数学核心素养是什么

何为数学核心素养，仁者见仁、智者见智。高中数学课程标准从数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个维度对数学核心素养给出了清晰的界定。小学阶段，目前尚无定论。

有研究者提出，小学阶段的数学核心素养，不妨从数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识这“十大核心词”出发，通过“十大核心词”的落实，推动数学核心素养的发展。

亦有学者在此基础上将“十大核心词”提炼为运算能力、空间观念、数据分析观念、推理能力、模型思想，使其更显“核心”的意味。课程标准制订组组长史宁中教授则更加概括化地提出，可以从抽象能力、推理能力、模型思想三个维度，对核心素养作出界定。种种尝试，由十到五，再到三，展现了大家对核心素养之“核心”价值的追求，也的确更容易为一线教师所认识与把握。

本文的目的不在于探讨数学核心素养的真正内涵，事实上笔者也不具备这样的能力。作为一名教学实践者，笔者更愿意思考的是，无论是十大核心词，还是整合后的五大核心词，抑或三大核心思想（素养），笔者更关注的是，在具体的教学实践中，我们究竟该以怎样的教学路径使其落地生根，真正在具体的教与学活动中，让“数学核心素养”内化为学生自身的素养，真正促进学生的发展。

在此，笔者倾向于对核心素养作出这样的一种描述。所谓核心素养，即是指“人在复杂情境中解决复杂问题的能力”。尽管，从当下已经公布的中国学生发展核心素养的内容来看，这一表述忽视了“必备品格”这一重要维度，但就数学学科而言，这样的表述尽管片面，但至少给我们一种重要的启示，核心素养也好，数学核心素养也罢，其最终落脚点都离不开问题解决。只有在具体的、基于真实背景的复杂数学问题的解决过程中，人的素养抑或数学核心素养才可能得以彰显和养成。

尽管，《义务教育数学课程标准（2011年版）》从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面，对义务教育阶段数学课程总目标加以了阐述，问题解决只是其中的四个维度之一，但若细思之，则不难发现：有效的问题解决，离不开具体的知识与技能，更离不开相应的数学思考；而在解决问题的过程中，人的情感、态度与价值观自然会得到充分的彰显。从这样的角度来看，问题解决实则可以理解为数学课程的“牛鼻子”，牵一发而动全身。

更进一步，我们不难发现，数学知识的习得也好，数学技能的形成也罢，事实上都可以“以问题解决的方式”展开。一旦我们试图将数学内容的学习整体纳入“问题解决”的框架之下，我们便会发现，传统视野下为了知识与技能的数学学习形态将得到有效控制，而基于问题解决，有效促进学生数学素养乃至核心素养的目标将有可能得到实现。以下，笔者结合三个具体案例，逐一作出解读与分析。

一、概念学习，在问题解决中得以落实

概念学习有其遵循的一般规律，除了概念的同化以外，通常情况下，需要经历对概念原型的观察、感知、表象、抽象和概括，最终形成对概念内涵与外延的把握。笔者曾尝试着以问题解决的方式进行概念学习，既帮助学生获得了对数学概念的准确把握，而且在问题解决的过程中，学生的探索能力、交流能力、质疑能力也在这一过程中得到有效的发展。

以苏教版小学数学三年级上册《长方形的认识》一课为例，鉴于一年级时，学生已经在初步认识长方体的基础上，整体感受过长方形，加之日常生活中长方形的普遍存在，因而，笔者没有遵循认识长方形的一般教学线索，而是直接引导学生基于原有知识经验，自己动手来“制作一个长方形”，以期学生在完成这一逻辑上貌似不可能完成的数学问题的基础上，实现对长方形概念的把握与建构。

笔者给学生提供了剪刀，圆形、平行四边形、直角梯形等形状的纸片，钉子板和橡皮筋，等长的小棒等素材。学生可以选择不同的材料，以不同的方式，建构自己头脑中认为的长方形。实践证明，尽管在解决这一问题之前，学生还没有对长方形的相关特征获得相应的认识，比如它有四条边、对边相等，它有四个直角等，然而，经验、表象此时就开始发挥其应有的作用。在有限的时间内，学生各取所需、各尽所能，用各种不同的材料，建构了他们理解中的长方形。

