2018年四川省德阳市中江县中考数学一诊试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）下列图标中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

2．（3分）把抛物线y=﹣2x2先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，则变换后的抛物线解析式是（　　）

A．y=﹣2（x+3）2﹣3 B．y=﹣2（x+3）2+3 C．y=﹣2（x﹣3）2+3 D．y=﹣2（x﹣3）2﹣3

3．（3分）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）

A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm

4．（3分）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）

A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．大漠孤烟直 D．手可摘星辰

5．（3分）关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（　　）

A．a≠±1 B．a=1 C．a=﹣1 D．a=±1

6．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　）

A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6

C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6

7．（3分）如果矩形的面积为8，那么它的长y与宽x的函数关系的大致图象表示为（　　）

A． B．

C． D．

8．（3分）一元二次方程x2﹣x+3=0的根的情况为（　　）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个不等的实数根 D．有两个相等的实数根

9．（3分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（　　）

A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB

10．（3分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（　　）

A． B． C． D．

11．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c≥ax2+bx+c；④若M（x2+1，y1）、N（x2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

12．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC下列结论：①∠P+∠D=180°；②∠COB=∠DAB；③∠DBA=∠ABP；④∠DBO=∠ABP．其中正确的只有（　　）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

13．（3分）已知袋中有若干个小球，它们除颜色外其它都相同，其中只有2个红球，若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中小球的总个数是　 　

14．（3分）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是　 　m2．

15．（3分）如图，正比例函数y1=kx与反比例函数y2=交于点A（m，2），则不等式kx＞的解集为　 　．

16．（3分）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是　 　cm．

17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=6，，若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是　 　

三、解答题（本大题共7小题，共69分）

18．（6分）用配方法解方程：x2﹣7x+5=0．

19．（9分）“一碗面，一座城”！中江挂面在2017年全国魅力城市PK中，作为德阳市的一张名片登上中央电视台，为“德阳魅力城”的晋升立下了汗马功劳，为发展中江经济，县政府决定在2016年底生产100吨挂面的基础上继续扩大生产规模，到2018年底产量达到169吨．

（1）求中江挂面这两年产量的平均增长率；

（2）若按此速度继续扩大生产规模，请你计算到2019年底时，中江挂面的产量将达到多少吨？每吨挂面可盈利6千元，则2019年仅挂面一项，能为中江赚多少钱？

20．（8分）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．

（1）请直接写出点C、D的坐标；

（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；

（3）求△AOB的面积．

21．（10分）小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．

（1）如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？

（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率．

（3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他过关的概率较大．

22．（10分）如图，反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象交于点A（﹣2，1），B（1，n），交y轴于点C．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）若点P是y轴上的点，请直接写出能使△PAC为等腰三角形的点P的坐标．

23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，若∠BAC=30°，且∠ECF=∠E．

（1）试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长．

24．（14分）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB=S△ABC，写出P点的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

2018年四川省德阳市中江县中考数学一诊试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）下列图标中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是中心对称图形，故本选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．（3分）把抛物线y=﹣2x2先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，则变换后的抛物线解析式是（　　）

A．y=﹣2（x+3）2﹣3 B．y=﹣2（x+3）2+3 C．y=﹣2（x﹣3）2+3 D．y=﹣2（x﹣3）2﹣3

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．

【解答】解：抛物线y=﹣2x2先向左平移3个单位得到解析式：y=﹣2（x+3）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=﹣2（x+3）2+3．

故选：B．

【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．

3．（3分）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）

A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm

【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．

【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，

∵CD=4，OD=10，

∴OC=6，

又∵OB=10，

∴Rt△BCO中，BC=，

∴AB=2BC=16．

故选：C．

【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．

4．（3分）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）

A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．大漠孤烟直 D．手可摘星辰

【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．

【解答】解：A、是必然事件，故选项错误；

B、是随机事件，故选项错误；

C、是随机事件，故选项错误；

D、是不可能事件，故选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5．（3分）关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（　　）

A．a≠±1 B．a=1 C．a=﹣1 D．a=±1

【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：

∴a=﹣1

故选：C．

【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．

6．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　）

A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6

C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6

【分析】直接根据二次函数的图象进行解答即可．

【解答】解：由二次函数的图象可知，

∵﹣5≤x≤0，

∴当x=﹣2时函数有最大值，y最大=6；

当x=﹣5时函数值最小，y最小=﹣3．

故选：B．

【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键．

7．（3分）如果矩形的面积为8，那么它的长y与宽x的函数关系的大致图象表示为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】首先由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．

【解答】解：∵xy=8，

∴y=（x＞0，y＞0）．

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．

8．（3分）一元二次方程x2﹣x+3=0的根的情况为（　　）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个不等的实数根 D．有两个相等的实数根

【分析】计算方程的判别式，根据判别式的符号进行判断即可．

【解答】解：

∵x2﹣x+3=0，

∴△=（﹣1）2﹣4×3=﹣11＜0，

∴该方程无实数根，

故选：A．

【点评】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．

9．（3分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（　　）

A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB

【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．

【解答】解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，

∴AD=DB，

当DO=CD，

则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，

故四边形OACB为菱形．

故选：B．

【点评】此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．

10．（3分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．

【解答】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果，

∴两人“心领神会”的概率是=，

故选：B．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

11．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c≥ax2+bx+c；④若M（x2+1，y1）、N（x2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：∵抛物线开口向下，

a＜0；

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1＞0，

∴b＞0；

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，故①正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故②正确；

∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（3，0），

∴抛物线与x轴的另个交点是（﹣1，0），

∴当x=1时，y最大，即a+b+c≥ax2+bx+c，故③正确；

∵B（x2+1，y1）、C（x2+2，y2）在对称轴右侧，x2+1＜x2+2，

∴y1＞y2，故④错误；

故选：A．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．

12．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC下列结论：①∠P+∠D=180°；②∠COB=∠DAB；③∠DBA=∠ABP；④∠DBO=∠ABP．其中正确的只有（　　）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

【分析】①中，根据切线的性质可知∠P+∠AOB=180°，又根据圆周角定理，得∠D=∠AOB，所以可判断它错误；

②中，根据垂径定理以及圆周角定理即可判断正确；

③中，根据垂径定理和弦切角定理得∠ABP=∠D，所以可知正确；

④中，根据③中的推导过程，可知它错误．

【解答】解：①∠OAP=∠OBP=90°，则∠P+∠AOB=180°，又因为∠D=∠AOB，错误；

②根据垂径定理以及圆周角定理即可判断正确；

③根据垂径定理，得弧AD=弧AB，则∠ADB=∠ABD，再根据弦切角定理，得∠ABP=∠D，正确；

④根据③中的推导过程，显然错误．

故选：C．

【点评】此题综合运用了垂径定理、弦切角定理以及圆周角定理．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

13．（3分）已知袋中有若干个小球，它们除颜色外其它都相同，其中只有2个红球，若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中小球的总个数是　8个　

【分析】根据概率公式结合取出红球的概率即可求出袋中小球的总个数．

【解答】解：袋中小球的总个数是：2÷=8（个）．

故答案为：8个．

【点评】本题考查了概率公式，根据概率公式算出球的总个数是解题的关键．

14．（3分）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是　　m2．

【分析】设矩形的长为xm，则宽为m，根据矩形的面积公式得出函数解析式，继而将其配方成顶点式，由x的取值范围结合函数性质可得最值．

【解答】解：设矩形的长为xm，则宽为m，

菜园的面积S=x•=﹣x2+15x=﹣（x﹣15）2+，（0＜x≤20）

∵当x＜15时，S随x的增大而增大，

∴当x=15时，S最大值=m2，

故答案为：．

【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是解题的根本，由自变量x的取值范围结合二次函数的性质求函数解析式是解题的关键．

15．（3分）如图，正比例函数y1=kx与反比例函数y2=交于点A（m，2），则不等式kx＞的解集为　﹣1＜x＜0或x＞1　．

【分析】只需把已知的交点的坐标代入解析式，即可求得点A的坐标，根据对称的性质，求得另一个交点的坐标；根据图象即可得到不等式kx＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞1．

【解答】解：（1）∵点A（m，2）过反比例函数y2=的图象，

则有2=，

∴m=1，

∴点A（1，2）．

又∵正比例函数y1=kx，

∴k=2．

另一个交点和点A关于原点对称，另一个交点的坐标为（﹣1，﹣2）；

根据图象得，不等式kx＞的解集为﹣1＜x＜0或x＞1．

故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．

【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，待定系数法确定k的值，并且用到了过原点的直线与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称的知识．

16．（3分）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是　17　cm．

【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．

【解答】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，

在Rt△ABC中，

由勾股定理：x2=（8﹣x）2+22，

解得：x=，

∴4x=17，

即菱形的最大周长为17cm．

故答案为：17．

【点评】本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．

17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=6，，若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是　1　

【分析】根据平角的定义得到∠AOC=60°，推出△AOC是等边三角形，得到OA=6，根据弧长的规定得到的长度=，于是得到结论．

【解答】解：∵

∴∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，

∴∠AOC=60°，

∵OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴OA=6，

∴的长度，

∴圆锥底面圆的半径=1，

故答案为：1．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

三、解答题（本大题共7小题，共69分）

18．（6分）用配方法解方程：x2﹣7x+5=0．

【分析】移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：x2﹣7x+5=0，

x2﹣7x=﹣5，

x2﹣7x+（）2=﹣5+（）2，

（x﹣）2=，

x﹣=±，

x•=，x2=．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．

19．（9分）“一碗面，一座城”！中江挂面在2017年全国魅力城市PK中，作为德阳市的一张名片登上中央电视台，为“德阳魅力城”的晋升立下了汗马功劳，为发展中江经济，县政府决定在2016年底生产100吨挂面的基础上继续扩大生产规模，到2018年底产量达到169吨．

（1）求中江挂面这两年产量的平均增长率；

（2）若按此速度继续扩大生产规模，请你计算到2019年底时，中江挂面的产量将达到多少吨？每吨挂面可盈利6千元，则2019年仅挂面一项，能为中江赚多少钱？

【分析】（1）设中江挂面这两年产量的平均增长率为x，根据2016年及2018年的年产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据2018年的年产量及增长率即可求出2019年的年产量，再根据总利润=每吨利润×年产量，即可求出结论．

