北京市顺义区牛栏山一中2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷 (解析版)

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学习是一件很有意思的事
2019-2020学年北京市顺义区牛栏山一中高一第二学期期中数学
试卷
一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。（共10小题）.1．已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{1，0，﹣3}，则集合M∩N中元素的个数是（）A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝2x
B．y＝﹣x2
C．y＝lg|x|
D．y＝cosx
3．代数式sin75°cos75°的值为（）A．4．
+

，且
B．
﹣
B．
＝（）
B．

，则
C．﹣7C．

D．
等于（）
D．﹣


C．

D．

A．5．已知A．7
6．对于非零向量，，下列命题正确的是（）A．若B．若C．若D．若7．已知，A．．

B．
且
，则
，则


（为与方向相同的单位向量）
，则在上的投影向量为，则

，那么C．

＝（）D．

8．在四边形ABCD中，“A．充分而不必要条件C．充要条件9．先把函数再向左平移
”是“四边形为正方形”的（）B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件
的图象上所有点的横坐标变为原来的t（t＞0）倍，
个单位，所得曲线的一部分如图所示，则t，φ的值分别为（）

学习是一件很有意思的事

A．B．C．D．
10．已知函数关于x的方程f（x）＝m，m∈R，有四个不同的
实数解x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（）A．

B．

C．

D．（1，+∞）
二、填空题（共5小题）.
11．已知向量＝（2，1），＝（m，2），若∥，则实数m＝．12．给出下列三个论断：①a＞b；②
；③a＜0且b＜0．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：．13．已知向量μ＝．
14．在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足PM＝2AP，则
等于．
15．下面有四个命题：
①函数y＝cos4x﹣sin4x的最小正周期是π；②函数y＝tan2x的定义域为
；
，
，
．若
，则λ＝；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象只有一个公共点；④函数y＝cos2x﹣3cosx+2的最小值为
．
其中，真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且AB＝2，CD＝1，设
．

学习是一件很有意思的事
（Ⅰ）用向量（Ⅱ）求
．
分别表示向量，；

17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x．现已画出函数f（x）在y轴右侧的图象，如图所示．
（Ⅰ）画出函数f（x）在y轴左侧的图象，根据图象写出函数f（x）在R上的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅲ）解不等式xf（x）＜0．

18．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴非负半轴．若角α的终边与圆O交于一点P角β的终边重合．
（Ⅰ）写出角β与α的关系；（Ⅱ）求tanα和cos（α+β）的值．19．设函数
，其中向量
．
，
，x∈R，且函
，将OP绕原点O按逆时针方向旋转
后与
数y＝f（x）的图象经过点
（Ⅰ）求实数m的值及函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当
时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）求函数f（x）的对称中心的坐标．

学习是一件很有意思的事
20．已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若（Ⅲ）设
cos（α﹣2β）的值．
，求角θ的取值集合；
，
，且
．
，，求
21．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数
，g（x）＝1+m•2x+4x．
（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合；（Ⅱ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（Ⅲ）若函数g（x）是区间（﹣∞，1]上以2为上界的有界函数，求实数m的取值范围．

学习是一件很有意思的事


参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{1，0，﹣3}，则集合M∩N中元素的个数是（）A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】求出集合M的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．解：集合M＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，N＝{0，1，﹣4}，则M∩N＝{0，1}，故选：B．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝2x
B．y＝﹣x2
C．y＝lg|x|
D．y＝cosx
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝2x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝lg|x|＝合题意；故选：C．
3．代数式sin75°cos75°的值为（）A．
B．

C．

D．

，既是偶函数又在区间（8，+∞）上单调递增，符
【分析】利用二倍角的正弦化简求值．解：sin75°cos75°＝故选：A．4．
+
﹣
＝（）
B．

C．

D．

sin75°cos75°＝
．
A．
【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可．解：


学习是一件很有意思的事
故选：D．5．已知A．7
，且
B．
，则
C．﹣7
等于（）
D．﹣
【分析】先根据同角三角函数的关系式求得tanα的值，再利用正切的两角和公式即可得解．解：∵∴tanα＝故选：B．
6．对于非零向量，，下列命题正确的是（）A．若B．若C．若D．若
，则
，则