尽管，解决问题的过程中，学生所制作出的“长方形”还略显粗糙、不规范，有时甚至还有错误存在，然而，这些不规范与错误，恰恰为后续的深度对话提供了可能。“在用钉子板围长方形的过程中，你觉得需要提醒大家注意什么？”“任意根数的小棒都能围成长方形吗？围长方形的过程中，有什么注意点？”“要想用这个图形（直角梯形）剪出长方形，你有什么窍门？”“对于这位同学用圆形折出的长方形，你有什么需要提醒的？”“这位同学用这个图形（平行四边形）剪出了一个长方形，你有什么办法来验证吗？”对话与追问、碰撞与交流、质疑与解惑、实验与验证，为了说明自己制作出来的的确是一个长方形，学生动用了手头的一切工具，或测量长度，或比对角度，目的只有一个——那就是制作一个长方形。

尽管，在比对过程中，有不少学生发现，自己制作的长方形离真正的长方形还有距离，于是又及时进行了修补与更正。正是在这一解决问题与分享对话的过程中，学生对于长方形的特征有了深入、深刻的认识与把握。

可以说，是问题解决牵动了数学概念的学习，是问题解决让概念学习获得了一种独特的思维张力，是问题解决让学生卷入真实的、复杂的学习情境之中。而这一过程，恰恰是学生核心素养得以养成的重要路径。

二、规律探索，在问题解决中得以建构

探索规律是苏教版小学数学教材的一大特色，也是学生数学学习的重要组成部分，是学生了解外部世界、发现蕴藏的规律、建立数学模型、运用规律模型解决问题的重要载体。教材在编排这一内容时，特别注重探索规律的“探索”意味，强调引导学生经历观察、比较、操作、归纳等过程，体验探索规律的方式方法。 在此基础上，再适当引导学生运用规律解决问题。教学时，教师也常常将这一内容分成两部分展开——先探索规律，再运用规律解决问题。

笔者在实践过程中，始终强调这样一种观点：如果没有任务或问题驱动，所谓的探索规律则是“为探索而探索”，学生并不了解探索规律的目的和价值何在，他们只是在教师的引导之下，亦步亦趋地观察、比较、操作、归纳，继而发现教师所提供的“规律性材料”背后的规律。也就是说，学习的主动权并不掌握在学生手中，积极思考、主动观察、自主建模等更难以成为可能。因而，笔者在教学这一类内容时，则将探索规律这一任务“镶嵌”到解决问题的过程中，以解决问题为驱动性任务，引导学生在解决问题的过程中，主动去观察已有的素材，主动地从中发现规律、建构模型，在此基础上，再运用规律获得问题的解决。

比如四年级上册《简单的周期》一课，教材呈现的是如图1所示的主题图(彩旗中，深色为红旗，浅色为黄旗；彩灯从左至右依次为红灯、紫灯、绿灯，并有规律地排列；盆花从左至右依次为蓝花、黄花、红花，并有规律地排列），和思考任务“图中盆花、彩灯和彩旗的排列有什么共同特点”，旨在引导学生通过观察，探寻这三种事物排列的规律，进而认识简单的周期现象。

据统计，上海国民经济持续快速增长。03全年就实现国内生产总值（GDP）6250.81亿元，按可比价格计算，比上年增长11.8%。第三产业的增速受非典影响而有所减缓，全年实现增加值3027.11亿元，增长8%，增幅比上年下降2个百分点。图1

笔者在教学时，打破了这一格局，直接出示主题图后，提出了这样的数学问题：“如果把盆花继续排下去，第20盆花可能会是什么颜色？”并引导学生，尝试着用不同的方法来解决这一问题。实践证明，经历充分的独立思考与尝试后，学生往往可以从如下几个不同角度来解决这一问题：有的通过画图，把三种颜色的盆花符号化为三种不同的图形，然后一直画到第20盆并得出结果；有的以文字来表达，将三种盆花分别以蓝、黄、红三个字来表征，同样“画”完20盆花后并得出结果；更多的学生则借助除法运算来解决问题：20÷3=6（组）……2（盆），所以第20盆花应该是黄花。

