2019-2020学年高中数学 8.5曲线与方程提能训练 理 新人教A版

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.(2012·岳阳模拟)方程(x+y-2) =0表示的曲线是( )

(A)一个圆和一条直线 (B)半个圆和一条直线

(C)一个圆和两条射线 (D)一个圆和一条线段

2.设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0，则动点P(x,)的轨迹是( )

(A)圆

(B)椭圆的一部分

(C)双曲线的一部分

(D)抛物线的一部分

3.(2012·衡阳模拟)若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足＝0，则P点的轨迹是( )

(A)圆 (B)椭圆

(C)双曲线 (D)抛物线

4.设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰直角△OPQ，则动点Q的轨迹是( )

(A)圆 (B)两条平行直线

(C)抛物线 (D)双曲线

5.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )

(A) (B)

(C) (D)

6.已知点P在定圆O的圆内或圆周上，动圆C过点P与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是( )

(A)圆或椭圆或双曲线

(B)两条射线或圆或抛物线

(C)两条射线或圆或椭圆

(D)椭圆或双曲线或抛物线

二、填空题(每小题6分，共18分)

7.(2012·邵阳模拟)过定点A(a,b)任作互相垂直的两直线l1与l2,且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于N点，则线段MN中点P的轨迹方程为________________.

8.(2012·昆明模拟)设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为邻边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为___________.

9.(易错题)坐标平面上有两个定点A、B和动点P，如果直线PA、PB的斜率之积为定值m，则点P的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：_______________.

三、解答题(每小题15分，共30分)

10.(2011·陕西高考)如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.

11.在平面直角坐标系中，已知向量=(x,y-), =(kx,y+)(k∈R)，⊥，动点M(x,y)的轨迹为T.

(1)求轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；

(2)当时，已知点B(0,-)，是否存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l的对称点落在轨迹T上?若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.

【探究创新】

(16分)已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=3，点M满足.

(1)求动点M的轨迹E的方程；

(2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分，求实数k的取值范围.

答案解析

1.【解析】选C.(x+y-2)·

=0变形为：

x2+y2-9=0

或

表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x+y-2=0在圆x2+y2-9=0外面的两条射线，如右图.

2.【解析】选D.∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,

∴.

则P(x,).

设P(x1,y1),即,

消去x得y12=4ax1(x1≥0,y1≥0),

故点P的轨迹为抛物线的一部分.

3.【解析】选A.以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴，建立直角坐标系，并设M(-3，0)，N(3，0)，P(x,y)，则＝(-3-x,-y)·(3-x,-y)=(x2-9)+y2=0.即x2+y2=9.故选A.

4.【解析】选B.设P(1,t)，Q(x,y)，由题意知|OP|=|OQ|,

∴x2+y2=1+t2 ①

又，∴x+ty=0,

∴,y≠0. ②

把②代入①,得(x2+y2)(y2-1)=0，即y=±1.

所以动点Q的轨迹是两条平行直线.

5.【解题指南】找到动点M满足的等量关系，用定义法求解.

【解析】选D.M为AQ垂直平分线上一点，

则|AM|=|MQ|,

∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|

=5(5＞|AC|)，

即点M的轨迹是椭圆,

∴a=,c=1,则b2=a2-c2=,

∴点M的轨迹方程为.

6.【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆O内切或外切，O，P，C三点共线，∴轨迹为两条射线；当点P在定圆O内时(非圆心)，|OC|＋|PC|=r0为定值，轨迹为椭圆；当P与O重合时，圆心轨迹为圆．

【误区警示】本题易因讨论不全，或找错关系而出现错误.

7.【解析】当直线AM斜率存在时，设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y),于是

∵l1⊥l2,∴

整理化简，得2ax+2by-a2-b2=0(x≠).

当直线AM⊥x轴时，此时MN的中点(,)也满足上述方程.

∴所求点P的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.

答案：2ax+2by-a2-b2=0

8.【解析】设P(x,y)，圆上的动点N(x0,y0)，则线段OP的中点坐标为

()，线段MN的中点坐标为()，又因为平行四边形的对角线互相平分，所以有：可得，

又因为N(x0,y0)在圆上，所以N点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点()和().

