2020年湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）（2020•荆州一模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

2．（5分）（2020•荆州一模）设x∈R，则“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＞4”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）（2020•荆州一模）已知a＝30.4，b＝log432，c＝log550，则a，b，c在大小关系为（　　）

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c

4．（5分）（2020•荆州一模）若函数f（x）＝ax2﹣2x+1在（0，+∞）上有零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤0 B．a≤1 C．a≥0 D．a≥1

5．（5分）（2020•荆州一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5+a6＝0，S12＝24，则nSn的最小值为（　　）

A．﹣144 B．﹣145 C．﹣146 D．﹣147

6．（5分）（2020•荆州一模）函数的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

7．（5分）（2020•荆州一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x∈（﹣∞，0]时，，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（　　）

A．（2，+∞） B．（0，2）

C．（﹣∞，0）∪（1，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）

8．（5分）（2020•荆州一模）已知数列{an}中，an＝（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＞，则n的最小值为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

9．（5分）（2020•荆州一模）已知α为第三象限角，cosα﹣sinα＝﹣，则cos2α＝（　　）

A． B．﹣ C．± D．﹣

10．（5分）（2020•荆州一模）已知命题p：函数的定义域为R，命题q：存在实数x满足ax≤lnx，若p∧q为真，则实数a的取值范围是（　　）

A．[﹣2，] B．[，2] C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）

11．（5分）（2020•荆州一模）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且对任意不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，若关于x的不等式f（asinx）+f（1）＞0在实数R上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．0＜a＜1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜1 D．﹣1＜a＜1

12．（5分）（2020•荆州一模）已知函数，若f（x）≥kx在x∈[0，+∞）时总成立，则实数k的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，e] C．（﹣∞，2e] D．（﹣∞，e2]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2020•荆州一模）若实数x，y满足，则2y﹣x的最大值是　 　．

14．（5分）（2020•荆州一模）在正项等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝，且a1a2+a2a3+…+anan+1＜k恒成立，则实数k的取值范围是　 　．

15．（5分）（2020•荆州一模）设函数，若f（x）≤3﹣ax恒成立，则实数a的取值范围是　 　．

16．（5分）（2020•荆州一模）已知函数f（x）＝ex（x+﹣a﹣1），其导函数为f'（x），若存在x∈[2，4]使得f（x）+xf′（x）＞0成立，则实数a的取值范围是　 　．

三、解答题：（共70分）

17．（12分）（2020•荆州一模）已知函数．

（1）求函数f（x）的对称中心和单调递减区间；

（2）若将函数f（x）的图象上每一点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的值域．

18．（12分）（2020•荆州一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知ac＝4（c2﹣a2﹣b2），．

（1）求cosC；

（2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长L．

19．（12分）（2020•荆州一模）在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且S3＝14．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）令，（﹣1）ndn＝ncn+n，求数列{dn}的前项和为Tn．

20．（12分）（2020•荆州一模）为落实习近平同志关于“绿水青山就是金山银山”的重要讲话精神．某地大力加强生态综合治理．治理之初该地某项污染物指标迅速下降，后随季节气候变化，这项指标在一定范围内波动．如图是治理开始后12个月内该地该项污类物指标随时间x（单位：月）变化的大致曲线，其近似满足函数：

f（x）＝其中e＝2.71828…，A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π

（1）求f（x）的表达式；

（2）若该项污染物指标不超过2.5，则可认为环环境良好，求治理开始以来的12个月内，该地环境良好的时间长度大约有几个月[精确到整数，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）？

21．（12分）（2020•荆州一模）已知函数f（x）＝﹣+m（m﹣3）x+n，m，n∈R，且|m|≤1．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y＝ex与函数y＝ex•f（x）在公共点P（x0，y0）处有相同的切线，且f（x）≥1在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．

（i）求f'（x0）和f（x0）的值；（f'（x）为函数f（x）的导函数）

（ii）求实数n的取值范围．

（二）选考题：共10分.请考生在第223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）（2020•荆州一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若点P，Q分别是曲线C1，C2上的点，求|PQ|的最小值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（2020•荆州一模）已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣2|，f（x）的最小值为M．

