长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练

幂级数求和的方法

系 （部）： 信息与计算科学系

专 业： 数学与应用数学

学 号： 2009031110

学生姓名： 范庆勇

成 绩：

2012年 6月

幂级数求和的方法

范庆勇

长沙学院 信息与计算科学系 湖南长沙 410022

摘要：幂级数是无穷级数中的一种．本文主要总结了幂级数的多种求和方法．主要有逐项微分与逐项积分法，代数方程法，公式法等．同时通过举例说明了不同方法在解题中的应用．

关键词：幂级数，和函数，微分，积分

１　引言

幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,因此是有必要对这类问题进行研究和探讨．求解幂级数的和函数时,我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决．也可以利用幂级数的有关公式求解．

本文通过具体例子介绍了幂级数求和的几种方法．文献［１］主要介绍了利用逐项积分与逐项微分的思想，计算部分和的极限以及转化为微分方程求幂级数的和．文献［２］主要是讲述了裂项组合法，逐项积分与逐项微分法，有限递推法，代数方程法，微分方程法求幂级数的和，同时还介绍了化归思想在幂级数求和中的应用．文献［３］主要是介绍通过逐项微分推导出几种公式，利用公式求和函数．

本文主要介绍逐项积分与逐项微分法，代数方程法，公式法求幂级数的和．

２　幂级数求和的几种方法

２．１　逐项微分［１］　幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的，且有逐项求导公式

＝（）＇＝＝，

通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数，再积分即可．

例１［１］　在区间（－１，１）内求幂级数的和函数，并由此计算级数的和 ．

解：设和函数为，则

＝＝，

又 　＝，

设　　　　　　　　　　　　　　　＝，

逐项求导得

=，

两边积分

＝＝－＝，

所以

＝－．

令ｘ＝，得

＝＝－＝１＋．

２．２　逐项积分［１］　　幂级数在其收敛区间内和函数是可积的，且有逐项积分公式．

＝＝＝，

通过对幂级数的逐项积分将其转化成能求出和函数的幂级数，再求导即可．

例２［１］　求幂级数（｜x｜＜１）的和函数．

解：设

＝，

两边积分

＝＝＝＝x＇＝

x＇＝ｘ＇＝，

即

＝．

　　２．３ 代数方程法［２］　　建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而使幂级数和函数问题转化为代数方程问题，并最终实现幂级数和函数问题的求解．这里将给予重点介绍．

例３［２］ 计算的收敛域与和函数．

解：收敛域为．令

　　　　　　，

则

　　　　　　，

于是

　　　　　　，

即

（1），

因此

，．

２．４　一些比较基本的公式［３］　对于比较难的但又能较容易推到出求和公式的求和，掌握一些基本的公式可以降低题目的的难度。本方法是巧用2.1中幂级数逐项微分定理，给出几类求和公式

公式１［３］＝，　　　

公式２［３］＝+ ，　　　　　　　　

证明1 由及幂级数逐项微分定理，有

＝＝，

＝x ，

而

＝，

所以

＝．

证毕．

证明 2 =a+d=+d，

由公式1

=，

所以

=+．

证毕．

例４［３］ 求的和函数．

解： 由公式1，m=3时，

= ， |x|<1

例５［３］ 求的和．

解：由公式2，a=1，d=2，x=时，

=+=2+4=6

参考文献

［1］ 李道渊．幂级数的求和方法［Ａ］．价值工程，2010（26-0202-01）．

［2］ 陈晓龙，施庆生．高等数学学习指导［Ｍ］．北京：化学工业出版社，2006，238-243．

［3］ 彭培让．几类幂级数的求和公式［Ｎ］．周口师专学报，1996,13（2）．

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