模拟试卷一

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注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题（每题3分，共24分）

1、已知平面：与直线的位置关系是（ ）

（A）垂直 （B）平行但直线不在平面上

（C）不平行也不垂直 （D）直线在平面上

2、（ ）

（A）不存在 （B）3 （C）6 （D）

3、函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的（ ）条件.

（A）必要条件 （B）充分条件

（C）充分必要条件 （D）非充分且非必要条件

4、设，这里，则=（ ）

（A）4 （B）2 （C）1 （D）0

5、已知为某函数的全微分，则（ ）

（A）-1 （B）0 （C）2 （D）1

6、曲线积分（ ），其中

（A） （B） （C） （D）

7、数项级数发散，则级数（为常数）（ ）

（A）发散 （B）可能收敛也可能发散

（C）收敛 （D）无界

8、微分方程的通解是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

二、填空题（每空4分，共20分）

1、设，则 。

2、交换积分次序：= 。

3、设是任意一条光滑的闭曲线，则= 。

4、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区域为 。

5、若是全微分方程，则函数应满足 。

三、计算题（每题8分，共40分）

1、求函数的一阶和二阶偏导数。

2、计算，其中是由抛物线即直线所围成的闭区域。

3、计算其中为三顶点分别为的三角形正向边界。

4、将展开成的幂级数。

5、求微分方程的通解。

四：应用题 （16分）

求由旋转抛物面和平面所围成的空间区域的体积。

模拟试卷二

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注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1. 点到轴的距离＝( )．

(A) (B) (C) (D)

2. 下列方程中所示曲面是单叶旋转双曲面的是（ ）.

（A） （B）

（C） （D）

3. 二元函数的定义域是( ).

（A）； 　　　　　 （B）；

（C）； 　　　　　 （D）.

4. ( ).

（A）　　　（B）

（C）　　　　（D）

5. 已知二重积分，则围成区域Ｄ的是（　　）．

(A) ，　 　　　　　 　(B) 轴，轴及

(C) 轴，及　　　　　　 (D) ，

6. 设，其中由所围成，则=( ).

(A) 　　　　　(B)

(C) 　　　　 (D)

7. 若是上半椭圆取顺时针方向,则 的值为( ).

(A)0 (B) (C) (D)

8. 设为非零常数,则当( )时,级数收敛 .

(A) (B) 　　　　(C) (D)

9. 是级数收敛的( )条件.

(A)充分 　　 (B)必要 　　　 (C)充分且必要 　　 (D)既非充分又非必要

10. 微分方程 的通解为__________.

(A) 　 　 　　(B)

(C) 　 　 　 　(D)

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 已知平行四边形的两个顶点,的及它的对角线的交点 ，则顶点为_________

２. 设， ，则 = ____

3. 设 则 ________

4. 若正项级数的后项与前项之比值的极限等于，则当________时，级数必收敛．

5. 幂级数 的收敛区间是　　　　　　　．

三、计算题（每小题10分，共50分）

1. 求函数 的极值点，并求极值.

2. 计算 ，其中是以（0,0），（1,1），（0,1）为顶点是三角形区域.

３. 计算，其中为曲线：，， ．

4. 利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数：.

5. 求微分方程满足已给初始条件的特解： ， .

四、应用题与证明题　（第1小题13分，第2小题12分，共25分）

1. 求球面被平面与所夹部分的面积。

2. 证明曲面上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数.

模拟试卷三

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注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1. 若，为共线的单位向量，则它们的数量积 （ ）.

（A） 1 （B）-1 （C） 0 （D）

2. 设平面方程为，且， 则平面（ ）.

（A）平行于轴　 （B）垂直于轴　 （C）平行于轴　 （D）垂直于轴

3. 设 ,则在原点处( ).

(A) 不连续 (B) 偏导数不存在 (C)连续但不可微 (D)可微

4. 二元函数的极值点是( ).

(A) (1,2) (B) (1，-2) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)

5. 设为, 则 =（ ）.