【解答】解：（1）设中江挂面这两年产量的平均增长率为x，

根据题意得：100（1+x）2=169，

解得：x1=0.3=30%，x2=﹣2.3（不合题意，舍去）．

答：中江挂面这两年产量的平均增长率为30%．

（2）169×（1+30%）=219.7（吨），

219.7×6000=1318200（元）．

答：到2019年底时，中江挂面的产量将达到219.7吨，2019年仅挂面一项，能为中江赚1318200元钱．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．

20．（8分）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．

（1）请直接写出点C、D的坐标；

（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；

（3）求△AOB的面积．

【分析】（1）利用中心对称图形的性质得出C，D两点坐标；

（2）利用平行四边形的性质以及旋转的性质得出即可；

（3）根据△AOB的面积=△AOD的面积，利用面积公式即可求解．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD关于O中心对称，

∵A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），

∴C（4，﹣2），D（1，2）；

（2）线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°；

（3）∵A（﹣4，2），D（1，2）；

∴△AOD的面积=×5×2=5，

∵O为BD中点，

∴△AOB的面积=△AOD的面积=5．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及中心对称图形的性质，三角形的面积，掌握性质与公式是解题的关键．

21．（10分）小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．

（1）如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？

（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率．

（3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他过关的概率较大．

【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；

（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．

【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，

∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；

故答案为：；

（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，

画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，

∴小明顺利通关的概率为：；

（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；

∴建议小明在第一题使用“求助”．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（10分）如图，反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象交于点A（﹣2，1），B（1，n），交y轴于点C．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）若点P是y轴上的点，请直接写出能使△PAC为等腰三角形的点P的坐标．

【分析】（1）根据点A坐标，可以求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，即可根据待定系数法求出一次函数解析式．

（2）求出一次函数与x轴的交点，再根据三角形面积公式即可求解；

（3）分三种情形：①AC=AP，②PA=AP，③AC=CP，进行讨论即可求解．

【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，1），

∴m=﹣2×1=﹣2，

∴反比例函数的解析式为y=﹣．

∵反比例函数y=的图象经过点B（1，n），

∴n=﹣2，

故B（1，﹣2），

依题意有，

解得，

∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1．

（2）当y=0时，﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，

则S△AOB=×1×1+×1×2=0.5+1=1.5；

（3）当x=0时，y=0﹣1=﹣1，

故C（0，﹣1），

AC==2，

如图中，当AP=AC时，P1（0，3），

当AC=CP时，P2（0，﹣1+2），P3（0，﹣1﹣2），

当PA=PC时，P4（0，1），

∴满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，﹣1+2）或（0，﹣1﹣2）或（0，1）．

【点评】本题考查一次函数综合题、三角形面积、等腰三角形等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．

23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，若∠BAC=30°，且∠ECF=∠E．

（1）试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长．

【分析】（1）要证CF为⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°即可；

（2）根据三角函数求得AC的长，从而可求得BE的长，再利用三角函数可求出MB的值，从而可得到MO的长，进而得出AM．

【解答】（1）证明：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=30°，

∴∠ABC=60°；

在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，

∴∠E=30°；

∵∠E=∠ECF，

∴∠ECF=30°，

∴∠ECF+∠OCB=90°；

∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，

∴∠OCF=90°，

∴CF为⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，

∴AC=ABcos30°=2，BC=ABsin30°=2；

∵AC=CE，

∴BE=BC+CE=2+2，在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，

∴MB=BEsin30°=1+，

∴MO=MB﹣OB=．

∴AM=2﹣=3﹣

【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．

24．（14分）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB=S△ABC，写出P点的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点代入y=﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解即可求得答案；

（2）首先求得点C的坐标为（0，3），然后根据同底等高的两个三角形面积相等，可得P点的纵坐标为±3，将y=±3分别代入抛物线的解析式，求出x的值，即可求得P点的坐标；

（3）根据两点之间线段最短可得Q点是AC与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线AC的解析式，将抛物线的对称轴方程x=﹣1代入求出y的值，即可得到点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵y=﹣x2﹣2x+3，

∴x=0时，y=3，

∴点C的坐标为（0，3）．

设在抛物线上存在一点P（x，y），使S△PAB=S△ABC，

则|y|=3，即y=±3．

如果y=3，那么﹣x2﹣2x+3=3，解得x=0或﹣2，

x=0时与C点重合，舍去，所以点P（﹣2，3）；

如果y=﹣3，那么﹣x2﹣2x+3=﹣3，解得x=﹣1±，

所以点P（﹣1±，﹣3）；

综上所述，所求P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；

（3）连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．

设直线AC的解析式为：y=mx+n，

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴，解得：，

∴直线AC的解析式为：y=x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x=﹣1，

∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，

∴点Q的坐标是（﹣1，2）．

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积以及轴对称﹣最短路线问题．正确求出函数的解析式是解此题的关键．

2018年四川省德阳市中江县中考数学一诊试卷