异面直线间距离的多种解法
发布时间:2019-07-18 03:38:55
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异面直线间距离的多种解法
作者:华瑞芬
来源:《中学生理科应试》2014年第11期
求异面直线之间的距离是立体几何中比较常见的问题,既是立体几何的重点,也是难点,更是高考的热点.对于此类问题,许多同学常常会感到比较困难,往往无从入手.求解此类问题的方法其实是多种多样的,主要有“定义法”和“转化法”,特别是转化的思想技巧性强,有利于培养同学们的创新能力.“转化法”常将两条异面直线之间的距离,转化成直线与平面的距离或平面与平面的距离来求解,有时还会借助于棱锥体积来求.这种解法与直线与平面、多面体、平面几何、代数等许多知识紧密联系,因此有利于知识的巩固与深化.下面举例说明求解异面直线之间距离的多种解法,希望同学们能够从中得到有益的启示.
例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求直线DA1与AC之间的距离.图1
一、定义法
利用异面直线距离的定义,做(找)出公垂线段并求其长度.
图2解法1如图1所示,易证BD1⊥AC,BD1⊥DA1.设DD1的中点为E,BD交AC于O,则OE∥BD1,连接AE交DA1于M,做MN∥OE交AC于N,则MN∥BD1,且MN为AC与DA1的公垂线
段.如图2,在正方形ADD1A1中,易证M为AE的一个三等分点.同理可知N为AC的一个三等分点,从而MN=23OE=13BD1=33.
二、转换法
利用异面直线的距离,等于其中一条直线(a)到经过另一条直线(b)且与这条直线(a)平行的平面的距离,进而转化为点面的距离.
图3解法2如图3,易证AC∥面DA1C1,则AC到DA1的距离等于AC到面A1DC1的距离.设AC与BD交于O,则O点到面A1DC1的距离等于异面直线DA1与AC的距离.
∵AC⊥BD,AC⊥B1B,∴AC⊥面BB1D1D,∴A1C1⊥面BB1D1D,