这里的关键问题在于，学生是如何解决这一问题的？在解决这一问题的过程中，他们究竟经历了怎样的思考过程？这才是我们要重点关照的。而所谓解决问题，则是醉翁之意不在酒——解决问题只是一个“驱动性任务”，任务驱动背后的数学思考，才是这一学习任务的关键所在。事实上，只要教师追问恰当，学生的思维很快便会暴露在大家面前。“图中只画了9盆花，凭什么你在画图时，把第10盆画成蓝花，第11盆画成黄花？”“算式中的3是哪来的？”“余数中的2可以理解为第7组的第2盆，可是第7组我们并不能看见，你是怎么判断它的颜色的？”几个问题的追问，逼迫着学生的思维向探索规律上聚焦。

更真实的情形是，在面临追问之前，学生已经主动经历了探索规律的过程。因为，想解决这一问题，学生就必须去从已有的素材中去发现规律。只有发现了规律，学生才能够按规律“继续画下去”，直到找到第20盆的颜色；只有发现了规律，并且是周期性规律，学生才可能列出除法算式来解决这一问题。事实上，如果盆花呈现的规律如下：ABBCCCDDDD……那么，即便是有规律的，学生也很难列出除法算式来解决这一问题。

需要说明的是，学生在解决这一问题的过程中，必然要经历探索规律的过程，只是，他们的思维有时是隐性的、不自觉的，教师的追问恰恰给了学生一次思维聚焦和重审的机会，从而将他们之前所经历的探索规律的思维过程外化出来，并在这一过程中，还原探索规律的真实历程，体验规律的意义与价值，感受规律探寻对于解决问题的独特作用。

大学生个性化消费增多是一种趋势。当前社会、经济飞速发展，各种新的消费品不断增多，流行文化时尚飞速变化，处于校园与社会两者之间的大学生肯定会受影响。目前在大学校园，电脑、手机、CD、MP3、录音笔被称为大学生的“五件武器”。除了实用，这也是一种 表明自己生活优越的炫耀性的东西。现下很大一部分大学生中的“负债消费”表现的典型的超前享乐和及时行乐——其消费项目多半是用于奢侈浪费的非必要生活消耗。如举办生日宴会、打网球、保龄球、上舞厅跳舞、进夜总会唱“卡拉ＯＫ”等。“负债消费”使很多学生耽于物欲，发展严重者轻则引起经济纠纷，动武斗殴，影响同窗友谊，重则引发犯罪事件，于社会治安不利。反观上述的学习过程，当探索规律的“被动学习”因问题解决而主动化后，学生必然会自觉地根据问题的需要，主动地对已有素材进行观察、分析、比较、归纳，进而或抽象、或符号化、或模型化，这一过程，发展的恰恰是学生的各项核心素养。问题解决，让学生的素养发展成为可能。

三、规则确立，在问题解决中得以实现

培养动手能力□ 学一门手艺□ 打发时间□ 兴趣爱好□小学数学教材中，有很多规则性的数学内容。既是规则，那么通常都有约定俗成的意味，所以，直接告知，进而引导学生在适当的问题引导下，理解规则的意义和合理性，就成了不少教师无奈的选择。在笔者看来，规则教学，事实上还有新的可能性存在，关键是，教师要善于创设适宜的问题情境，以问题驱动学生的数学学习，让他们在解决问题的过程中，自主建立相应的数学规则，并在这一过程中发展学生的数学思考与核心素养。

以“用方向与距离确定位置”为例，笔者浏览了苏教版、人教版、北师大版三个版本的小学数学教材，尽管就这一内容而言，它们在编排上略有差异，但总体上还是以告知的方式呈现。有些版本甚至直接在例题中出示“东偏南30°方向”，引导学生去理解这一表示方向的新规则。

