46超4进4，所以积的第3位是7。4*9=6，后一位是6超5进5，所以积的第4位是1。6是最后一位，所以积的个位为4。

最后我们得出8746*9=78714。

总练习

分别用2-9去乘675983，每个都要在1分钟内完成。

                              从被乘数直接找出本个

大家有没有发现，上面乘数分别为2-9求本个中有一个数与众不同，你发现了吗？没错，就是5，它的口诀是这样的：“本位”为偶数“本个”得0，“本位”为奇数“本个”得5，这不是光看被乘数就能直接写出本个吗？如果你在看到本节之前就考虑到这个问题的话，那你——很有才！^_^其实，乘数为2-9都可以光看被乘数就能直接写出本个。

下面是个律表，先别晕，看完再说，很容易掌握滴。

                                                                个律表

 口诀最好背起来，不要嫌口诀又多又难，如果你想学好快速计算法的话就最好背起来，哪些事情不是靠努力才能完成的？世上无难事，只怕有心人。我们这些学生不努力考试怎么能考好？

看过电视上蒙眼转魔方饿表演吗？1分钟内要把魔方转好，要记多少公式啊！不仅要有超强的记忆力，还要有不懈的练习，练习，再练习……

我13岁那年吧，我在广东卫视台上看到史丰收大师拿粉笔在黑板上写下两个八位数……哎，几年过去了，我也记不太清当时的场面了，唯一记得的就是丰收老大左手手指闪电般地动啊动啊，右手拿粉笔在黑板上刷刷地写下一串数字，那是两个八位数的乘积，10秒钟内完成！！！超强的速算能力，年幼的我被深深地震撼了，我幼小的心灵突然有了一种渴望：我要学会这种快速计算法。也许是上天眷顾我吧，1年前我意外地得到一本《快速计算法》，怎料书中错别字特别多，大量数字出错，我研究了个1年多才给我研究透了，现在如果说我的心算/速算能力在学校排第二，就没有人敢说排第一！不过我的速度就是比不上丰收老大啊，也是学业繁重，我已没有儿时的冲动……

请大家记住这个域名：dadaya.cn，顺便注册个会员，有什么不懂的地方或建议请留个言。      

小学数学速算方法