（为与方向相同的单位向量）
，
，且
，
，则在上的投影向量为，则
＝

【分析】对于A，若，则||＝||，＝未必成立；对于B，若•＝•，
则•（﹣）＝0，则⊥﹣；对于C，若（为与方向相同的单位向量）；对于D，若解：对于A，若对于B，若•对于D，若故选：D．7．已知，A．．

B．

，那么C．
＝＝•，则
，则在上的投影向量为±，则
＝0成立．
，则||＝||，＝未必成立；故A错误；
，则•（﹣）＝0，则⊥（﹣）；故B错误；
＝0成立．
＝（）

D．

【分析】直接利用三角函数关系式的变换和半角公式的应用求出结果．解：sin

，

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所以故故选：D．
，
＝
．
8．在四边形ABCD中，“A．充分而不必要条件C．充要条件
且”是“四边形为正方形”的（）B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件＝
且
•
＝0”，推出四边形是菱形；菱形
【分析】由“在四边形ABCD中，
未必是正方形，正方形一定是菱形，再根据充分必要条件的定义判断即可．解：由“在四边形ABCD中，是正方形，正方形一定是菱形，故在四边形ABCD中，“件．故选：B．9．先把函数再向左平移
的图象上所有点的横坐标变为原来的t（t＞0）倍，
个单位，所得曲线的一部分如图所示，则t，φ的值分别为（）
且
”是“四边形为正方形”的必要不充分条
＝
且
•
＝0”，推出四边形是菱形；菱形未必

A．B．C．D．
【分析】用ω，φ表示出函数解析式，根据函数周期计算ω，根据图象上的特殊点计算φ．
解：由题意可知变换后的函数解析式为f（x）＝sin[（x+由函数图象可知f（x）的周期为T＝4（由图象可知f（又|φ|＜
）＝﹣1，即sin（
．
+﹣
）+φ]＝sin（+
+φ），
）＝π，∴＝2，即t＝．+φ）＝﹣1，
，∴φ＝﹣

学习是一件很有意思的事
故选：D．10．已知函数
关于x的方程f（x）＝m，m∈R，有四个不同的
实数解x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（）A．

B．

C．

D．（1，+∞）
【分析】作出函数图象，根据二次函数的对称性及对数函数，绝对值函数的性质，可得x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，
，转化后构造新函数直接求解即可．
解：作出函数图象如图所示，设x1＜x2＜x3＜x4，由二次函数的对称性可知∴设又故选：C．
，g（5）＝0，
，，
，即x1+x2＝﹣
2，

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知向量＝（2，1），＝（m，2），若∥，则实数m＝4．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若∥，则有1×m＝2×2，解可得m的值，即可得答案．
解：根据题意，向量＝（2，1），＝（m，2），若∥，则有1×m＝2×2，即m＝5；故答案为：4
12．给出下列三个论断：①a＞b；②
；③a＜0且b＜0．

学习是一件很有意思的事
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：若a＞b，a＜0且b＜0，则
或者若
，a＜0且b＜0，则a＞b．
【分析】根据不等式的关系，结合命题关系进行判断即可．解：若①a＞b；③a＜0且b＜0，则0＞a＞b，则②若
成立，
；a＜0且b＜0，则a＞b成立，
，或者若，
．若
，a＜0且b＜7，则a＞b．
，则λ＝1；
故答案为：若a＞b，a＜0且b＜2，则13．已知向量μ＝2．
，
【分析】根据平面向量的坐标运算列方程计算．解：由题意可知解得：λ＝1，μ＝2．故答案为：4，2．
14．在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足PM＝2AP，则
等于﹣4．
【分析】利用向量运算的几何意义，可知求解．
解：因为M是BC的中点，故所以故
＝2，
＝＝1．
，
，
，代入原式，根据已知条件容易
，
＝2×1×4×（﹣1）＝﹣4．故答案为：﹣4．15．下面有四个命题：
①函数y＝cos4x﹣sin4x的最小正周期是π；②函数y＝tan2x的定义域为
；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象只有一个公共点；④函数y＝cos2x﹣3cosx+2的最小值为
．