（2） 缺乏经营经验笔者以为，从掌握这一数学知识或技能来说，这些方法都无可厚非。但是，如果站在培养学生核心素养的立场上，这样的处理未免就缺失了一些探索的味道和研究的价值。笔者始终坚信，再抽象的数学内容、再陌生的数学方式，只要有恰当的数学问题作引子，学生总能够在解决问题的过程中自主建构相应的规则。尽管，有时候他们建立的规则还不够完整，还只是一种雏形，但这样一种基于数学问题的由无到有、由粗到精的过程，恰恰是学生数学思维、核心素养获得发展的基石。

5、就业机会和问题分析笔者在教学时，进行了新的探索。直接呈现模拟问题情境：

2、传统文化对大学生饰品消费的影响在茫茫大海上，有一艘船机械故障无法正常航行，正等待救援。工作人员借助雷达发现，这艘船在离灯塔不远的位置，并很快根据它们的位置关系，画出了平面图（如图2，图上1 cm表示实际1 km）。如果你是救援指挥人员，你将如何向救援船只描述或确定机械故障船所在的位置？

（2） 缺乏经营经验图2

大学生购买力有限，即决定了要求商品能价廉物美，但更注重的还是在购买过程中对精神文化爱好的追求，满足心理需求。学生结合手中的研究任务单，4人一小组展开探索与研究。事实上，由于之前学生已经有了测量距离的经验，以及“用数对确定位置”的学习活动经验，他们往往能够结合不同的经验，给出不同的解决问题路径。极少部分学生会受“用数对确定位置”的学习经验迁移，通过绘制网格图，试图用数对来确定船的位置。

1、作者：蒋志华 《市场调查与预测》，中国统计出版社 2002年8月 §11-2市场调查分析书面报告当然，在随后的交流过程中，这一方法往往会遭到质疑，从而被搁置。更多的学生会主动想到通过测量距离来初步确定船离灯塔的位置。但进一步思考，他们又会产生新的困惑——离灯塔3千米的地方不止一处，仅有3千米显然无法准确找到遇险船只的位置。这个困惑继续逼迫学生的思维向前推进，“方向”这一维度，自然就进入学生的视野。

于是，量角器便登上学习的舞台。只是，同样是使用量角器，不同的学生得出的结论是不一样的：有些学生通过研究，发现“船在灯塔的东北方向30度距离3千米的地方”；也有学生通过研究，发现“船在灯塔的东北方向60度距离3千米的地方”；更有甚者，直接借助军事上的方法，给出“船在灯塔的1点钟方向距离3千米的地方”。于是，新的问题产生了：“同样一艘船，为何会出现不同的表述方法？”“面对这一具体的问题，我们究竟该选择哪一种方法比较合适？”新的问题带来新的思考，学生的思维进一步向纵深聚焦。大家很快发现，之所以出现不一样的角度，是因为各自参照的初始方向不同。选择30度的，是以正北为基准，船向东偏离了30度；而选择60度的，是以正东为基准，船向北偏离了60度。

于是，问题进一步聚焦为：究竟该选择以哪一个方向为基准比较合适。最终讨论的结果或许会各执一词——事实上，不同版本的数学教材在这一问题上也存在分歧，有些规定只能以正北或正南为基准，有些则东南西北均可作基准——但最终，学生经由最初的尝试、随后的交流、矛盾的冲突、深入的追问，逐渐建构起一种全新的确定位置的方式，即可以借助类似于“在灯塔的北偏东30度距离3千米处”这样的方式来确定大区域中物体的位置。

我们从小学、中学到大学，学的知识总是限制在一定范围内，缺乏在商业统计、会计，理财税收等方面的知识；也无法把自己的创意准确而清晰地表达出来，缺少个性化的信息传递。对目标市场和竞争对手情况缺乏了解，分析时采用的数据经不起推敲，没有说服力等。这些都反映出我们大学生创业知识的缺乏；至此，一个原本规定性的数学规则，在具体问题的召唤下，经由学生的主动探索、自主建构、求同存异、质疑问难，由学生自己发现了、创造了。

解决问题的过程貌似艰辛，但它却锤炼了学生的数学思考，发展了学生的数学创造，有效提升了学生的数学核心素养。

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