：安徽省阜阳市颍东区衡水实验中学2020-2021学年高二上学期第四次调研考试数学(文)试题(解析版-

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2020~2021学年高二年级第一学期第四次调研考试
文数试卷
考试时间：120分钟满分：150分
一､选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线x3y10的倾斜角为 A. 6B.

3C. 2 3D. 5
6【答案】A 【解析】
【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线x3y10，
则y33， x33设直线的倾斜角为， 所以tan所以故选：A 【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 3， 36. y22. 已知双曲线C:x21，则焦点坐标为（ ）
2A. 3,0 【答案】B 【解析】
【分析】根据双曲线方程可得a2,b1，即得c2，再根据双曲线方程确定焦点位置，即得结果. 22B. 0,3
C. 1,0 D. 0,1


【详解】y2x21a22,b21c2a2b23c3
2y2x21焦点在y轴上，因此焦点坐标为：0,3
2故选：B 【点睛】本题考查双曲线焦点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题. 二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队3. 一班有学员54人，进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( A. 9人、7人 【答案】A 【解析】
【详解】利用分层抽样的方法得，∴一班应抽出16分别被抽取的人数是9，7，故选A. 点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．
4. 执行如图所示的程序框图，则输出的a值为
B. 15人、1人
C. 8人、8人
D. 12人、4人
549人，二班应抽出1697人，则一班与二班96
A. 3
B. 1
3C. 1
2D. 2


【答案】D 【解析】
【分析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a的值，可发现周期为4，即可得到i2020，a2，i2021，此时输出a2. 【详解】i1，a3.i2，a11.i3，a. 32i4，a2.i5，a3. 可发现周期4，i2020，a2，i2021. 此时输出a2. 故选：D
【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键，属于简单题. 5. 已知p:x1或x2，q:xa，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. aa2 【答案】D 【解析】 【分析】
由条件q是p的充分不必要条件，即q表示的集合B是p表示的集合A的真子集，再借助数轴表示集合的包含关系，即可得解. 【详解】设p表示的集合为Ax|x1或x2，q表示的集合为Bx|xa， 由q是p的充分不必要条件，可得B是A的真子集，利用数轴作图如下：
B. aa2
C. a2a1
D. aa1

所以a1 故选：D. 【点睛】本题考查充分不必要条件的应用，集合的包含关系求参数，考查学生的数形结合能力，属于基础题. 6. 若直线yxm是曲线ye的一条切线，则实数m的值是（ ）
x

A. -1 【答案】C 【解析】
B. 0 C. 1 D. 2 【分析】先设出切点坐标P(x0，ex0，再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是yxm是曲线ye的一条切线，求出实数m的值．
x【详解】解：yex，
yex，
设切点为P(x0，ex0，
则过P的切线方程为yexex(xx0，
00整理，得yex0xex0x0ex0，
直线是yxm是曲线ye的一条切线，
xex01，x00，
m1．
故选：C．
【点睛】本题考察了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题．
7. 若圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x4y40截得的弦长为6，则圆C的方程为（ ）
A. x4xy30 C. x16xy390 【答案】B 【解析】
【分析】设出圆心，根据勾股定理求出圆心到直线3x4y40的距离，再利用点到直线的距离公式即可. 【详解】设圆心为a,0a0，圆C的半径为5，弦长为6 2222B. x16xy390 D. x4xy0
2222

∴圆心到直线3x4y40的距离为52324. 又圆心到直线3x4y40的距离为d23a43a4，∴4，解得a8， 55∴圆C的方程为x8y225，即x216xy2390. 故选：B 2228. 已知双曲线mxny1与抛物线x8y有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为
y2A. x21
3【答案】A 【解析】
x2B. y21
3y2C. x21
5x2D. y1
52【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，可得的方程，解方程组即可得到结果. 【详解】抛物线x8y222114，求出渐近线方程，利用点到直线距离公式列关于m,nnm焦点坐标为F0,2, 可得双曲线mxny1的焦点为F0,2, y2x21211222化mxny1为1 ,得a,b, 1nmnm双曲线的一条渐近线方程为y由点F到双曲线渐近线的距离等于1，
得2n1 , 即2nnm，① nm114，② nm又 a2b2c2，即联立①②解得n1,m1，
3的1nxmx， n1my2双曲线的方程为x21，故选A . 3

