2017—2018学年度第一学期期末考试

高二理科数学试卷

（答题时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个正确选项，请将正确选项填到答题卡处

1.设集合e4b6b91514edddb79c12f260b39ae557.png, 5b27e497e0a4b0fee81d0f5b36ccb80b.png，则3a87f6a17a6f4812b12cc126b61240f3.png

A．98b6f69a1a0df7577077c3ec7de1597b.png B．3ca368cf1130496bcaf965bcd85f50ce.png

C．819112fe32d2ff6345d86e58efe271d4.png D．e099fdf28f1f12d0a042baecac9531fc.png

2.已知抛物线y2＝2px(pcedf8da05466bb54708268b3c694a78f.png0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为

A．(－1,0) B．(1,0)

C．(0，－1) D．(0,1)

3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为

A．12 B．8

C．6 D．4

5．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝10，

则输出的S等于

A.ee6ea659c980e776f8047f4abb8f7b24.png B.775dfdb6f930e84c6d1e4bdc9b5e5ec4.png

C.18bdaf25ee67471f135645113d8bbcf6.png D.57d14354ffa81322d9c275638c7d18b8.png

6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是

A．45

B．50

C．55

D．60

7.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为

A.word/media/image12_1.png

B.word/media/image13_1.png

C.word/media/image14_1.png

D.word/media/image15_1.png

8．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为

A．30° B．45° C．60° D．以上都不对

9．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是

A.9de9b879edb421f64cead5c6a277eecb.png B.be1511c6f29dcf714210fb5d620a5c50.png C.a90658887586a2212d073c9b8e9396c7.png D.126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png

10．设a＝log2π，da403e78e6e5b7d29678266ab041edb4.png，c＝π－2，则

A．a＞b＞c B．b＞a＞c

C．a＞c＞b D．c＞b＞a

11．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状一定是

A．直角三角形 B．等腰直角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

12．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

A.1553867a52c684e18d473467563ea33b.png B.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

C．2 D．3

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）

13．设变量x，y满足约束条件976ab55494e488a4de769a3face6e0c0.png则z＝x－3y的最小值为

．

14．已知命题p：bc11b6a7652505f0e5f64f47458d735d.pngxcedf8da05466bb54708268b3c694a78f.png0，(x＋1)excedf8da05466bb54708268b3c694a78f.png1，则95622d6625b656733ea3bcfb3b2de7fd.pngp为 ．

15．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为 ．

16．对于下列表格

所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为9ec817229fa844233933d2ccad7f809e.png＝0.8x－155.

则实数m的值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(满分10分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：

(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；

(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．

18．(满分12分)在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝230837ccd935e4bdc585a429824255c0b.png，证明：数列{bn}为等比数列；

(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.

19．(满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.

(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；

word/media/image22_1.png(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的关系式为ea6d1de60fa6770a5d9b6e123f5b71d3.png求这批产品平均每个的利润．

20. (满分12分)已知点M(65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png，d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png)在椭圆C：7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.

21．(满分12分)已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngAB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

(1)证明：CM⊥SN；

(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

22. (满分12分)已知椭圆C1的方程为e6db72dcf5630ad6b25e0821aec6968d.png＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.png与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且d264d5e3cbd10917fc11547f4f1d273d.png·f990fa50c6d414aafb115ff584f6b2d9.png＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.

2017—2018学年度第一学期期末考试

高二理科数学参考答案

一、选择题

1. A 【解析】word/media/image28_1.png，选A.

2． B

3． A 【解析】∵x≥2且y≥2，∴x2＋y2≥4，

∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，

4． B 【解析】由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，

∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.

5． A 【解析】第一次执行后，S＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，i＝4＜10；第二次执行后，S＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＋6d127bc68baf13e14f29e2dd7f511479.png＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png，i＝6＜10；第三次执行后，S＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png＋0a3061ce02db8efd94e159a287b55cb1.png＝7ce580a94d1f1becd12990b9f1a9a29a.png，i＝8＜10；第四次执行后，S＝7ce580a94d1f1becd12990b9f1a9a29a.png＋21b85ebca3ee6ab9b5a86b05462bbb47.png＝66299ad68ec77f344b595e94e2a2ee28.png，i＝10；第五次执行后，S＝66299ad68ec77f344b595e94e2a2ee28.png＋84be7a1cc55fecd3dfb71c7b5d1b3f25.png＝ee6ea659c980e776f8047f4abb8f7b24.png，i＝12＞10，输出S＝ee6ea659c980e776f8047f4abb8f7b24.png.

