四川省2017年高考理科数学试题及答案-

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四川省２0１7年高考理科数学试题及答案
(考试时间:120分钟 试卷满分：15０分
一、选择题:本大题共12小题,每小题５分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
xy1，B=(x,y│yx，则Ａ1.已知集合A=(x,y│A.3


B．2
ﻩC．1 22B中元素的个数为 ﻩD．0 2。设复数z满足（1+iz=2i,则∣z∣= A。1 2ﻩB.2
2ﻩ C．2 ﻩﻩD.2 3。某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量,收集并整理了201４年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图,下列结论错误的是 Ａ。月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
Ｃ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
Ｄ.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至１2月，波动性更小，变化比较平稳 4．（x+y）（２x-y）的展开式中xy的系数为
533Ａ．-80ﻩ B。－40 ﻩﻩC．40ﻩﻩ D。80 x2y25x,且与椭圆 5。 已知双曲线C：221 （a>０，b〉0的一条渐近线方程为y2ab1 / 13
x2y21 有公共焦点，则C的方程为 123x2y2x2y2x2y2x2y21ﻩ B。1ﻩ C．1 D。1 A．8104554436.设函数f（ｘ=cos（x+）,则下列结论错误的是
3A。f（ｘ的一个周期为−2πﻩﻩ B．y=f(x）的图像关于直线x=C.ｆ（x+π的一个零点为x=D。f（x）在(8对称
3ﻩ 6，π）单调递减
2７.执行下面的程序框图，为使输出Ｓ的值小于91，
则输入的正整数N的最小值为 A．5 ﻩC.3

ﻩB。4 ﻩD．２
的同一个８．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为２球的球面上，则该圆柱的体积为
Ａ．π ﻩﻩB。3πﻩﻩ
4ﻩC．π
2 ﻩD．π
49．等差数列an的首项为１，公差不为0。若a2,a3，a６成等比数列，则an前６项的和为
A。-２4 ﻩﻩＢ.-3 ﻩ

C．3ﻩﻩ
D。８
x2y210.已知椭圆C：221，（a>ｂ〉０）的左、右顶点分别为A１，A2，且以线段Ａ1A2为直径的圆与直ab线bxay2ab0相切,则C的离心率为
A.6
32
B.3ﻩﻩ
3x1C.2 ﻩ
3D。1
311.已知函数f(xx2xa(eＡ．ex1有唯一零点，则a=

C．1 2ﻩＢ。1 31 ﻩﻩD．1 212．在矩形ＡBCＤ中，AB＝1,AＤ=２,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP= AB+AD,2 / 13
则+的最大值为 A。3ﻩ