（1）求M；

（2）若a＞0，b＞0，且a+b＝M，求的最小值．

2020年湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）（2020•荆州一模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【考点】18：集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有

【专题】36：整体思想；49：综合法；5J：集合；65：数学运算．

【分析】先根据题意解出集合A，再根据题意分析B中元素为A中的子集，可求出．

【解答】解：因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，

所以A＝{0，1，2}，

因为B＝{C|C⊆A}，

所以B中的元素为A的子集个数，即B有23＝8个，

故选：C．

【点评】本题考查集合，集合子集个数，属于基础题．

2．（5分）（2020•荆州一模）设x∈R，则“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＞4”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有

【专题】36：整体思想；49：综合法；5L：简易逻辑；65：数学运算．

【分析】解出集合，根据集合的包含关系判断充要性．

【解答】解：x2﹣2x﹣3＞0即为x＜﹣1或x＞3，

故“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，

故选：B．

【点评】本题考查充要性，以及集合的包含关系，属于基础题．

3．（5分）（2020•荆州一模）已知a＝30.4，b＝log432，c＝log550，则a，b，c在大小关系为（　　）

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c

【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有

【专题】36：整体思想；51：函数的性质及应用；65：数学运算．

【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．

【解答】解：a＝30.4，b＝log432＝，c＝log550＝2+log52＝．

故a＜c＜b．

故选：B．

【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．

4．（5分）（2020•荆州一模）若函数f（x）＝ax2﹣2x+1在（0，+∞）上有零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤0 B．a≤1 C．a≥0 D．a≥1

【考点】3V：二次函数的性质与图象．菁优网版权所有

【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用；66：数据分析．

【分析】利用分类讨论的方法，及二次函数的图象与性质即可求解．

【解答】解：由于函数f（x）＝ax2﹣2x+1在（0，+∞）上有零点，即f（x）＝0在（0，+∞）上有解．

①当a＝0时，f（x）＝﹣2x+1＝0，则x＝，满足题意；

②当a≠0时，ax2﹣2x+1＝0，则a＝＝＝﹣（）2+1；

∴a≤1，且a≠0；

综上所诉：a≤1；

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，考查了学生的分析能力与计算能力；属于中档题．

5．（5分）（2020•荆州一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5+a6＝0，S12＝24，则nSn的最小值为（　　）

A．﹣144 B．﹣145 C．﹣146 D．﹣147

【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有

【专题】36：整体思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算．

【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知得到首项和公差的关系，代入后结合相应函数的单调性即可求解．

【解答】解：差数列{an}，a5+a6＝0，S12＝24，

∴，

解方程可得，d＝2，a1＝﹣9，

∴sn＝﹣9n+n（n﹣1）＝n2﹣10n，

则nSn＝n3﹣10n2，

结合函数f（x）＝x3﹣10x2，

∴f′（x）＝3x2﹣20x，则当x时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x时，f′（x）＞0，函数单调递增，

∵n∈N*，故当n＝7时，nSn的最小值﹣147．

故选：D．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是中档题．

6．（5分）（2020•荆州一模）函数的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有

【专题】13：作图题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；65：数学运算．

【分析】由f（﹣x）＝﹣f（x）可判断函数f（x）为奇函数，可排除B，D；由x∈（0，1）时，f（x）＞0，可排除C，进而得到答案．

【解答】解：∵f（x）＝的定义域为{x|x∈R且x≠±1}，

∴f（﹣x）＝＝＝﹣f（x）；∴函数是奇函数，即函数定义域关于原点对称，

由此可排除选项B，D；

当x∈（0，1）时，1﹣|x|＞0，sinx＞0，故f（x）＞0，由此可排除选项C；

故选：A．

【点评】本题考查函数图象的识别，根据函数解析式判断函数图象，一般可以从奇偶性，单调性，特殊点，函数值的正负等角度，运用排除法求解，属于中档题．

7．（5分）（2020•荆州一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x∈（﹣∞，0]时，，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（　　）