6． B 【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是9353bede70947a0ee01443d5387ea187.png＝50.

7. C 【解析】该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为word/media/image29_1.png，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×word/media/image30_1.png×4×word/media/image31_1.png=24+word/media/image32_1.png.

8． D 【解析】由已知a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，则(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，由此可得a·b＝96fcec16c64280b6c66cb5c309629279.png.从而cos〈a，b〉＝ceed53f9f72aa87188cdf83d5cfade68.png＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png.故答案为D.

9． D 【解析】以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P＝1ee4792a6dad2b02f50ff856c58eb07d.png＝126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png.

10． C 【解析】利用中间量比较大小．因为a＝log2π∈(1,2)，b＝log34fe9b8689e60cd9c06dd5f2b48dba4b.pngπ＜0，c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.

11．C 【解析】根据余弦定理，有a＝2bcosC＝2b·8f79cac0ab14d1fabbdcf5b909007a5e.png，化简整理得b＝c.所以△ABC为等腰三角形．

12． B 【解析】设双曲线的标准方程为7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为：x＝c或x＝－c，代入7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1得y2＝b2(127d61edbeff2c776c82aefdcb723a6f.png－1)＝f8b81e1cc6fce7e6dcdac0d659aa9e52.png，

∴y＝±c2a626f372ae1b008fd6bc0cba6b3806.png，故|AB|＝545a73361ab026ca02e7b2b3cb687a71.png，依题意545a73361ab026ca02e7b2b3cb687a71.png＝4a，

∴0d0777cf64de15b7eecea706c7610147.png＝2，∴7839e91684f8107f9e28aa73748c6723.png＝e2－1＝2，∴e＝69923b5304d1b62fe1d8ccab96d9e03d.png.

二、填空题

13．－8

【解析】作出可行域如图所示．

可知当x5499493768447afb7e8fc8f1af32eb51.png3y=z经过点A(5499493768447afb7e8fc8f1af32eb51.png2,2)时，z有最小值，此时z的最小值为5499493768447afb7e8fc8f1af32eb51.png25499493768447afb7e8fc8f1af32eb51.png3×2=－8.

14. 2f2a73110c5fe740152c2f6d1d7c8b12.pngx0>0，使得(x0＋1)df97f00791d9988517d3fd88135e72ad.png≤1.

15． 40

【解析】抽样比为0ef27c9811a7d16982cd469455ad8d15.png＝29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png＝40.

16. 8

【解析】依题意得4007c8b864a115f37e9a68fe968c462c.png＝126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，cce0594fc8a89da461a5795269434137.png＝126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png×(1＋3＋6＋7＋m)＝c63900c3cc5c617ff2f1a44927a6beec.png，因为回归直线必经过样本点中心，所以c63900c3cc5c617ff2f1a44927a6beec.png＝0.8×200－155，解得m＝8.

三、解答题

17．解：(1)由频率分布表得0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1，即m＋n＝0.45.

由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，

得n＝7f9bc8d5ec21f59888921a4cb73072b3.png＝0.1，所以m＝0.45－0.1＝0.35.

(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2.从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10种．

记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．

则A包含的基本事件有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4种．

故所求概率为P(A)＝daa30b6b0d10c0261f17830a64d9d83c.png＝0.4.

18．解：(1)设数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，

由a10＝30，a20＝50，

得方程组c841c34afcac8ab7d5d5dfa63307bdd1.png解得7669ad678d8f663890f88dccf1a0f165.png

所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.

(2)证明：由(1)得bn＝2n，所以f720f5e9b72cddd6bd222659ca3f55ca.png＝c1957cea02d3900b3fe001df8695ac21.png＝2.

所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．

(3)由nbn＝n×2n，得Tn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n， ①

2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1， ②

①－②得，

－Tn＝2＋22＋…＋2n－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1.

所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.

19．解：　(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n.