【点睛】本题主要考查抛物线、双曲线的方程及简单性质,是中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 22229. 已知圆C1:(x1(y11，圆C2:(x2(y34，A、B分别是圆C1和圆C2上的动点，则AB的最大值为 A. 5 【答案】D 【解析】
【详解】分析：根据图形的特征，分析得出对应的两点之间的距离在什么情况下最大，即两圆心之间的距离加上两圆的半径，从而求得结果. 详解：两圆上两点间最大距离是圆心距加上两圆的半径之和， 两圆圆心是(1,1,(2,3，两圆半径分别是r,r242， 111所以AB的最大值为(122(132128，故选D. 点睛：该题考查的是有关两个圆上的动点之间的距离的最大值的问题，在解题的过程中，分析在什么情况下取得最大值显得尤为重要，之后应用两点间的距离公式求得两圆心之间的距离，再加上两圆的半径，求得结果. 点F是抛物线C:x4y的焦点，点A,B分别在抛物线C和圆x2y14的实线部分上10. 如图，2B. 6 C. 7 D. 8 2运动，且AB总是平行于y轴，则AFB周长的取值范围是

A. (3,6 【答案】B 【解析】 【分析】
B. (4,6 C. (4,8 D. (6,8


圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），半径r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，即可得出三角形ABF的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，利用1＜yB＜3，即可得出． 【详解】抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1， 圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r＝2， ∴|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA， ∴三角形ABF的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3， ∵1＜yB＜3，
∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．

故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11. 已知曲线yx在xx1处的切线为l1，曲线ylnx在xx2处的切线为l2，且l1l2，则x2x1的ex取值范围是（ ） A. 0,1 eB. ,1 C. ,0
D. ,
1e【答案】B 【解析】
【分析】求出两个函数的导数，可得k1构造函数hx即可得出结果. 【详解】令fx1x1k1x11llxxx1，x11，，，根据，可得21221x1x1xee2x1x,x1，通过求导数，判断函数的单调性，进而可得hx的取值范围为,1，exx，gxlnx， xe

则fx11x1k11x，gx，所以k1x，2，
x2exe1x1x11x111x，所以， 2x1ex1x2e因为l1l2，故因为x20，故x11.又x2x1令hxx11x1， ex1x1x,x1， ex2x2xex则hxx1，
xee当x1,时，y2xe为减函数，故2xex21e10，
x所以hx0在1,上恒成立，
故hx在1,上为减函数，所以hxh11， 所以hx的取值范围为,1， 即x2x1故选：B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题. x11x1的取值范围为,1 x1ex2y212. 已知双曲线221a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，实轴的两个端点分别为A1、A2，abB2.以坐标原点O为圆心，|B1B2|为直径的圆Oba与双曲线交于点M（位虚轴的两个端点分别为B1、于第二象限），若过点M作圆的切线恰过左焦点F1，则双曲线的离心率是（ ） A. 3 B. 2
C. 6 2D. 7
2【答案】A 【解析】
【分析】作出图形，利用勾股定理得出MF利用双曲线的定义得出MF23a，计算出cosMFO，11a，然后在△MF1F2中，利用余弦定理可得出关于a、c的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】由题意作出草图，如下：



F1M与圆O切于M，F1MOM，且OF1c，OMb，故MF1由双曲线的定义知MF2MF12a3a. OF1OM22a. 在RtF1MO中，cosMFO1a，
ca22c3a2a2c22在△MF1F2中，由余弦定理，得cosMFF12故选：A. a，即24c12a2，故离心率e3. c【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了利用双曲线的定义处理焦点三角形的问题，涉及了余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 二､填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13. 若命题“x01,2，x0a0”为假命题，则实数a的最小值为_______. 【答案】2 【解析】
【分析】根据命题为假得到x1,2，xa0恒成立，简单计算，可得答案. 详解】命题“x0R，x02x0a0”为假命题， 故x1,2，xa0恒成立. 所以x1,2，ax恒成立， 故a2 所以实数a的最小值为2 故答案为：2. 2

