新建二中2012---2013学年度上学期期中考试卷

高三数学（理科）

命题人：邓国平 考试范围：集合与简易逻辑、函数与导数、数列、三角函数与向量

时量：120分钟 总分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填在答题卡上．

1．若，，，则（ A ）

A． B． C． D．

2.设，都是非零向量，命题P:，命题Q:的夹角为钝角。则P是Q的（ B ）

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件　 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件

3.已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则等于（ A ）

A． B． C． D．

4.函数的定义域为（ C ）

A． B． C． D．

5.已知平面向量,满足，，且，则与的夹角为（ B ）

A． B． C． D．

6.若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（ D ）

A． B． C． D．或

7．设是的三个内角且满足：

则等于（ A ）

A． B． C． D．

8．要得到函数y=3cos（2x一）的图象，可以将函数y=3sin 2x的图象（ A ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

9. 若，是方程的两根，且，则等于（ B ） A． B． C．或 D．

10.函数则k的取值范围是（ C ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.若，是第二象限的角，则_______．

12.在中，若，的面积为，则角 .

13.已知偶函数单调递增，则满足取值范围是

14．设等差数列和的前n项和分别为、，若对任意自正整数n都有则 。

15.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数

的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为

三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本题满分12分）函数部分图象如图所示．

（Ⅰ）求函数的解析式，并写出其单调递增区间；

（Ⅱ）设函数，求函数在区间

上的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）由图可得，，

所以，所以． …………………2分

当时，，可得，

因为，所以． ………………4分

所以函数的解析式为．………………5分

函数的单调递增区间为．……………6分

（Ⅱ）因为

……………8分

. …………10分

因为，所以．

当，即时，函数有最大值为；…………11分

当，即时，函数有最小值． ……………12分

17.（本题满分12分）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、、,若、、成等比数列， 且求：（1）的大小；（2）的值。
　解：（1）∵、、成等比数列，∴，又，∴

在△ABC中，由余弦定理得， ∴ …………6分
　（2）在△ABC中，由正弦定理得，∵，
　　　　 ∴　 …………12分　　

18.（本题满分12分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且·=－2，（1）求向量；（2）若，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围.

解：（1）设=（x,y），则

∴解得…………5分

（2）. ∴

∴ …………8分

= …………10分

∴ ∴ …………12分

19.（本题满分12分）若是函数的一个极值点。（1）求函数的单调区间；（2）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

解：（1）因为，所以，因此……2分

故， …………4分

当时，，当时，

所以的单调增区间是，的单调减区间是 …………6分

（2）由（1）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，

所以的极大值为，极小值为 …………8分

所以在的三个单调区间，直线与的图象各有一个交点，

当且仅当。因此的取值范围为 …………12分

20.（本题满分13分）已知数列中，，对于任意的，有,数列满足：，，（1）求数列的通项公式和数列的通项公式；（2）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由。

解：（1）取，则　∴（）

∴是公差为，首项为的等差数列 ∴　　　 …………2分

∵ ①

∴ 　②

①-②得：∴………4分

当时，　∴，满足上式 ∴ ………5分

（2）　假设存在，使

．

．．………6分　

当为正偶数时，恒成立，

∴．

∴ …………9分

当为正奇数时，恒成立．

∴

∴．∴…………12分

综上可知，存在实数．使时，恒成立． …………13分

21.(本小题满分14分)已知函数,，其中R ．（1）讨论的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数, 当时，若存在，对于任意的，总有成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）的定义域为，且， ………1分

①当时，，在上单调递增； ………2分

②当时，由，得；由，得；

故在上单调递减，在上单调递增． ………3分

（Ⅱ），的定义域为，

因为在其定义域内为增函数，所以，

………5分

而，当且仅当时取等号，所以 ………7分

（Ⅲ）当时，，

由得或，当时，；当时，．

所以在上， ………8分

而在上的最大值为

有……12分

所以实数的取值范围是 …………14分

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