学习是一件很有意思的事
其中，真命题的编号是①③．（写出所有真命题的编号）
【分析】①将三角函数进行化简，利用周期公式求函数的周期．②利用正切函数定义求解判断．③利用函数的平移关系求函数的解析式．④利用配方法求三角函数的最值判断．解：①因为y＝cos4x﹣sin4x＝（sin2x+cos2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos2x，所以函数的周期T＝
＝π，所以①正确．
+kπ，k∈Z；∴x≠
+
，k∈Z；所以②错误．
②对于函数y＝tan2x，2x≠
③设f（x）＝sinx﹣x，则f'（x）＝cosx﹣1≤0，函数f（x）单调递减，∵f（0）＝0，∴方程f（x）＝0只有一个解，即函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象只有一个公共点，所以③正确．
④因为y＝cos5x﹣3cosx+2＝（cosx﹣）2﹣，﹣1≤cosx≤1，所以cosx＝1时，y的最小值为0，所以④错误．故答案为：①③．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且AB＝2，CD＝1，设
．
（Ⅰ）用向量（Ⅱ）求
．
分别表示向量
，
；

【分析】（Ⅰ）根据向量加法、减法的几何意义计算即可；（Ⅱ）将
分别用基底向量表示出来，计算即可．
＝，．
，
＝
．
解：（Ⅰ）由已知：所以：所以

学习是一件很有意思的事
所以＝＝＝．
17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x．现已画出函数f（x）在y轴右侧的图象，如图所示．
（Ⅰ）画出函数f（x）在y轴左侧的图象，根据图象写出函数f（x）在R上的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅲ）解不等式xf（x）＜0．

【分析】（I）结合已知及偶函数的图象关于y轴对称性质可求；（II）由已知函数解析式及偶函数的定义可求；（III）结合函数的图象即可直接求解．
解：（I）根据偶函数的图象关于y轴对称可得图象如图所示；
结合图象可得函数f（x）的单调增区间[﹣2，0]，（2，+∞），减区间（﹣∞，﹣2），（0，5）；
根据偶函数的对称性可知，当x＜0时f（x）＝x2+2x，（III）由xf（x）＜0可得
或
，
故不等式的解集为{x|0＜x＜4或x＜﹣4}．

18．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴非负半轴．若

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角α的终边与圆O交于一点P角β的终边重合．
（Ⅰ）写出角β与α的关系；（Ⅱ）求tanα和cos（α+β）的值．
，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与
【分析】（Ⅰ）根据任意角的定义即可得解；
（Ⅱ）由三角函数的定义可求得tanα，cosα和sinα的值；再根据二倍角公式可得cos2α和sin2α的值；而cos（α+β）＝cos（2α+关数据进行运算即可．解：（Ⅰ）β＝α+（Ⅱ）∵P
．，
﹣5＝
，sin2α＝2sinαcosα＝2×（
）×
＝
），利用余弦的两角和公式展开后，代入相
∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×
．
∴cos（α+β）＝cos（2α+×
＝
．
，其中向量
）＝cos2α•cos﹣sin2α•sin＝×﹣（）
19．设函数，
．
，x∈R，且函
数y＝f（x）的图象经过点
（Ⅰ）求实数m的值及函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当
时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）求函数f（x）的对称中心的坐标．【分析】先化简出f（x），利用函数图象经过点（
）求出m的值．
（Ⅰ）根据函数y＝sinx的单调性求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）利用换元思想研究f（x）的最值；
（Ⅲ）令函数f（x）＝0，求出f（x）的对称中心的坐标．解：由已知得f（x）＝（Ⅰ）因为f（
＝sin2x+mcos2x+m．
，得m＝1．
）＝2，即

