摘要：分析了若矩阵A经过行初等变换化为矩阵B，则A与B的列向量组具有完全相同的线性关系，以及此性质在线性代数的主要应用。

关键词：初等变换；线性相关；线性无关；线性表示

线性代数主要研究的是线性问题。一般而言，凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论，因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。

向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。

1线性相关性证明

设A=(α1,α2,···,αn)，αi∈Pm，若矩阵A经过行初等变换化为矩阵B，则A与B的列向量组具有完全相同的线性关系。

证明：设Am×n，A经过行初等变换化为B，将A，B分别按列分块为A=(α1,α2,…,αn)，B=(β1, β2,···,βn)。由于对A只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵P，使PA=B，即P(α1,α2, ···,αn)=(β1, β2, ···,βn)，于是有i1

βj=Pαj (j=1,2,3, ···,n)（1）

设A和B对应的列向量组为αi1,αi2, ···,αir和βi1, βi2,···,βir(1≤i1＜i2＜···＜ir≤n)，由(1)式得

βik= Pαik (k=1,2,3, ···,r)

因此，如果αi1,αi2, ···,αir有线性关系式k1αi1+k2αi2+ ···+krαir=0(kr为实数)，则k1,k2…kr也必使得

k1βi1+k2 βi2+···+krβir =k1(Pαi1)+k2(Pαi2)+···+kr(Pαir)

=P(k1αi1+k2αi2+ ···+krαir)=P0=0

反之，如果βi1, βi2,···,βir有线性关系式，得

λ1βi1+λ2βi2+ ···+λrβir=0

则由P的满秩性可知αj=P-1βj (j=1,2,3, ···,n)，于是有

λ1αi1+λ2αi2+ ···+λrαir=λ1P-1βi1 +λ2P-1βi2 + ···+λrP-1βir

=P-1(λ1βi1+λ2βi2+ ···+λrβir)= P-10=0

这表明向量组αi1,αi2, ···,αir与向量组βi1, βi2,···,βir有相同的线性相关性，证毕。

2线性相关性在线性代数中的应用

2.1向量组的线性相关性与行列式的关系

若向量组α1,α2, ···,αn的个数等于于向量的维数，即m=n时，则

A=word/media/image1.gif=(α1,α2, ···,αn)是一个方阵，方阵有行列式。

（1）α1,α2, ···,αn线性相关word/media/image2.gifword/media/image3.gif=0

（2）α1,α2, ···,αn线性无关word/media/image2.gifword/media/image3.gif≠0

例1 判断下列向量组的相关性，

α1=word/media/image4.gif，α2=word/media/image5.gif，α3=word/media/image6.gif，α4=word/media/image7.gif.

解word/media/image3.gif=word/media/image8.gif=0，所以α1,α2,α3,α4线性相关。

2.2向量组的极大无关组和秩

设有向量组A：α1,α2, ···,αs，如果在A中存在r 个向量A0: αj1,αj2, ···,αjr,满足

1）向量组A0线性无关；2）向量组A中任一向量可用A0线性表示，

则称向量组 A0是向量组 A的一个极大线性无关组（简称极大无关组）.极大无关组所含向量的个数 r 称为向量组A的秩。

例2设矩阵

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求矩阵A的列向量组α1,α2, α3,α4,α5的一个极大无关组，并把不是极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。

解对A施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵

word/media/image12.gifword/media/image10.gifword/media/image11.gif

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显然R(A) = 3,故列向量组的极大无关组含 3个列向量。而三个非零行的非零首元在1、2、4三列上，故α1,α2, α4为列向量组的一个极大无关组.这是因为：

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知 R(α1,α2, α4) = 3,故α1,α2, α4线性无关。

为把α3, α5用α1,α2, α4线性表示，把A再变成最简形矩阵

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即得α3=－α1－α2,α5=4α1+3α2－3α4

2.3生成子空间的基和维数

1.设有向量空间V1及V2，若向量空间V1word/media/image16.gifV2，就说V1是V2的子空间。

2.设V是向量空间，如果r个向量α1,α2, ···,αr∈V,且满足

（1）α1,α2, ···,αr线性无关；（2）V中任一向量都可由α1,α2, ···,αr线性表示

那么，向量组α1,α2, ···,αr就称为向量V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。

说明:（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．

（2）若把向量空间V看作向量组，那么V的基就是向量组的最大无关组,V的维数就是向量组的秩.

（3）若向量组α1,α2, ···,αr是向量空间V的一个基，则V可表示为

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例3设矩阵word/media/image18.gifword/media/image19.gif

验证α1,α2, α3是R3的一个基，并把b1,b2用这个基线性表示。

解要证α1,α2, α3是R3的一个基，只要证α1,α2, α3线性无关，即只要证Aword/media/image20.gifE

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记作B=AX

对矩阵word/media/image24.gif施行初等行变换，若A能变成E，则α1,α2, α3是R3的一个基，且A当变为E时，B变为X=A-1B。word/media/image23.gif

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因有Aword/media/image20.gifE，故α1,α2, α3是R3的一个基，且

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参考文献

1.同济大学数学系.工程数学线性代数.高等教育出版社.2007

线性代数小论文