A．（2，+∞） B．（0，2）

C．（﹣∞，0）∪（1，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）

【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；62：逻辑推理．

【分析】由题意，问题可转化为|x﹣1|＜1，解绝对值不等式即可得到答案．

【解答】解：依题意，函数在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝f（﹣1）＝0，

∴不等式f（1﹣x）＜0等价于f（|1﹣x|）＜f（1），即|x﹣1|＜1，解得0＜x＜2．

故选：B．

【点评】本题考查函数奇偶性及单调性的综合运用，考查不等式的解法，属于基础题．

8．（5分）（2020•荆州一模）已知数列{an}中，an＝（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＞，则n的最小值为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4H：作差法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算．

【分析】求得an＝＝＝﹣，由数列的裂项相消求和和不等式的解法，可得所求最小值．

【解答】解：an＝＝＝﹣，

Sn＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣，

由Sn＞，可得1﹣＞

解得n＞9，

则n的最小值为10，

故选：C．

【点评】本题考查数列的裂项相消求和，不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．

9．（5分）（2020•荆州一模）已知α为第三象限角，cosα﹣sinα＝﹣，则cos2α＝（　　）

A． B．﹣ C．± D．﹣

【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有

【专题】36：整体思想；49：综合法；56：三角函数的求值；65：数学运算．

【分析】由已知结合同角平方关系可求cosα+sinα，由cos2α＝（cosα﹣sinα）（cosα+sinα），代入即可求解．

【解答】解：∵α为第三象限角，cosα﹣sinα＝﹣，

∴1﹣2sinαcosα＝，

∴sinαcosα＝，

∴sinα＜0，cosα＜0，且cosα＜sinα，

∴cosα+sinα＜0，

∵（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，

∴sinα+cosα＝﹣，

则cos2α＝（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝＝

故选：A．

【点评】本题主要考查了同角平方关系及二倍角余弦公式的简单应用，属于基础试题．

10．（5分）（2020•荆州一模）已知命题p：函数的定义域为R，命题q：存在实数x满足ax≤lnx，若p∧q为真，则实数a的取值范围是（　　）

A．[﹣2，] B．[，2] C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）

【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用；5L：简易逻辑；62：逻辑推理；65：数学运算．

【分析】若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；则命题是P，Q一真一假，进而可得答案．

【解答】解：当P为真时：x2﹣ax+1≥0恒成立，

即△＝a2﹣4≤0，

解得：﹣2≤a≤2，

当Q为真时：存在实数x满足ax≤lnx，即a≤（）max；

令y＝，y'＝，当x∈（0，e），y'＞0，函数单调递增；当x∈（e，+∞），y'＜0，函数单调递减；

故当x＝e时，函数有最大值＝；解得a≤；

∵p∧q是真命题，故命题是p，q都是真命题，

则﹣2≤a≤2且a≤

∴实数a的取值范围为[﹣2，]．

故选：A．

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数恒成立问题，复合命题，属于中档题．

11．（5分）（2020•荆州一模）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且对任意不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，若关于x的不等式f（asinx）+f（1）＞0在实数R上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．0＜a＜1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜1 D．﹣1＜a＜1

【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；65：数学运算．

【分析】利用已知条件判断函数的奇偶性以及函数的单调性，不等式f（asinx）+f（1）＞0在实数R上恒成立，转化不等式，然后求解即可．

【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，

且对任意不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，可得函数是增函数，

关于x的不等式f（asinx）+f（1）＞0在实数R上恒成立，

就是f（asinx）＞﹣f（1）＝f（﹣1），

可得asinx＞﹣1恒成立．因为 sinx∈[﹣1，1]，

所以a∈（﹣1，1）．

故选：D．

【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的判定及应用，三角函数的最值，恒成立体积的转化求解参数a是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，是中档题．

12．（5分）（2020•荆州一模）已知函数，若f（x）≥kx在x∈[0，+∞）时总成立，则实数k的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，e] C．（﹣∞，2e] D．（﹣∞，e2]

【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有

【专题】32：分类讨论；48：分析法；53：导数的综合应用；62：逻辑推理．

【分析】当x＝0时，显然成立；当x＞0时，则恒成立，令，分k≤1及k＞1讨论即可．

【解答】解：当x＝0时，f（x）≥kx显然恒成立；

当x＞0时，f（x）≥kx即为，设，则g′（x）＝ex﹣x﹣k，g''（x）＝ex﹣1＞0，

∴函数g′（x）在（0，+∞）上为增函数，

①当k≤1时，g′（x）＞g′（0）＝1﹣k≥0，故函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，

