2017年天津市高考数学试卷(理科)详细解析版

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2017年市高考数学试卷（理科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）
A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值
为（）A．B．1
C．D．3
3．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）

A．0B．1C．2D．3
|＜
”是“sinθ＜”的（）
4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
..

..
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若
经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．
=1B．
=1C．
=1D．
=1
6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a
7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（
）=2，f（
）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）B．ω=，φ=﹣
D．ω=，φ=

A．ω=，φ=C．ω=，φ=﹣
8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）
≥|+a|在R上恒成立，则a的取值围是（）A．[﹣
，2]B．[﹣
，
]
C．[﹣2
，2]D．[﹣2
，
]
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若
为实数，则a的值为．
10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．
11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣点的个数为．
12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则
的最小值为．
=2
，
=λ
﹣
（λ
）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共
13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若∈R），且
=﹣4，则λ的值为．
14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有
..

..
一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．
（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+

）的值．
16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为段AH的长．
，求线

18．（13分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等
..

..
比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．

19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为
．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为

，求直线AP的方程．
20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥
．
..

..

2017年市高考数学试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）
A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．
【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，
又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大
值为（）A．B．1C．D．3
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：
目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由
可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．3．（5分）阅读上面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则
..

..
输出N的值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=
≤3不成立，
第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，
输出N=2，故选C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣
|＜
”是“sinθ＜”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：|θ﹣sinθ＜⇔﹣则（0，
|＜
⇔﹣
＜θ﹣
＜
⇔0＜θ＜
，
+2kπ＜θ＜
+2kπ，
+2kπ，k∈Z，+2kπ]，k∈Z，
）⊂[﹣
|＜
可得“|θ﹣选：A．
”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故
【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．5．（5分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为
．若
经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．
=1B．
=1C．
=1D．
，c=
=1a，
【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==
则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k=∴双曲线的标准方程：
..
=，则=1，c=4，则a=b=2，
；故选B．

..
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c
【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题．
7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（
）=2，f（
）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）

A．ω=，φ=C．ω=，φ=﹣
B．ω=，φ=﹣
D．ω=，φ=
【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得又f（得
）=2，f（
）=0，，∴T=3π，则
，即
，
．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（
）=
）=1．∴φ+＜π．∴
=，φ=，
，k∈Z．
．故选：A．
得sin（φ+取k=0，得φ=
【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型
..

..
函数的性质，是中档题．
8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）
≥|+a|在R上恒成立，则a的取值围是（）A．[﹣
，2]B．[﹣
，
]
C．[﹣2
，2]D．[﹣2
，
]
【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的围，求交集即可得到所求围．
【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值则﹣
≤a≤
①
，
；
当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2由y=x+≥2则﹣2
≤a≤2②
≤a≤2．故选：A．
=﹣2
（当且仅当x=
＞1）取得最大值﹣2
；
=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．
由①②可得，﹣
【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．
..

..
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若【解答】解：由
=
=
为实数，则a的值为﹣2．=
﹣
i
为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．
【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．
10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为
．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=
，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即
a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=
；故答案为：
．
【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣共点的个数为2．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣化为：2
x+2y+1=0．
）+1=0展开为：4ρ
+1=0，
）+1=0与圆ρ=2sinθ的公
圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．
∴圆心C（0，1）到直线的距离d=∴直线4ρcos（θ﹣为：2．
..
=＜1=R．
）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案

..
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴
≥
=
=4ab+
≥2
=4，
的最小值为4．
当且仅当，即，
即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．
故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若∈R），且
=﹣4，则λ的值为
．
、
表示出
，
=2
，
=λ
﹣
（λ
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用再根据平面向量的数量积【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，∴又∴
==λ
+
=﹣=（
+
=
+（
﹣
=2）=
，+
列出方程求出λ的值．
，
（λ∈R），+
）•（λ
﹣
）=（λ﹣）
•
﹣
+λ

=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．．
故答案为：
..

..

【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080个．（用数字作答）【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，
组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；
②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，
将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；
故答案为：1080．
【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．
..

..

三.解答题：本大题共6小题，共80分．
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．
（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+
）的值．
【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；
（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．【解答】
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有∴b=
．
，．
，；
，=13，
由正弦定理得sinA=∴b=sinA=
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=∴sin2A=2sinAcosA=cos2A=1﹣2sin2A=﹣故sin（2A+
）=
，．
=．
..

..
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．
16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，
P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=
，
P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=
；
所以，随机变量X的分布列为
XP
0

1

2

3

随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；
（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×
+
×=
；
．
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为
..

..
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．
17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为段AH的长．
，求线

【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出所成角的余弦值为
的坐标，结合直线NH与直线BE
列式求得线段AH的长．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，
∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
..

..
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则
设平面MEN的一个法向量为由
，得
，取z=2，得
．．，则正弦值为
；，
，
|=
．解得：t=4．，此时线段AH的长
．
，
，
．
，
由图可得平面CME的一个法向量为∴cos＜
＞=
∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为
（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为∴|cos＜
＞|=|
|=|
∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为为4．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．

..

..
18．（13分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．
【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，
联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．
所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n．（II）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=
4，有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4，
n
n
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，
上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1=得Tn=
．
．
=﹣（3n﹣2）4n+1﹣8
所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．

..

..
19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率
为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为
，求直线AP的方程．
【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．
依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．
所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．
（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），
，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．
，消去x，
整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．
∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，
令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．
又∵△APD的面积为整理得3m2﹣2
，∴×=，．
|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±
∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．
..

..
20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥
．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），
令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且
令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|
﹣x0|=
≥
=
．推出
，
|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．
【解】（Ⅰ）由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，
进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：
xg′（x）g（x）
（﹣∞，﹣1）
+↗
（﹣1，）
﹣↘
（，+∞）
+↗
所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），
..

..
单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），
得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），所以h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，
故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．
因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，
令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．
所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且
令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）有零点．所以h（x）在（1，2）至少有一个零点，
不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．
由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=
≥
=
．
，
因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．
..

..
所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．

..

2017年天津市高考数学试卷(理科)详细解析版

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