答案：(x+3)2+(y-4)2=4(除去两点()和())

9.【解析】以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设A(-a,0)，B(a,0)，P(x,y)，则有,即mx2-y2=a2m,

当m＜0且m≠-1时，轨迹为椭圆；当m＞0时，轨迹为双曲线；当m=-1时，轨迹为圆；当m=0时，轨迹为一直线；但不能是抛物线的方程.

答案：①②④⑤

10.【解析】(1)设点M的坐标是(x,y),点P的坐标是(xP,yP),因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|，所以xP=x,且yP=y,

∵P在圆x2+y2=25上，∴x2+(y)2=25,整理得,

即点M的轨迹C的方程是.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程是y= (x-3),

设此直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y= (x-3)代入C的方程得：,化简得x2-3x-8=0,

∴x1+x2=3,x1x2=-8,

|x1-x2|,

所以线段AB的长度是|AB|=

，

即所截线段的长度是.

11.【解析】(1)∵⊥,

∴·=(x,y-)·(kx,y+)=0,

得kx2+y2-2=0，即kx2+y2=2,

当k=0时，方程表示两条与x轴平行的直线；

当k=1时，方程表示以原点为圆心，以为半径的圆；

当k＞0且k≠1时，方程表示椭圆；

当k＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.

(2)当时，动点M的轨迹T的方程为,

设满足条件的直线l存在，点B关于直线l的对称点为B′(x0,y0)，

则由轴对称的性质可得：

解得：

x0=--m,y0=m,

∵点B′(x0,y0)在轨迹T上，

∴，

整理得3m2+2m-2=0,

解得或，

∴直线l的方程为或,

经检验和都符合题意，

∴满足条件的直线l存在，其方程为或．

【变式备选】已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx(m＞0)上运动，且|MN|=2，动点P满足： (O为坐标原点)，点P的轨迹记为曲线C.

(1)求曲线C的方程，并讨论曲线C的类型；

(2)过点(0，1)作直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若对于任意m＞1，都有∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.

【解析】(1)由，得P是MN的中点.

设P(x,y)，M(x1,mx1),N(x2,-mx2),依题意得：

，

消去x1,x2，整理得.

当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；

当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；

当m=1时，方程表示圆.

(2)由m＞1知方程表示焦点在y轴上的椭圆，直线l与曲线C恒有两交点，直线斜率不存在时不符合题意.

可设直线l的方程为y=kx+1，

直线与椭圆交点A(x3,y3),B(x4,y4).

⇒(m4+k2)x2+2kx+1-m2=0.

.

.

要使∠AOB为锐角，只需＞0,

∴x3x4+y3y4＞0.

即m4-(k2+1)m2+1＞0，可得,

对于任意m＞1恒成立.

而，∴k2+1≤2,-1≤k≤1.

所以k的取值范围是［-1，1］.

【方法技巧】参数法求轨迹方程的技巧：

参数法是求轨迹方程的一种重要方法，其关键在于选择恰当的参数.一般来说，选参数时要注意：

(1)动点的变化是随着参数的变化而变化的，即参数要能真正反映动点的变化特征；(2)参数要与题设的已知量有着密切的联系；(3)参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算，也便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.

【探究创新】

【解析】(1)设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),

则x02+y02=9， =(x-x0,y), =(-x,y0-y).

由，得，解得,

代入x02+y02=9,

化简得点M的轨迹方程为.

(2)由题意知k≠0,

假设存在弦CD被直线l垂直平分，设直线CD的方程为,

由，消去y化简得

(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,

Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1)

=-16k2(k2b2-k2-4)＞0，

k2b2-k2-4＜0,

设C(x1,y1)，D(x2,y2)，CD中点P(xp,yp),

则,

,

，

又,

∴,得,

代入k2b2-k2-4＜0，得

,

解得k2＜5,∴.

∴当曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时，k的取值范围是或.

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