(A) 0 (B) 　 　　(C) (D)

6. =( )

(A)　　　　 (B)

(C) 　　　 (D)

7. 若是上半椭圆取顺时针方向,则的值为( ).

(A) 0 (B) (C) (D)

8. 下列级数中,收敛的是( ).

(A) (B) 　　 (C) 　　 (D)

9. 若幂级数的收敛半径为：，幂级数的收敛半径为：，则幂级数的收敛半径至少为( )

(A) (B)　　 (C)　　　 (D)

10. 方程是( ).

(A)齐次方程 (B)一阶线性方程　 (C)伯努利方程　 (D)可分离变量方程

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 平行四边形二边为向量，，则其面积= .

2. 通过点且与平面平行的平面方程为 　　　　　．

3. 设 ，则 _________．

4. 曲线 在对应于的点处切线方程为______________；

5. 设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有________________；

三、计算题（每小题10分，共50分）

1. 设, 求 ．

2. 求, 其中 是由 所确定的闭区域．

3. 计算 ，其中是在圆周：上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧．

4. 将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间．

5. 求下列微分方程的通解：

四、应用题（第1小题13分，第2小题12分，共25分）

1. 在平面上求一点,使它到及三直线的距离平方之和为最小.

2. 求由曲面 及 所围成的立体的体积 . 、

模拟试卷四

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注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）

1. 向量在向量上的投影等于（　 ）

(A) (B) (C) (D)

2. 曲线 绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程是（　 ）

(A) (B)

(C) 　　 (D)

3. 已知 = , 则 的值为( )

(A) ０　　　　 　(B) 1　　　　 　 (C) 　　　　 (D) 不存在

4. 若在处可微, 则在处( )

(A) 连续且偏导数存在 　　　　　 (B) 连续且偏导数连续

(C) 连续但偏导数不一定存在　　　　 (D) 不一定连续且偏导数不一定存在

5. 设,， 其中区域，

，则下列四式中正确的是（ ）

(A) (B) 　　 (C) (D)

6. 设,其中由所围成，则=( )

(A)　　　 　　 (B)

(C)　　　　　 　(D)

7. 设为：, ， 则的值为( )

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12

8. 下列级数中,收敛的是( )

(A) (B) 　　 (C) (D)

9. 幂级数的收敛区间为（ ）

(A) (B) (C) (D)

10. 下列方程可分离变量的是（ ）

(A) (B)

(C) (D)

二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）

1. 通过曲线 ，且母线平行于轴的柱面方程是 .

2.　经过点且平行于向量的直线方程是 .

3. = .

4. 将二次积分改换积分次序应为_____________ .

5. 设、都是正项级数，且收敛，则当都有 时，也一定收敛.

三、设函数 ，求 . （10分）

四、 计算二重积分，其中D是由直线、及所围成的闭区域. （10分）

五、计算曲线积分， 其中是由抛物线 和 所围成的区域的正向边界曲线. （10分）

六、. 求幂级数 的和函数. （10分）

七、求下列微分方程的通解: . （10分）

八、应用题　（15分）

求旋转抛物面被平面所截得的有限部分的面积.

模拟试卷五

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注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）

1.充分必要条件是（　 ）

(A) × (B) (C) (D)

2. 两平面 与 的夹角是（　 ）

(A) (B) (C) (D)

3. 若，则 =( )

(A) 2 (B) 1 (C) 4 (D) 0

4. 若和都存在,则在处( )

(A) 连续且可微　　　　　 (B) 连续但不一定可微　

(C) 可微但不一定连续　　　　 (D) 不一定连续 且不一定可微

5. 下列不等式正确的是（ ）

(A) 　(B) 　

(C) (D)

6.　=( )

(A)　　　　 (B)

(C)　　　　 (D)

7. 设区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，为区域D的面积，则（ ）

(A) (B)

(C) (D)

8. 设是正项级数，前n项和为，则数列有界是收敛的（ ）

(A) 充分条件 (B) 必要条件

(C) 充分必要条件 (D)既非充分条件，也非必要条件

9. 以下级数中，条件收敛的级数是（ ）

(A) (B)

(C) (D)

10. 下列方程为线性微分方程的是（ ）

(A) (B)

(C) (D)

二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）

1. 曲线 在平面上的投影方程是 ____ ___ .