【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题. 14. 已知函数fx的导函数为fx，且满足fx2xf1lnx﹐则f1________． 【答案】1 【解析】
【分析】先计算fx，然后代入x1，简单计算即可得到结果. 【详解】由题可知：fx2xf1lnx，则fx2f1所以f12f11，则f11
故答案：1
1
x【点睛】本题考查函数在某点处的导数，熟悉导数的运算，属基础题. 22xy15. 在区间4,4上任取一个实数a，使得方程1表示双曲线的概率为________．
a2a3【答案】5
8【解析】 【分析】
根据双曲线的定义先求出a的范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
x2y2【详解】解：若方程1表示双曲线，
a2a3则满足(a2(a30， 得2a3， 则对应的概率为3(25，
4(48故答案为：5
8【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合双曲线的定义求出a的等价条件是解决本题的关键．比较基础．
2bx2y2FF(c,0F(c,0已知椭圆（）的左右焦点分别为，，过点且斜率为的直16. 21ab02122aab

线l交直线2bxay0于M，若M在以线段F1F2为直径的圆上，则椭圆的离心率为__________． 【答案】【解析】
【分析】写出直线l的方程，将直线l的方程与直线2bxay0联立求出点M的坐标，由题意得出1
2bb2FMF2M0，可解出，然后利用离心率公式e12可求得结果. 1aacx2b2【详解】设直线l的方程为y，即点M的坐标为xc，联立2bxay0，解得bcayacbc,，
a2因为M在以线段F1F2为直径的圆上，所以F1MF2M，有FMF2M0， 132b2c2b3b231则c20，解得,则椭圆的离心率为e11. 24aa2a42故答案为：1. 2【点睛】在解析几何问题中常常会遇见这样的问题：“点P在以AB为直径的圆上”，常用的处理方法有两个：
一是转成向量的数量积为0，坐标化处理； 二是转成斜率乘积为1. 三､解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知集合Ax1x3，集合Bx(xa(xa10，aR. （1）若“1B”是真命题，求实数a取值范围；
（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）0a1（2）1,2 【解析】
【分析】（1）解不等式即得a的取值范围；（2）先化简Bxaxa1,由题得B是A的真子集，解不等式组a1得解. a13

【详解】解：（1）若“1B”是真命题，则a1a0，得0a1. （2）Bxxaxa10xaxa1， 若“xA”是“xB”的必要不充分条件， 则B是A的真子集，
a1a1即，即，得-1a2，
a13a2即实数a的取值范围是1,2. 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，考查充要条件和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. 已知圆C:(x2(y34外有一点4,1，过点P作直线l．
22(1当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2当直线l的倾斜角为135时，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】（1）x4或3x4y80（2）22． 【解析】
【分析】(1根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果; (2先求出直线方程，然后求得圆心C与直线l的距离,由弦长公式即可得出答案. 【详解】解: (1由题意可得C2,3,直线l与圆C相切 当斜率不存在时，直线l的方程为x4,满足题意 当斜率存在时，设直线l的方程为y1k,即kxy4k10 x4∴2k34k11k232,解得k
4∴直线的方程为3x4y80
∴直线l的方程为x4或3x4y80 (2当直线l倾斜角为135时，直线l的方程为xy30
圆心C2,3到直线l的距离为23232
∴弦长为222(2222


【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力. 219. 已知直线x4与抛物线C:y2px（p0）相交于A，B两点，且OAB是等腰直角三角形．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l过定点(2,1，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？ 【答案】（1）y24x（2）k0或k1或k【解析】 【分析】
（1）将x4代入抛物线的方程，求得A，B的坐标，由等腰直角三角形的性质可得OAOB，再由两直线垂直的条件，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（2）由题意可得直线l与抛物线的对称轴平行，可得k0，又直线和抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，可得所求值．
2【详解】解：（1）直线x4与抛物线C:y2px（p0）相交于A，B两点，
1
2可设A(4,22p，B(4,22p， 又OAB则等腰直角三角形，可得OAOB，
22p22p1，解得p2， 442即有抛物线的方程为y4x；
（2）直线l过定点(2,1，斜率为k，可设直线l的方程为y1k(x2， 当直线l平行于抛物线的对称轴x轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即k0； 当直线l与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，
由ykx12k222可得kx[2k(12k4]x(12k0，k0，
2y4x222由[2k(12k4]4k(12k161k2k综上可得k0或k1或k【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，主要是直线和抛物线有交点，考是2， 0，解得k1或k121，直线l与抛物线C只有一个公共点．
2

