第9课时　独立性及二项分布

一、填空题

1．设随机变量X～B，则P(X＝3)＝________.

解析：由X～B，得P(X＝3)＝C3·3＝.

答案：

2．(2010·东北师大附中检测)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率为________．

解析：记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95.

∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.

答案：0.665

3．一个工人看管三台车床，在1小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7，求在1小时内至少有一台车床需要工人照管的概率为________．

解析：设第一、二、三台车床在1小时内不需要工人照管的事件分别为A、B、C；在1小时内至少有一台车床需要工人照管的事件为D，则P(D)＝1－P(A·B·C)．

又由于三台车床在1小时内不需要工人照管的事件是相互独立的，所以

P(D)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－0.9×0.8×0.7＝0.496.

答案：0.496

4．两个独立事件A1和A2发生的概率分别为p1、p2，则只有其中之一发生的概率为____________．

答案：＝p1(1－p2)＋p2(1－p1)

5．某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他解每道题的正确率都为0.4，则他能及格的概率是________．(精确到0.01)

解析：P＝C×0.43×(1－0.4)＋C (0.4)4＝0.179 2≈0.18.

答案：0.18

6．若甲以10发8中、乙以10发6中、丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是________．

解析：三人中只有一人命中的概率是

××＋××＋××＝.

答案：

二、解答题

7． 甲、乙两人参加“如何有效防治甲型H1N1流感”的知识测试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．

(1)求甲、乙两人至少有一人测试合格的概率；(2)求甲答对的试题数ξ的分布列及数学期望．

解：(1)设甲、乙两人测试合格的事件分别为A、B；对于(2)，要求随机变量的数学期望就要先求出随机变量的取值，然后根据期望公式求解．

则P(A)＝＝＝＝，P(B)＝＝＝＝.

甲、 乙两人测试均不合格的概率为：＝×＝×＝，

故甲、乙两人至少有一人测试合格的概率为P＝1－P()＝1－＝.

(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

甲答对的试题数ξ的分布列如下：

甲答对的试题数ξ的数学期望：Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

8．(2010·山东济宁模拟)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝

如果Sn为数列{an}的前n项和，求S7＝3的概率．

解：由S7＝3知在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7＝3的概率为C2·5＝.

9．(江苏盐城调研)某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响．设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．

(1)求ξ的分布列；

(2)记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[4，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率．

解：(1)分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”、“客人游览丁景点”为事件A1，A2，A3，A4，由已知A1，A2，A3，A4相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝0.6.

客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3,4；相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为4,3,2,1,0.所以ξ的可能取值为0,2,4，P(ξ＝0)＝C (0.6)2(1－0.6)2＝0.345 6，

P(ξ＝2)＝C (0.6)1(1－0.6)3＋C (0.6)3(1－0.6)1＝0.499 2，

P(ξ＝4)＝(0.6)4＋(1－0.6)4＝0.155 2，所以ξ的分布列为：

(2)因为f(x)＝2＋1－ξ 2，所以函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[ξ，＋∞)上单调递增．要使f(x)在[4，＋∞)上单调递增，当且仅当ξ≤4，即ξ≤.

从而P(A)＝P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝0.844 8.

1．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．

解：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.

即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

2．一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.

(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；

(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列．

解：(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，

故X～B，以此为基础求X的分布列．P(X＝k)＝Ck·6－k，k＝0,1,2,3,4,5,6.

所以X的分布列为：

(2)由于Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.

其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．P(Y＝k)＝k·(k＝0,1,2,3,4,5)，

而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P(Y＝6)＝6，

因此Y的分布列为：

[创新设计]2011届高三数学一轮复习 9-9独立性及二项分布随堂训练 理 苏教版