2. 经过点且垂直于直线 的平面方程是 .

3. = _ .

4. 设区域是由轴及半圆周所围成的闭区域，将二重积分

化为极坐标形式的二次积分应为____________ .

5. 设、都是正项级数，且发散，则当都有 时，

也一定发散.

三、设函数 ， 求. （10分）

四、计算二重积分，其中D是圆环形闭区域.

（10分）

五、 计算其中是三个顶点分别为 、和的三角形区域的正向边界. （10分）

六、求幂级数 的和函数. （10分）

七、求下列微分方程的通解: . （10分）

八、应用题　（15分）

计算半球面 被围在柱面内的部分曲面的面积.

参考答案（模拟试卷一）

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一：单项选择题 （每小题3分，共24分）

1、D；2、B；3、B；4、A；5、C； 6、C；7、B；8、C.

二、填空题（每空4分，共20分）

1、；2、；3、0；4、；5、.

三、计算题（每题8分，共40分）

1、解： ……2分

……6分

2、解：画出积分区域 ……1分

……4分

= ……3分

3、解：如图，因为 ……1分

∵，则 ……2分

由格林公式得：

= ……5分

4、解： ……2分

= ……3分

= ……3分

5、解：原方程即为 ……2分

即 ……2分

……2分

原方程的通解为 ……2分

四、应用题（16分）

解一：用二重积分计算。所求体积可视为圆柱体：的体积与以曲面为顶、以为底的曲顶柱体体积之差，其体积为 ……8分

……8分

解二：用三重积分计算。利用柱面坐标，有 ……4分

…12分

答案（模拟试卷二）

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一、单项选择题（每小题2分，共20分）

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. (9，-5，12) 2. 3. 4. 5.

三、计算题（每小题10分，共50分）

1. 求函数 的极值点，并求极值.

解：∵

令

∴驻点为：，，， ……………………………4分

又∵ ……………………………6分

（1）对于驻点有，且

∴为极大值 ……………………………7分

（2）对于驻点有，

∴不是极值 ……………………………8分

（3）对于驻点有，

∴不是极值 ……………………………9分

（4）对于驻点有，且

∴为极小值 ……………………………10分

2. 计算 ，其中是以（0,0），（1,1），（0,1）为顶点是三角形区域.

解：= ……………………………5分

= ……………………………7分

=

=

=

= ……………………………10分

３. 计算，其中为曲线：，， ．

解：原式 ………3分

……………………………8分

= ……………………………10分

4. 利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:

.

解：∵ ……………………………3分

∴= ……………………………6分

=

= …………………………10分

5. 求微分方程满足已给初始条件的特解：

， .

解：∵

∴ ……………………………3分

两边积分得： ……………………………7分

又∵

∴ ……………………………9分

∴特解为： ……………………………10分

四、应用题与证明题　（第1小题13分，第2小题12分，共25分）

1. 求球面被平面与所夹部分的面积。

解：∵且 ……………2分

∴所求的面积为： ………………………4分

= ………………………8分

= ………………………9分

=

= ………………………13分

2. 证明曲面上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数.

解：曲面上任一点处的法向量为： ……3分

∴处的切平面方程为：

即：且有 ………………………9分

∴所围立体的体积为：= ………………………12分

答案（模拟试卷三）

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一、单项选择题（每小题2分，共20分）

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 2. 3.

4. 5.