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令（Ⅱ）因为所以，（Ⅲ）令
故对称中心的坐标为20．已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若（Ⅲ）设
cos（α﹣2β）的值．
，求角θ的取值集合；
，，所以
，
，解得：
，解得
，
，
，即
，k∈Z．
．
，k∈Z．
，且，，求
【分析】结合诱导公式、二倍角公式和辅助角公式将函数f（x）化简为f（x）＝sin（2x﹣
）．
得解；
）＝，再结合正弦函数的图象与性质即可得解；和
和
，可求得sin（α+
，可求得sin（2β﹣）﹣（2β﹣
）和cos（α+
）的值；）的值；
（Ⅰ）利用T＝
（Ⅱ）f（θ）＝sin（2θ﹣（Ⅲ）由由
）和cos（2β﹣
而cos（α﹣2β）＝﹣cos[（α+代入相关数据进行运算即可．解：＝sin（x﹣
+
）sin（x﹣）]+）．
）]，利用余弦的两角差公式展开后，

）+
sinxcosx
＝sin[2（x﹣＝sin（2x﹣
sinxcosx
（Ⅱ）f（θ）＝sin（2θ﹣）＝，

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∴θ＝（Ⅲ）∵∵∵∵
+kπ或+kπ，k∈Z，
，
，∴α+，，∴2β﹣
∈（
，
），）]
∈（
，
），
∴cos（α﹣2β）＝﹣cos[（α+＝﹣＝
×．
﹣
×
）﹣（2β﹣
21．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数
，g（x）＝1+m•2x+4x．
（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合；（Ⅱ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（Ⅲ）若函数g（x）是区间（﹣∞，1]上以2为上界的有界函数，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）函数f（x）定义域为（1，+∞），令h（x）＝
，分析单调性，求出
函数h（x）在[，3]上值域，再求出f（x）在[，3]上值域，根据有界函数的定义即可得出答案．
（Ⅱ）根据奇函数定义，可得f（﹣x）＝﹣f（x），列式log2解出a的值．
（Ⅲ）根据有界函数的定义可得，|g（x）|≤2在区间（﹣∞，1]上恒成立，即﹣3（）
x
＝log2，进而
﹣2x≤m≤（）x﹣2x，在区间（﹣∞，1]上恒成立，只需[﹣3（）x﹣2x]max≤m且m
≤[（）x﹣2x]min，即可得出答案．解：（Ⅰ）函数f（x）＝log2
定义域为（4，+∞），

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令h（x）＝在（1，+∞）单调递减，
所以f（x）在[，3]上值域为[﹣1，3]，
所以函数f（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合为[3，+∞）．则f（﹣x）＝﹣f（x），而当a＝1时不合题意，故a＝1．
则|g（x）|≤2在区间（﹣∞，5]上恒成立，
所以﹣2≤1+m•2x+4x≤4，在区间（﹣∞，1]上恒成立，
即﹣3（）x﹣2x≤m≤（）x﹣2x，在区间（﹣∞，1]上恒成立，设2x＝t，q（t）＝﹣﹣t，p（t）＝﹣t，
q′（t）＝在（
，令q′（t）＝0得t＝，
，2）上，q′（t）＜0，q（t）单调递减，
又因为p（t）在（3，2）上单调递减，所以m的取值范围为[﹣2
，﹣]．

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坚持希望
一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。历经千辛万苦，头发开始斑白。有一天，那瘸子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。“老兄，我相信不远了，会找到的，只要心中存有希望，会找到的。”瞎子却说。可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人上路了。
由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。
终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天哪！他复明了，什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小溪清澈。果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成了一个英俊年轻的小伙子！
准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着拐棍，变成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了，因为他已是一个年轻的小伙子。可当他们相认后，瘸子吃下那果子，却丝毫未起任何变化，他们终于知道，只有自己的行动，才能换来成功和幸福。所谓成功，我们要心存希望，要勇往直前，要坚持，要有毅力，那么，成功早晚属于你。


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一饭千金
帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。
这句成语就是出于这个故事的。它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩惠很是微小，但在困难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报答施惠的人才是合理。
【感恩小结】
感恩，是结草衔环，是滴水之恩涌泉相报。感恩，是一种美德，是一种境界。
感恩，是值得你用一生去等待的一次宝贵机遇。感恩，是值得你用一生去完成的一次世纪壮举。感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。
感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。感恩，让生活充满阳光，让世界充满温馨……

北京市顺义区牛栏山一中2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷 (解析版)

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