B．２2
ﻩ
C．5ﻩﻩﻩD。2 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
xy0１３．若x，y满足约束条件xy20，则z3x4y的最小值为＿_＿＿_＿__＿_．
y014．设等比数列an满足ａ1 + a2 = –1， a１ – a3 ＝ –3,则a4 = ___________． x1，x0，115.设函数f(xx则满足f(xf(x1的x的取值范围是_______＿_。
22，x0，1６.a，ｂ为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形AＢＣ的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，ＡＢ与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AＢ与b成60°角； ③直线ＡＢ与a所称角的最小值为45°； ④直线AＢ与a所称角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题:共60分。 17.(1２分）
△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c,已知sｉnA＋3cosA=0,a=27，ｂ=2. （１求ｃ; （２设D为BC边上一点,且AD AＣ,求△ABD的面积。 １８．(1２分
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温（单位:℃有关。如果最高气温不低于2５,需求量为50０瓶;如果最高气温位于区间［2０，25），需求量为30０瓶;如果最高气温低于2０,需求量为20０瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
3 / 13
最高气温 ［10,15） [15,20 ［５）
20,2［25,30） ［30，35）
25 7 [3５，40）
4 天数 ２ １6 ３６
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（２）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．(12分）
如图，四面体ABＣD中，△ABC是正三角形,△AＣD是直角三角形，∠ABＤ=∠CＢD,AB=BD.
（1）证明:平面ＡＣD⊥平面ABC; （2）过ＡC的平面交BD于点E，若平面ＡEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AＥ–C的余弦值．
２０．(1２分
已知抛物线C:ｙ=2x，过点(2,0的直线l交C与Ａ，B两点，圆M是以线段ＡB为直径的圆． (1）证明：坐标原点O在圆Ｍ上；
(2设圆M过点P（４，—2，求直线l与圆Ｍ的方程． 21.(12分）
已知函数f(x =x﹣1﹣ａlnx． (１若f(x0 ，求a的值; （2设ｍ为整数,且对于任意正整数n,(1+(1+２1211(1+﹤m，求ｍ的最小值。 222n（二）选考题：共１０分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分. 2２．[选修44:坐标系与参数方程]（1０分）
x2+t,在直角坐标系xOy中，直线l１的参数方程为(t为参数,直线l2的参数方程为ykt,4 / 13
x2m,。设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线Ｃ。 （m为参数）my,k（1）写出C的普通方程；
（2以坐标原点为极点,ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l３:ρ（cosθ＋siｎθ）－2=0，Ｍ为ｌ3与C的交点,求Ｍ的极径. 23．［选修45：不等式选讲](10分）
已知函数f(x）=│x+１│–│x–２│. （1）求不等式ｆ（x≥１的解集；
（2）若不等式ｆ（x）≥x–x ＋m的解集非空,求m的取值范围．
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参考答案
一、选择题:
1．B 2。C 3.Ａ 4．Ｃ 5．B 6.Ｄ 8．Ｂ 9．A 10。Ａ 11.C 1２．A １１、【解析】由条件，yPBECＤ 7。f(xx22xa(ex1ex1，得: f(2x(2x2(2xa(ex22xa(ex1ex1∴f(2xf(x,即x1为f(x的对称轴， 由题意，f(x有唯一零点， ∴f(x的零点只能为x1， 即f(11221a(e11e110, 解得a1. 222x1e(2x1
A(ODx
x24x442xa(e1xex112、【解析】由题意,画出右图. 设BD与C切于点E，连接CE． 以A为原点，AD为x轴正半轴, AB为y轴正半轴建立直角坐标系，
5 / 13
则C点坐标为(2,1． ∵|CD|1,|BC|2． ∴BD12225。 ∵BD切C于点E. ∴CE⊥BD．
∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高. 12|BC||CD|2S22|EC|△BCD25
|BD||BD|55即C的半径为25. 5∵P在C上． ∴P点的轨迹方程为(x22(y1245．
设P点坐标(x0,y0，可以设出P点坐标满足的参数方程如下: 2x25cos05y125sin05
而AP(x0,y0，AB(0,1，AD(2,0． ∵APABAD(0,1(2,0(2, ∴2155sin． x01cos，y01525两式相加得：
1255sin1cos552525(2sin(552sin(≤3 2( (其中sin当且仅当二、填空题：
525，cos） 55π2kπ，kZ时,取得最大值3。
2113． 1 14. 8 15．, 16．②③
416、【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图。
6 / 13
不妨设图中所示正方体边长为1, 故|AC|1,AB2, 斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则A点保持 不变, B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆．
以C为坐标原点,以CD为x轴正方向，CB为
y轴正方向，
CA为z轴正方向建立空间直角坐标系. 则D(1,0,0，A(0,0,1，
直线a的方向单位向量a(0,1,0，|a|1。
B点起始坐标为(0,1,0，
直线b的方向单位向量b(1,0,0，|b|1。 设B点在运动过程中的坐标B(cos,sin,0， 其中为BC与CD的夹角，[0,2π．
那么AB'在运动过程中的向量AB(cos,sin,1,|AB|2．
π设AB与a所成夹角为[0,]，
2则cos(cos,sin,1(0,1,0aAB22|sin|[0,]． 22ππ故[,]，所以③正确，④错误. 42π设AB与b所成夹角为[0,], 2cosABbbAB(cos,sin,1(1,0,0. bAB2|cos|2π，
3当AB与a夹角为60时，即sin2cos2cos3212。
22∵cos2sin21, 7 / 13
∴|cos|∴cos2. 221|cos|. 22π∵[0,]．
2∴=π，此时AB与b夹角为60。
3∴②正确，①错误. 三、解答题: π17.（1）由sinA3cosA0得2sinA0，
3即A∴AπkπkZ，又A0,π， 32πππ,得A．
33由余弦定理a2b2c22bccosA。
1又∵a27,b2,cosA代入并整理得
2c1225,故c4. (2） ∵AC2,BC27,AB4，
a2b2c227由余弦定理cosC．
2ab7∵ACAD,即△ACD为直角三角形， 则ACCDcosC,得CD7. 由勾股定理AD又ACDAC3. 222π2πππ， ,则DAB33261πADABsin3. 26S△ABD1８．⑴易知需求量x可取200,300,500 ﻩﻩPX200

2161 3035362 3035ﻩPX300ﻩPX50025742。
30358 / 13
ﻩ 则分布列为: ﻩ⑵ ①当n≤200时：Yn642n，此时Ymax400，当n200时取到．