∵样本中产品净重小于100克的个数是36，

∴04429aa73d346da80eab32fc7a921196.png＝0.300，∴n＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，

∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.

(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，

∴这批产品平均每个的利润为2dea49ee2a74a2565460209516deaa74.png×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．

20. 解：(1)由已知得39b0bdcccea7ba941886ff20fdbc077c.png

解得9bf2a9118a155040fdf2efa10e304f1c.png故椭圆C的方程为c3d93f920814a03ef661cdbc62015758.png＋51631774022c90b97628a8677a25aa29.png＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).

由29f91c9e2e4b211e469f2e7916018390.png消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，

则x0＝a56c5883035c1fbf15d8abd8f04394b8.png＝－265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.pngm，y0＝x0＋m＝fd03fef51d1954ed41ff5290767da357.pngm，

即D87fc06ebadd314dd9daec02878c13465.png.

因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，

即PD的斜率k＝4c04978d2898c706939430179facc59c.png＝－1，解得m＝2.

此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，

则|AB|＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png|x1－x2|＝a3864e85c8725627d34d14ed31d4d3a2.png·00b37daa8ebabdc50afdceb634de2e60.png＝31553867a52c684e18d473467563ea33b.png，

又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝fcaca346c590fe6172aa7d01d975d5b7.png，

所以△PAB的面积为S＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png|AB|·d＝04bbd3c2505d0a826aba4a8d5f2e29a9.png.

21．解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设PA＝1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，

M(1,0，df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png)，N(df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，0,0)，S(1，df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，0)．

(1)bbcbcb335a4a2b1c07dd367c8a2564d8.png＝(1，－1，df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png)，4b5a9dca66ea36e0fe4fb28f7de0dd78.png＝(－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，0)，

因为bbcbcb335a4a2b1c07dd367c8a2564d8.png·4b5a9dca66ea36e0fe4fb28f7de0dd78.png＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＋0＝0，

所以bbcbcb335a4a2b1c07dd367c8a2564d8.png⊥4b5a9dca66ea36e0fe4fb28f7de0dd78.png，所以CM⊥SN.

(2)易得4a7aa9bfc2b14cc49e6c4c9b93dcdd98.png＝(－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，1,0)，设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，

则2c91ec18877aea0e87336fc91a4e9545.png得236bce9561c53e60c6713e565ba7ac13.png，取x＝2，则y＝1，z＝－2，n＝(2,1，－2)．

因为|cos〈n，4b5a9dca66ea36e0fe4fb28f7de0dd78.png〉|＝04e38e81809be889c1b135eb23a8fc7a.png＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，

所以SN与平面CMN所成角的大小为45°.

22. 解：(1)设双曲线C2的方程为10349750dc604948f0ba290dde9d986b.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)，

则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.

故C2的方程为e8273983e3e9be3351f8857b18750d18.png－y2＝1.

(2)将y＝kx＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.png代入95069d5c29720501c7fbb4548c8dbbd2.png－y2＝1，

得(1－3k2)x2－654283746f7a97f2de254ce1480db69a0.pngkx－9＝0.

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

c70feff4a44b933ed3a56662462593a7.png

∴k2≠03afd843f43b4ecfffad05e087441797.png且k2＜1.①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝c2dc4e7a42c52b9371a1d0d3fb449865.png，x1x2＝－ed6529fb9afd623cb91bcd693d157917.png.

∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋a3864e85c8725627d34d14ed31d4d3a2.png)(kx2＋a3864e85c8725627d34d14ed31d4d3a2.png)

＝(k2＋1)x1x2＋57306a222fa7427706854bf892218a27.pngk(x1＋x2)＋2＝f0dca2b3777de139938c073c6d53c988.png.

又∵c82de50cde3c3973edb3c4069820afbb.png·f990fa50c6d414aafb115ff584f6b2d9.png＞2，得x1x2＋y1y2＞2，

∴ccb1e34b76d37867f491dc1bee4e09b3.png＞2，即88fabd323ae4d4400a674a25bca25566.png＞0，

解得7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＜k2＜3.②

由①②得7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＜k2＜1，

故k的取值范围为589dee058ef0eec4387a901e31fde078.png∪275a953de3019d55e7c97de492d84312.png.

2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案