∴g（x）＞g（0）＝0，即f（x）≥kx成立；

②当k＞1时，g′（0）＝1﹣k＜0，g′（k）＝ek﹣2k＞0，故存在x0∈（0，k），使得g′（x0）＝0，

∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＜g（0）＝0，即f（x）＜kx，不符题意；

综上所述，实数k的取值范围为（﹣∞，1]．

故选：A．

【点评】本题考查利用导数的综合运用，考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查逻辑推理能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2020•荆州一模）若实数x，y满足，则2y﹣x的最大值是　6　．

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式；63：数学建模．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可的得到结论．

【解答】解：作实数x，y满足可行域如图所示，

由z＝2y﹣x得y＝x+z，作直线y＝x+z平移，解得B（2，4）．

直线经过点B（2，4）时，该直线在y轴上的截距最大，此时zmax＝2×4﹣2＝6．

故答案为：6．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

14．（5分）（2020•荆州一模）在正项等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝，且a1a2+a2a3+…+anan+1＜k恒成立，则实数k的取值范围是　[，+∞）　．

【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算．

【分析】正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式可得公比q，即有an，运用等比数列的求和公式求得a1a2+a2a3+…+anan+1，结合不等式的性质和恒成立思想，可得所求范围．

【解答】解：正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，a1＝3，a3＝，

可得q2＝＝，解得q＝，an＝3•（）n﹣1，

a1a2+a2a3+…+anan+1＝3+++…+9•（）2n﹣1＝＝（1﹣）＜，

a1a2+a2a3+…+anan+1＜k恒成立，可得k≥．

故答案为：[，+∞）．

【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于基础题．

15．（5分）（2020•荆州一模）设函数，若f（x）≤3﹣ax恒成立，则实数a的取值范围是　[0，1]　．

【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；32：分类讨论；44：数形结合法；51：函数的性质及应用；65：数学运算．

【分析】根据题意，分x≤2和2＜x＜3两种情况，画出图象，分别求f（x）≤3﹣ax恒成立的a的取值范围即可．

【解答】解：①当x≤2时，要使得4x﹣2≤3﹣ax恒成立，

当a＝0时，4x﹣2≤40＝1≤3恒成立；

当a≠0时，由图象可知，；

∴0＜a≤1；

综上，0≤a≤1；

②当2＜a＜3时，要使得log2（x﹣2）≤3﹣ax恒成立，

当a＝0时，0＜x﹣2＜1；log2（x﹣2）＜0≤3，恒成立；

当a≠0时，有图象可知，，∴0＜a≤1；

综上，0≤a≤1．

故答案为：[0，1]．

【点评】本题考查了分段函数的图象与性质，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．

16．（5分）（2020•荆州一模）已知函数f（x）＝ex（x+﹣a﹣1），其导函数为f'（x），若存在x∈[2，4]使得f（x）+xf′（x）＞0成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，6）　．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有

【专题】36：整体思想；49：综合法；53：导数的综合应用；65：数学运算．

【分析】构造函数g（x）＝xf（x），然后结合已知可判断其符号，结合二次不等式的性质即可求解．

【解答】解：令g（x）＝xf（x）＝ex[x2+（2a﹣1）﹣（a+1）x]，

则存在x∈[2，4]使g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，

即ex[x2﹣（a﹣1）x+a﹣2]＞0在x∈[2，4]上有解，

∴x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝（x﹣1）[x﹣（a﹣2）]＞0x∈[2，4]上有解，

结合二次不等式的性质可知，a﹣2≤1或1＜a﹣2＜4，

解可得，a≤3或3＜a＜6，即a＜6．

综上可得，a的范围（﹣∞，6）．

故答案为：（﹣∞，6）．

【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及转化思想的应用，考查计算能力．

三、解答题：（共70分）

17．（12分）（2020•荆州一模）已知函数．

（1）求函数f（x）的对称中心和单调递减区间；

（2）若将函数f（x）的图象上每一点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的值域．

【考点】GP：两角和与差的三角函数；HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；48：分析法；57：三角函数的图象与性质；62：逻辑推理；65：数学运算．