ﻩ②当200n≤300时：Y412n2002n2002 5588002n6n800n 555


ﻩ此时Ymax520,当n300时取到。
ﻩ③当300n≤500时，


122Y2002n20023002n3002n2 55532002n
5ﻩ

ﻩ此时Y520．

④当n≥500时，易知Y一定小于③的情况。
ﻩﻩ 综上所述：当n300时,Y取到最大值为520． １9． ⑴ 取AC中点为O,连接BO，DO; ABC为等边三角形
∴BOAC ∴ABBC
ABBCABDCBD。 BDBDABDDBC
DCOE∴ADCD,即ACD为等腰直角三角形,ADC 为直角又O为底边AC中点 ∴DOAC
令ABa,则ABACBCBDa 易得:OD2BA23a，OBa 2222∴ODOBBD
由勾股定理的逆定理可得DOB2
9 / 13
即ODOB
ODACODOBACOBOOD平面ABC AC平面ABCOB平面ABCz又∵OD平面ADC 由面面垂直的判定定理 可得平面ADC平面ABC ⑵ 由题意可知VDACEVBACE
即B，D到平面ACE的距离相等 即E为BD中点

DCOEBAyx以O为原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，设ACa， 建立空间直角坐标系，
33aaaB0,a,0E0,a,O0,0,0A,0,0D0,0,则，， ,，24422a3aaaaAD,0,OA,0,0 ,a,易得：AE,，244222设平面AED的法向量为n1，平面AEC的法向量为n2, AEn10则，解得n1ADn013,1,3
AEn20,解得n20,1,3
OAn20若二面角DAEC为,易知为锐角， 则cosn1n2n1n27
72０。⑴ 显然,当直线斜率为0时,直线与抛物线交于一点，不符合题意。
设l:xmy2,A(x1,y1,B(x2,y2， y22x联立:得y22my40, xmy24m216恒大于0，y1y22m，y1y24．

(my12(my22
10 / 13
(m21y1y22m(y1y24 4(m212m(2m40
∴，即O在圆M上.
⑵ 若圆M过点P，则(x14(x24(y12(y220 (my12(my22(y12(y220
(m21y1y2(2m2(y1y280
1化简得2m2m10解得m或1
21①当m时，l:2xy40圆心为Q(x0,y0，
2y0y1y2119，x0y02， 22242291半径r|OQ|
42921285则圆M:(x(y
4216②当m1时,l:xy20圆心为Q(x0,y0， y0y1y21，x0y023， 2半径r|OQ|3212 则圆M:(x32(y1210
21.⑴ f(xx1alnx，x0
则f(x1axa，且f(10
xx当a≤0时，fx0，fx在0，上单调增，所以0x1时，fx0,不满足题意； 当a0时，
当0xa时，f(x0,则f(x在(0,a上单调递减； 当xa时，f(x0,则f(x在(a,上单调递增. ①若a1，f(x在(a,1上单调递增∴当x(a,1时f(xf(10矛盾 ②若a1，f(x在(1,a上单调递减∴当x(1,a时f(xf(10矛盾
③若a1，f(x在(0,1上单调递减，在(1,上单调递增∴f(x≥f(10满足题意
11 / 13
综上所述a1．
⑵ 当a1时f(xx1lnx≥0即lnx≤x1
则有ln(x1≤x当且仅当x0时等号成立 ∴ln(111，kN* kk221111111一方面：ln(1ln(12...ln(1n2...n1n1，
2222222111即(1(12...(1ne. 222111111135另一方面:(1(12...(1n(1(12(132
22222264111当n≥3时，(1(12...(1n(2,e
222111∵mN*,(1(12...(1nm，
222∴m的最小值为3．
22．⑴ 将参数方程转化为一般方程
l1:ykx2 ……① l2:y1x2 ……②
k①②消k可得:x2y24 即P的轨迹方程为x2y24; ⑵将参数方程转化为一般方程
l3:xy20 ……③
xy20联立曲线C和l32 2xy432x2解得
y22xcos由解得5
ysin即M的极半径是5. 3,x≤1２３．⑴ fx|x1||x2|可等价为fx2x1,1x2.由fx≥1可得: 3,x≥212 / 13
①当x≤1时显然不满足题意； ②当1x2时，2x1≥1，解得x≥1; ③当x≥2时,fx3≥1恒成立。综上，fx1的解集为x|x≥1. 22⑵ 不等式fx≥xxm等价为fxxx≥m，
2令gxfxxx,则gx≥m解集非空只需要gxmax≥m。
x2x3,x≤12而gxx3x1,1x2. x2x3,x≥2①当x≤1时,gxmaxg13115； ②当1x2时，gxmax3533g31；
242222③当x≥2时，gxmaxg22231。
综上，gxmax55，故m. 4413 / 13

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