查方程思想和运算能力，属于中档题．
20. 从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：40,50，50,60，...，90,100后，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求图中实数a的值；
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数. 【答案】（Ⅰ）a0.03；（Ⅱ）210. 【解析】
【分析】（Ⅰ）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出a． （Ⅱ）利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数． 【详解】解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以100.0050.010.02a0.0250.011， 解得a0.03. （Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为
100.0250.010.35. 由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为6000.35210. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，

考查函数与方程思想，属于基础题．
22yx2的椭圆：221ab0的短轴的两个端点分别为B1､B2，P为椭圆上21. 已知离心率为ab2异于B1､B2的动点，且△PB1B2的面积最大值为22.
（1）求椭圆的方程；
（2）射线y2xx0与椭圆交于点A，过点A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C，求证：直线BC的斜率为定值. y2x21；【答案】（1）（2）证明见解析. 42【解析】
【分析】（1）由椭圆的离心率、△PB1B2的面积的最大值及a,b,c之间的关系求出a,b的值，进而求出椭圆方程；
（2）先联立射线OA与椭圆求出A1,2，再设直线AB的方程为ykx12，将其与椭圆方程联立，由根与系数关系可得点B的坐标，然后将点B坐标中的k替换为k得到点C的坐标，最后用斜率公式可得直线BC的斜率为定值2. c【详解】（1）椭圆的离心率为eaa2b22，可得a2b，
a22b222，可得b2，a2，
由题意可得，△PB1B2的面积的最大值为aby2x21. 因此，椭圆的方程为42

y2x21,42x1,（2）联立y2x,解得所以点A的坐标为1,2. y2,x0,设点Bx1,y1，Cx2,y2，设直线AB的方程为ykx12， 即ykx2k，
ykx2k,22yk2x2k联立2消去并整理得22xy4,2kxk222k20，
2k222k2k22k2由韦达定理，得x11，即x1， 22k2k22k24k22， y1kx12k2k2k222k22k24k22,所以点B的坐标为22， k2k2k222k22k24k22,. 同理可得点C的坐标为22k2k2则直线BC的斜率为kBCy1y28k2，即直线BC的斜率为定值2. x1x242k【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点：将点B坐标中的k替换为k得到点C的坐标，用到了整体代换思想，大大地减少了运算量。 22. 设函数fxeasinxb. x（1）当a1，x0,时，fx0恒成立，求b的取值范围；
（2）若fx在x0处的切线为xy10，求a，b的值；并证明：当x0,时，fxx1. 【答案】（1）1,；（2）a0，b2，证明见解析. 【解析】
【分析】（1）求导后得出单调性，算出最小值，然后让最小值大于等于零即可获解. （2）利用导数算出a，b的值，从而求出fx，再通过移项，构造新函数，再利用导数得到单调性，最后即可证明.

【详解】（1）由fxeasinxb. x当a1时，得fxecosx. x当x0,时，ex1，cosx1,1，
当cosx1时，即x2k，kN，此时ex1. 所以fxecosx0，即fx在0,上单调递增，
x所以fxminf01b. 由fx0恒成立，得1b0. 所以b1，即b的取值范围为1,. （2）由fxeasinxb，得fxeacosx，且f01b. xx由题意得f0ea1，所以a0. 0又点0,1b在切线xy10上， 所以01b10，所以b2. 所以fxe2. x要证ex2x1，即ex10x0. x令gxex1x0，
x则gxe10，
x所以gx在0,是增函数. 所以gxg00，即ex2x1. 【点睛】方法点睛：证明含有指对数的不等式往往可以构造新函数，运用导数工具，研究函数单调性证明.



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