【分析】（1）化简可得，再利用正弦函数的性质即可得解；

（2），结合，进而求得值域．

【解答】解：（1）＝，

令，得，则函数f（x）的对称中心为，

令，得，则函数的单调递减区间为；

（2）由题意，，

∵，

∴，

∴，

∴函数g（x）的值域为．

【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的图象及性质，属于基础题．

18．（12分）（2020•荆州一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知ac＝4（c2﹣a2﹣b2），．

（1）求cosC；

（2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长L．

【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有

【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；58：解三角形；65：数学运算．

【分析】（1）由，得c＝2b，结合余弦定理求出cosC；

（2）结合（1）的结论，和面积值为，求出a，b，c，再求出L．

【解答】解：（1）因为，

所以sinC＝2sinB，

所以c＝2b，

又ac＝4（c2﹣a2﹣b2），

所以cosC＝；

（2）由c＝2b，代入ac＝4（c2﹣a2﹣b2），

的2a＝3b，

又由（1）得sinC＝，

所以，

所以c＝6，b＝3，a＝，

所以三角形ABC的周长L＝a+b+c＝．

【点评】考查了正余弦定理的应用，中档题．

19．（12分）（2020•荆州一模）在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且S3＝14．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）令，（﹣1）ndn＝ncn+n，求数列{dn}的前项和为Tn．

【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算．

【分析】（1）等差数列{an}的公差设为d，正项等比数列{bn}的公比设为q，q＞0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；

（2）求得＝2n+1﹣1，dn＝2n•（﹣2）n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．

【解答】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，正项等比数列{bn}的公比设为q，q＞0，

a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，

可得2a2＝b1+b2，即2（1+d）＝2+2q，即d＝q，

数列{bn}的前n项和为Sn，且S3＝14，可得2+2q+2q2＝14，解得q＝2，d＝2，

则an＝2n﹣1，bn＝2n；

（2）＝2n+1﹣1，

（﹣1）ndn＝ncn+n＝n•2n+1，

则dn＝2n•（﹣2）n，

前项和为Tn＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n•（﹣2）n，

﹣2Tn＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n•（﹣2）n+1，

相减可得3Tn＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n）﹣2n•（﹣2）n+1

＝﹣4+2•﹣2n•（﹣2）n+1，

化简可得Tn＝﹣﹣•（﹣2）n+1．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．

20．（12分）（2020•荆州一模）为落实习近平同志关于“绿水青山就是金山银山”的重要讲话精神．某地大力加强生态综合治理．治理之初该地某项污染物指标迅速下降，后随季节气候变化，这项指标在一定范围内波动．如图是治理开始后12个月内该地该项污类物指标随时间x（单位：月）变化的大致曲线，其近似满足函数：

f（x）＝其中e＝2.71828…，A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π

（1）求f（x）的表达式；

（2）若该项污染物指标不超过2.5，则可认为环环境良好，求治理开始以来的12个月内，该地环境良好的时间长度大约有几个月[精确到整数，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）？

【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有

【专题】12：应用题；33：函数思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质；65：数学运算．

【分析】（1）利用f（0）＝eb+a＝9，f（2）＝e2k+b+a＝3，f（3）＝e3k+b+a＝2，和函数的最大值和最小值，求出f（x）的解析式；

（2）分段解不等式f（x）≤2.5，得出结论即可．

【解答】解：（1）由f（0）＝eb+a＝9，f（2）＝e2k+b+a＝3，f（3）＝e3k+b+a＝2，

联立解方程组得，，

故当0≤x≤3时，f（x）＝；

当3＜x≤12时，由，得A＝1，B＝2，

T＝2（9﹣5）＝8＝，所以，

由f（50＝sin（）+2＝1，﹣π＜φ≤π，得φ＝，

综上，f（x）＝；

（2）令f（x）≤2.5，

当0≤x≤3时，≤2.5，得4﹣log23≤x≤3；

当3＜x≤12时，，

当sin（）+2＝2.5时，得x＝8k﹣或者8k+，k∈Z，

又当3＜x≤12时，x＝，

结合函数图象，故不等式的解集为，

故所求的时间长度为：12﹣+，

故地环境良好的时间长度大约有7个月．

【点评】考查函数求解析式，三角函数的性质等，中档题．

21．（12分）（2020•荆州一模）已知函数f（x）＝﹣+m（m﹣3）x+n，m，n∈R，且|m|≤1．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y＝ex与函数y＝ex•f（x）在公共点P（x0，y0）处有相同的切线，且f（x）≥1在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．

