2018-2019学年广东省深圳市龙华区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）

1．（3分）不等式x≥2的解集在数轴上表示为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1

3．（3分）下列各式从左到右的变形为分解因式的是（　　）

A．x（x﹣y）＝x2﹣xy

B．x2+2xy+1＝x（x+2y）+1

C．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1

D．x（x﹣3）+3（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3）

4．（3分）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

5．（3分）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（　　）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

6．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为AB的中点，将△ADE绕点D沿逆时针方向旋转后得到△DCF，连接EF，则EF的长为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．2

7．（3分）已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（　　）

A．10 B．20 C．40 D．80

8．（3分）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若∠B＝30°，∠A＝55°，则∠ACD的度数为（　　）

A．65° B．60° C．55° D．45°

9．（3分）如图，l1反映了某公司销售一种医疗器械的销售收入（万元）与销售量（台）之间的关系，l2反映了该公司销售该种医疗器械的销售成本（万元）与销售量（台）之间的关系．当销售收入大于销售成本时，该医疗器械才开始赢利．根据图象，则下列判断中错误的是（　　）

A．当销售量为4台时，该公司赢利4万元

B．当销售量多于4台时，该公司才开始赢利

C．当销售量为2台时，该公司亏本1万元

D．当销售量为6台时，该公司赢利1万元

10．（3分）下列命题是真命题的是（　　）

A．将点A（﹣2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（1，3）

B．三角形的三条角平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等

C．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等

D．平行四边形的对角线相等

11．（3分）龙华地铁4号线北延计划如期开工，由清湖站开始，到达观澜的牛湖站，长约10.770公里，其中需修建的高架线长1700m．在修建完400m后，为了更快更好服务市民，采用新技术，工效比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成高架线的修建任务．设原计划每天修建xm，依题意列方程得（　　）

A．﹣＝4

B．﹣＝4

C．﹣＝4

D．﹣＝4

12．（3分）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

13．（3分）分解因式xy2+4xy+4x＝　 　．

14．（3分）如图，△ABC中，已知M、N分别为AB、BC的中点，且MN＝3，则AC的长为　 　．

15．（3分）“端午节”前，商场为促销定价为10元每袋的蜜枣粽子，采取如下方式优惠销售：若一次性购买不超过2袋，则按原价销售；若一次性购买2袋以上，则超过部分按原价的七折付款．张阿姨现有50元钱，那么她最多能买蜜枣粽子　 　袋．

16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是　 　．

三、解答题（本题共8小题，共52分.）

17．（5分）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．

18．（5分）先化简，再求值：（）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．

19．（5分）解方程：＝﹣2．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．

（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；

（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是　 　

20．（6分）已知深港两地的高铁站深圳北、九龙西两站相距约40km．现高铁与地铁冋时从深圳北出发驶向九龙西，高铁的平均速度比地铁快70km/h，当高铁到达九龙西站时，地铁恰好到达距离深圳北站12km处的福田站，求高铁的平均速度．（不考虑换乘时间）．

22．（6分）如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．

①求证：AB＝DE；

②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．

23．（8分）阅读下列材料，并解答其后的问题：

我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝．

（1）【举例应用】已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为　 　；

（2）【实际应用】有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（2+4）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝4m，∠A＝60°，求该块草地的面积．

24．（9分）（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．

（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．

（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．

2018-2019学年广东省深圳市龙华区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）

1．（3分）不等式x≥2的解集在数轴上表示为（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】数轴上的数右边的数总是大于左边的数，因而不等式x≥2的解集是指2以及2右边的部分．

【解答】解：不等式x≥2，在数轴上的2处用实心点表示，向右画线．

故选：C．

【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解析，需要注意当包括原数时，在数轴上表示时应用实心圆点来表示，当不包括原数时，应用空心圆圈来表示．

