初二数学——分解因式

一、 考点、热点分析

整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

(一)常见形式：（1）平方差公式：

（2）完全平方公式：

（3）立方差公式：

（4）立方和公式：

（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）

二次三项式：

把多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx、

为一次项，c为常数项．例如，和都是关于x的二次三项式.

在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；

如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．

在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是

关于ab的二次三项式．同样，多项式，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．

十字相乘法的依据和具体内容

它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把

常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以

运用公式

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．

注意：公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数，使，，且，

那么运用

它的特征是“拆两头，凑中间”.如：

（6）分组分解法：

在多项式am+ an+ bm+ bn中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法，

再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．

如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法

分别分解因式．即：

原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n)

这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以

原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)?(a +b)．

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．

（二）因式分解一般要遵循的步骤:(1)先考虑能否提公因式;

(2)再考虑能否运用公式或十字相乘法;

(3)最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的

多项式因式仍然用这一步骤反复进行．

口 诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要

合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

二、典型例题

分解因式：

1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc；

3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；

5．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；

6．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 7．x2－4ax＋8ab－4b2；

8．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；

9．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；

10．(x＋1)2－9(x－1)2；

11．x3n＋y3n；

12．(x＋y)3＋125；

13．8(x＋y)3＋1；

（1） （2）

（3） （4）

四、课后练习

一、选择题

1.下列分解因式正确的是（　　）

2.若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=﹣10，则ab的值是（　　）

3.把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（　　）

4．把a2﹣2a﹣1分解因式，正确的是（　　）

5．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（　　）

6．若（1﹣2x+y）是4xy﹣4x2﹣y2﹣m的一个因式，则m的值为（　　）

7．若481x2+2x﹣3可因式分解成（13x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则下列叙述正确的是（　　）

8．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（　　）

9．如果x2+3x﹣3=0，则代数式x3+3x2﹣3x+3的值为（　　）

二．填空题

10．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2=　_________　．

11．分解因式：2x2+2x+=　_________　．

12．分解因式：﹣x3+2x2﹣x=　_________　．

13．分解因式：x（x﹣1）﹣3x+4=　_________　．

14．将多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式得　_________　．

三．解答题

15．已知x=y+4，求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．

16．计算：

（1）（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x；

（2）已知：m﹣n=4，m2﹣n2=24，求（m+n）3的值．

（3）已知﹣2x3m+1y2n与7xn﹣6y﹣3﹣m的积与x4y是同类项，求m2+n的值．

（4）先化简，再求值：（﹣2a4x2+4a3x3﹣a2x4）÷（﹣a2x2），其中a=，x=﹣4．

17.证明：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.

华师大版初二数学因式分解知识点及例题详解