（i）求f'（x0）和f（x0）的值；（f'（x）为函数f（x）的导函数）

（ii）求实数n的取值范围．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；36：整体思想；49：综合法；53：导数的综合应用；65：数学运算．

【分析】（1）结合导数与单调性的关系可求函数的单调区间，

（2）（i）结合导数的几何意义即可求解，

（ii）由f（x）≥1＝f（x0）在[x0﹣1，x0+1]上恒成立，且f′（x0）＝0，可知x0是函数f（x）的极小值点，由（1）值x0＝m，代入后分离n，转化为求解函数的值域．

【解答】解：（1）∵f（x）＝﹣+m（m﹣3）x+n，

∴f′（x）＝﹣x2+3x+m（m﹣3）＝﹣（x﹣m）[x﹣（3﹣m）]，

∵|m|≤1，

∴m＜3﹣m，

故当m＜x＜3﹣m时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜m或x＞3﹣m时，f′（x）＜0，函数单调递减，

因此，函数的单调递增区间（m，3﹣m），单调递减区间（﹣∞，m），（3﹣m，+∞），

（2）（i）∵y＝ex与函数y＝ex•f（x）在公共点P（x0，y0）处有相同的切线，

∴，

∴，

（ii）∵f（x）≥1＝f（x0）在[x0﹣1，x0+1]上恒成立，且f′（x0）＝0，

∴x0是函数f（x）的极小值点，由（1）值x0＝m，

∴f（x0）＝f（m）＝+m（m﹣3）m+n＝1，

∴n＝，m∈[﹣1，1]，

令t（x）＝，x∈[﹣1，1]，

则t′（x）＝﹣2x2+3x

令t′（x）＝0可得x1＝0，x2＝，

∵t（﹣1）＝，t（0）＝1，t（1）＝，

∴t（x）的值域[1，]，

所以n的范围[1，]．

【点评】本题主要考查了函数的导数与单调性的关系及导数几何意义的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力，属于难题．

（二）选考题：共10分.请考生在第223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）（2020•荆州一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若点P，Q分别是曲线C1，C2上的点，求|PQ|的最小值．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有

【专题】3：解题思想；5B：直线与圆；5S：坐标系和参数方程；62：逻辑推理；65：数学运算．

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．

（2）利用（1）的结论，利用点到直线的距离公式的应用和二次函数的应用求出结果．

【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：x2＝4y．

曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0．

（2）点P，Q分别是曲线C1，C2上的点，

设点P（4t，4t2）则点P到直线C2的距离d＝＝，

所以．

【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（2020•荆州一模）已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣2|，f（x）的最小值为M．

（1）求M；

（2）若a＞0，b＞0，且a+b＝M，求的最小值．

【考点】7F：基本不等式及其应用；R4：绝对值三角不等式．菁优网版权所有

【专题】36：整体思想；49：综合法；5T：不等式；65：数学运算．

【分析】（1）根据参数去掉绝对值，成分段函数，分段函数的最小值为每一段函数的最小值中的最小值．

（2）有（1）知a+b＝3，合理构造使得可以使用均值不等式，求最小值．

【解答】解：（1）∵函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣2|＝，

∴f（x）min＝f（﹣1）＝3．

（2）由（1）知a+b＝3，

故＝

＝，

又a＞0，b＞0，

∴，，

∴，当且仅当时“＝”成立，

∴，

∴的最小值为．

【点评】本题考查绝对值不等式，基本不等式，注意合理构造，属于中等题．

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日期：2020/2/6 13:33:27；用户：刘老师；邮箱：139********；学号：28427759

2020年湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科）