2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1

【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：x+1≠0，

∴x≠﹣1

故选：A．

【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．

3．（3分）下列各式从左到右的变形为分解因式的是（　　）

A．x（x﹣y）＝x2﹣xy

B．x2+2xy+1＝x（x+2y）+1

C．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1

D．x（x﹣3）+3（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3）

【分析】根据因式分解的定义：将多项式和的形式化为整式积的形式，判断即可．

【解答】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积，故A错误；

B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；

C、是整式的乘法，故C错误；

D、把一个多项式转化成几个整式积，故D正确；

故选：D．

【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．

4．（3分）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

5．（3分）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（　　）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得

（n﹣2）•180°＝360°，

解得n＝4．

故这个多边形是四边形．

故选：B．

【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．

6．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为AB的中点，将△ADE绕点D沿逆时针方向旋转后得到△DCF，连接EF，则EF的长为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．2

【分析】先利用勾股定理计算出DE，再根据旋转的性质得∠EDF＝∠ADC＝90°，DE＝DF，则可判断△DEF为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质计算EF的长．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE+∠EDC＝90°，

∵△ADE绕点D沿逆时针方向旋转后得到△DCF，

∴∠ADE＝∠CDF，DE＝DF，

∴∠CDF+∠EDC＝90°，

∴△DEF为等腰直角三角形，

∵E为AB的中点，AB＝4，

∴AE＝2

∴DE＝＝2

∴EF＝DE＝2，

故选：D．

【点评】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质一勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．

7．（3分）已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（　　）

A．10 B．20 C．40 D．80

【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出ab，a+b，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．

【解答】解：∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，

∴2（a+b）＝10，ab＝4，

则a+b＝5，

故ab2+a2b＝ab（b+a）

＝4×5

＝20．

故选：B．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．

8．（3分）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若∠B＝30°，∠A＝55°，则∠ACD的度数为（　　）

A．65° B．60° C．55° D．45°

【分析】先根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，故可得出CD＝BD，即∠B＝∠BCD，再由∠B＝30°、∠A＝55°知∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝95°，根据∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD可得答案．

【解答】解：∵根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，

∴CD＝BD，

∴∠B＝∠BCD＝30°．

∵∠B＝30°，∠A＝55°，

∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝95°，

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝65°，

故选：A．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．

9．（3分）如图，l1反映了某公司销售一种医疗器械的销售收入（万元）与销售量（台）之间的关系，l2反映了该公司销售该种医疗器械的销售成本（万元）与销售量（台）之间的关系．当销售收入大于销售成本时，该医疗器械才开始赢利．根据图象，则下列判断中错误的是（　　）

A．当销售量为4台时，该公司赢利4万元

B．当销售量多于4台时，该公司才开始赢利

C．当销售量为2台时，该公司亏本1万元

D．当销售量为6台时，该公司赢利1万元

【分析】利用图象交点得出公司盈利以及公司亏损情况．

【解答】解：A、当销售量为4台时，该公司赢利0万元，错误；

B、当销售量多于4台时，该公司才开始赢利，正确；

C、当销售量为2台时，该公司亏本1万元，正确；

D、当销售量为6台时，该公司赢利1万元，正确；

故选：A．

【点评】此题主要考查了一次函数的应用，熟练利用数形结合得出是解题关键．

10．（3分）下列命题是真命题的是（　　）

A．将点A（﹣2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（1，3）

B．三角形的三条角平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等

C．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等

D．平行四边形的对角线相等

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：A、将点A（﹣2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（﹣2，6），是假命题；

B、三角形的三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等，是假命题；

C、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，是真命题；

D、平行四边形的对角线互相平分，是假命题；

故选：C．

【点评】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．

11．（3分）龙华地铁4号线北延计划如期开工，由清湖站开始，到达观澜的牛湖站，长约10.770公里，其中需修建的高架线长1700m．在修建完400m后，为了更快更好服务市民，采用新技术，工效比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成高架线的修建任务．设原计划每天修建xm，依题意列方程得（　　）

