揭阳一中2018届高三上学期第一次阶段考试

数学（理科）

参考数据：

1、台体的体积公式：，其中、分别表示上、下底面面积，表示高；

2、若，有，，.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 集合，，则（ ）

A. B. C. D.

2．已知复数 ，则等于（ ）

A. B. C. D.

3.“”是“曲线过坐标原点”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知集合，，，从这三个集合中各取一

个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）

A. B. C. D.

5. 若直线是曲线的条切线，则实数（ ）

A. B. C. D.

6. 某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，

则此几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．

7. 已知随机变量服从正态分布，则（ ）

A. B. C. D.

8．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）

A. B. C. D.

9. 函数（）的大致图象为（ ）

A B C D

10.已知实数，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）

A.或 B.或 C.或 D.或

11.设、为椭圆的两个焦点，以为圆心作圆，已知圆经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点，若直线恰与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

12.已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（ ）

A.对于任意， B.对于任意，

C.当且仅当时， D.当且仅当时，

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在矩形中，，，则实数 ．

14．曲线与曲线围成图形的面积为 ．

15.在锐角三角形中，角、、所对的边为、、，若，则的值是 ．

16．已知偶函数满足．当时，.若关于的方程（且）在区间上有个根，则实数的取值范围为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知，

（1）写出图像的对称中心的坐标和单调递增区间；

（2）三个内角、、所对的边为、、，若，．求的最小值．

18.（本小题满分12分）某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.

（1）从这16人中随机选取3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望，并求出至多有1人是“极幸福”的概率；

（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望．

19.（本小题满分12分）如图，菱形与矩形所在平面互相垂直，．

（1）求证：平面；

（2）若，当二面角为直二面角时，求的值；

（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成的角的正弦值．

20.（本小题满分12分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线与椭圆相交于两点，且坐标原点到直线的距离为，的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.

21.（本小题满分12分）已知函数（为常数）．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为坐标轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.

（1）若直线与曲线交于、两点，求的值；

（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，．

（1）解不等式；

（2）若存在，也存在，使得成立，求实数的取值范围．

数学（理科）参考答案

1、选择题：DBAAB BCBDD AB

2、填空题: 13. 14. 15. 16.

3、解答题：

17.解：（1）化简得：，………2分 对称中心为：，……4分，单调递增区间为：……6分（2）由（1）知： ，，

，，，，……9分

根据余弦定理：，

当且仅当时，取最小值1.………12分

18.解：（1）的可能取值为、、、，………1分

，，

，，………4分

的分布列为

………5分

数学期望， ………6分

至多有1人是“极幸福”记为事件，则.………8分

（2）解法一：的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“极幸福”的概率为

∴；

；

∴的分布列为

数学期望. ………12分

解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为，

故随机变量满足二项分布，故数学期望.………12分

19．（1）证明：，，，平面∥平面，故平面………4分

（2）解：取的中点.由于所以，

就是二面角的平面角．………6分

当二面角为直二面角时，，即………8分

（3）几何方法：

由（2）平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角.……9分

连结，设

则在中，，，……12分

（3）向量方法：

以为原点，为轴、为轴，建立如图的直角坐标系，

设则，，平面的法向量

，……10分，.

………12分

20.解：（1）设椭圆方程为.因为，所以，据题意，点在椭圆上，则，于是，解得.

因为，，则，，故椭圆的方程为 ………4分

（2）当直线的斜率不存在时，由坐标原点到直线的距离为可知

，，， ………6分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，

原点到直线的距离为，，整理得（*）

，得

将（*）式代入得，或

，

，

综上分析，的大小为定值，且. ………12分

21.解：（1），，

当时，由，解得，即当时，，单调递增；由解得，即当时，，单调递减；

当时，，即在上单调递增；

当时，，故，即在上单调递增．

所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为． ………5分

（2）由得，

由已知有两个互异实根，，

由根与系数的关系得，，

因为，（）是的两个零点，故 ①

②

由②①得：，解得，

因为，得，

将代入得

，

所以，

设，因为，

所以，所以，

所以，所以．

构造，得，

则在上是增函数，

所以，即的最小值为．

22.解：（1）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为，则，

将直线的参数方程，与曲线的标准方程为，

得，则.

（2）由曲线的方程为，可设曲线上的动点，则以为顶点的内接矩形周长为，故该内接矩形周长的最大值为.

23.解：（1）由题意可得

因为，由函数图象可得不等式的解为，所以不等式的解集为．

（2）因为存在，存在，使得成立，

所以，

又，

由（1）可知，所以，解得，

所以实数的取值范围为．

揭阳一中2018届高三上学期第一次阶段考试（理数）