A．﹣＝4

B．﹣＝4

C．﹣＝4

D．﹣＝4

【分析】设原计划每天修建xm，则实际每天修建（1+25%）xm，根据题意可得，增加工作效率之后比原计划提前4天完成任务，据此列方程．

【解答】解：设原计划每天修建xm，则实际每天修建（1+25%）xm，

由题意得，﹣＝4．

故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．

12．（3分）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；

【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H．

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，

∵EF∥BC，

∴∠EFC＝∠ACB＝60°，

∴△EFC是等边三角形，CH＝，

∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，

∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，

∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，

∴△ABD≌△BCF，故①正确，

∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝，

故③正确，

S△AEF＝S△AEC＝•S△ABD＝

故④错误，

故选：C．

【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

13．（3分）分解因式xy2+4xy+4x＝　x（y+2）2　．

【分析】原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式＝x（y2+4y+4）＝x（y+2）2，

故答案为：x（y+2）2

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．（3分）如图，△ABC中，已知M、N分别为AB、BC的中点，且MN＝3，则AC的长为　6　．

【分析】由题意可知，MN是三角形ABC的中位线，然后依据三角形的中位线定理求解即可，

【解答】解：∵M、N分别为AB、BC的中点，

∴MN是△ABC的中位线，

∴AC＝2MN＝2×3＝6．

故答案为：6．

【点评】本题主要考查的是三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．

15．（3分）“端午节”前，商场为促销定价为10元每袋的蜜枣粽子，采取如下方式优惠销售：若一次性购买不超过2袋，则按原价销售；若一次性购买2袋以上，则超过部分按原价的七折付款．张阿姨现有50元钱，那么她最多能买蜜枣粽子　6　袋．

【分析】根据一次性购买不超过2袋，则按原价销售；若一次性购买2袋以上，则超过部分按原价的七折付款，设可以购买x袋蜜枣粽子，根据：2袋原价付款数+超过2袋的总钱数≤50，列出不等式求解即可得．

【解答】解：设可以购买x（x为整数）袋蜜枣粽子．

2×10+（x﹣2）×10×0.7≤50，

解得：x≤6，

则她最多能买蜜枣粽子是6袋．

故答案为：6．

【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式，注意x只能为整数．

16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是　4+8　．

【分析】过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得出DF＝CD＝2．由△ABC是等腰直角三角形得出∠ABC＝45°，再证明△BDF是等腰直角三角形，求出BD＝DF＝2，BC＝2+2＝AC．易证四边形ADBE是平行四边形，得出AE＝BD＝2，然后根据平行四边形ADBE的面积＝BD•AC，代入数值计算即可求解．

【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，

∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，

∴DF＝CD＝2．

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝45°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BF＝DF＝2，BD＝DF＝2，

∴BC＝CD+BD＝2+2，

∴AC＝BC＝2+2．

∵AE∥BC，BE∥AD，

∴四边形ADBE是平行四边形，

∴AE＝BD＝2，

∴平行四边形ADBE的面积＝BD•AC＝2×（2+2）＝4+8．

故答案为：4+8．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行四边形的面积．求出BD的长是解题的关键．

三、解答题（本题共8小题，共52分.）

17．（5分）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．

【解答】解：，

解不等式①得：x＞﹣2，

解不等式②得：x≤3，

所以不等式组的解集为﹣2＜x≤3，

在同一数轴上分别表示出它们的解集得

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18．（5分）先化简，再求值：（）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．

【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．

【解答】解：原式＝•

＝2x+8，

当x＝1时，原式＝2+8＝10．

【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

19．（5分）解方程：＝﹣2．

【分析】直接找出公分母进而去分母解方程即可．

【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：

1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），

解得：x＝2，

检验：当x＝2时，x﹣2＝0，故此方程无实数根．

【点评】此题主要考查了分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．

（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；

（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是　（﹣2，0）　

【分析】（1）依据△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，即可画出△A1B1C1；

（2）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；

（3）连接两对对应点，其交点即为对称中心．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；

（3）如图，点P的坐标是（﹣2，0）．

故答案为：（﹣2，0）．

【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换、平移变换，根据题意作出各点在几何变换下的对应点是解答此题的关键．

21．（6分）已知深港两地的高铁站深圳北、九龙西两站相距约40km．现高铁与地铁冋时从深圳北出发驶向九龙西，高铁的平均速度比地铁快70km/h，当高铁到达九龙西站时，地铁恰好到达距离深圳北站12km处的福田站，求高铁的平均速度．（不考虑换乘时间）．

【分析】设设高铁的平均速度为xkm/h，根据时间＝路程÷速度，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．

【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，依题意得

解得x＝100，

经检验，x＝100是原方程的解，

答：高铁的平均速度为100km/h．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

22．（6分）如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．

①求证：AB＝DE；

②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．

【分析】①利用平行四边形的性质，判定△ABF≌△DEF，即可得出AB＝DE；

②利用角平分线以及平行线的性质，即可得到AF＝AB＝3，进而得出BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，依据△ABF≌△DEF，可得DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，进而得到△BCE的周长．

【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，

∵AF＝DF，

∴△ABF≌△DEF，

∴AB＝DE；

②∵BE平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵AD∥BC，

∴∠CBF＝∠AFB，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AF＝AB＝3，

∴AD＝2AF＝6

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，

∵△ABF≌△DEF，

∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，

∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，

∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．

23．（8分）阅读下列材料，并解答其后的问题：

我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝．

（1）【举例应用】已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为　4　；

（2）【实际应用】有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（2+4）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝4m，∠A＝60°，求该块草地的面积．

【分析】（1）由已知△ABC的三边a＝4，b＝5，c＝7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦﹣秦九韶公式求解即可；

（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD．将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．

【解答】（1）解：△ABC的面积为S＝＝＝4．

故答案是：4；

（2）解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）

在Rt△ADE中，

∵∠A＝60°，

∴∠ADE＝30°，

∴AE＝AD＝2

∴BE＝AB﹣AE＝2+4﹣2＝4

DE＝＝＝6

∴BD＝＝＝2

∴S△BCD＝＝5

∵S△ABD＝AB•DE＝×（2+4）×6＝12+24

∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝12+24+5

答：该块草地的面积为（12+24+5）m2．

【点评】此题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法．此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键．

24．（9分）（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．

（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．

（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．

【分析】（1）先判断出∠ACB＝∠ADC，再判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；

（2）先判断出MF＝NG，OF＝MG，进而得出MF＝1，OF＝3，即可求出FG＝MF+MG＝1+3＝4，即可得出结论；

（3）先求出OP＝3，由y＝0得x＝1，进而得出Q（1，0），OQ＝1，再判断出PQ＝SQ，即可判断出OH＝4，SH＝OQ＝1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l

∴∠ACB＝∠ADC

∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE

∴∠CAD＝∠BCE，

∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC

∴△ACD≌△CBE，

∴AD＝CE，CD＝BE，

（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，

由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°

∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，

∵M（1，3）

∴MF＝1，OF＝3

∴MG＝3，NG＝1

∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，

∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，

∴点N的坐标为（4，2），

（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，

对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3

∴P（0，3），

∴OP＝3

由y＝0得x＝1，

∴Q（1，0），OQ＝1，

∵∠QPR＝45°

∴∠PSQ＝45°＝∠QPS

∴PQ＝SQ

∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP

∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1

∴S（4，1），

设直线PR为y＝kx+b，则，解得

∴直线PR为y＝﹣x+3

由y＝0得，x＝6

∴R（6，0）．

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．

精品初二期末试卷2019年深圳市龙华区八年级（下）期末数学试卷+答案