三、计算题（每小题10分，共50分）

1. 设, 求 ．

解：∵ ……………………………3分

∴ ……………………………6分

∴ ……………………………10分

2. 求, 其中 是由 所确定的闭区域．

解：= ……………………………1分

= ……………………………7分

= ……………………………9分

= ……………………………10分

3. 计算 ，其中是在圆周：上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧．

解：设的参数方程为： ……………………………2分

∴

= …………6分

=

= ……………………………10分

4. 将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间．

解：∵ …………4分

∴

=

=， ………………………10分

5. 求下列微分方程的通解：

解：∵

∴ ……………………………2分

∴ ……………………………3分

=

= ……………………………6分

=

= ……………………………8分

=

= ……………………………10分

四、应用题（第1小题13分，第2小题12分，共25分）

1. 在平面上求一点,使它到及三直线的距离平方之和为最小.

解：设所求的点为，则依据题意有：

， ……………………………5分

∵ ……………………………9分

∴驻点为 ……………………………11分

由此题的实际意义可知，唯一的驻点一定是极小值点，也一定是最小值点。

∴所求的点为 ……………………………13分

2. 求由曲面 及 所围成的立体的体积 .

解：∵ ……………………………2分

∴ ……………………………6分

=

=

= ……………………………9分

=

= = ……………………………12分

模拟试卷四

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注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）

1. 向量在向量上的投影等于（　 ）

(A) (B) (C) (D)

2. 曲线 绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程是（　 ）

(A) (B)

(C) 　　 (D)

3. 已知 = , 则 的值为( )

(A) ０　　　　 　(B) 1　　　　 　 (C) 　　　　 (D) 不存在

4. 若在处可微, 则在处( )

(A) 连续且偏导数存在 　　　　　 (B) 连续且偏导数连续

(C) 连续但偏导数不一定存在　　　　 (D) 不一定连续且偏导数不一定存在

5. 设,， 其中区域，

，则下列四式中正确的是（ ）

(A) (B) 　　 (C) (D)

6. 设,其中由所围成，则=( )

(A)　　　 　　 (B)

(C)　　　　　 　(D)

7. 设为：, ， 则的值为( )

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12

8. 下列级数中,收敛的是( )

(A) (B) 　　 (C) (D)

9. 幂级数的收敛区间为（ ）

(A) (B) (C) (D)

10. 下列方程可分离变量的是（ ）

(A) (B)

(C) (D)

二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）

1. 通过曲线 ，且母线平行于轴的柱面方程是 .

2.　经过点且平行于向量的直线方程是 .

3. = .

4. 将二次积分改换积分次序应为_____________ .

5. 设、都是正项级数，且收敛，则当都有 时，也一定收敛.

三、设函数 ，求 . （10分）

四、 计算二重积分，其中D是由直线、及所围成的闭区域. （10分）

五、计算曲线积分， 其中是由抛物线 和 所围成的区域的正向边界曲线. （10分）

六、. 求幂级数 的和函数. （10分）

七、求下列微分方程的通解: . （10分）

八、应用题　（15分）

求旋转抛物面被平面所截得的有限部分的面积.

.

答案（模拟试卷五）

――――――――――――――――――――――――――――――――――

一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）

二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）

1. 2. 3. 2

4. 5.

三、（10分）

解： …………………………………………5分

…………………………3分

……………………………………………2分

四、（10分）

解：

………2分

= ……………………………………………………4分

＝　 …………………………………………………2分

＝ …………………………………………………2分

五、（10分）

解：

， …………2分 …………1分

原式=

= …………………………………………………3分

= …………………………………………………1分

=

= …………………………………………………1分

== …………………………………………………1分

六、（10分）

解：∵ = ………………………………………3分

= ………………………………………2分

∴== ……………………………………2分

== ……………………2分

七、（10分）

解：由原方程得 ……………………2分

令，则 ， ……………………………………2分

代入上式得 …………………………………1分

化简并分离变量得： ……………………………………2分

积分得 ……………………………………2分

即 ……………………………………1分

八、应用题　（15分）

解： ………2分

由

得

……………………………………………2分

…………………………………………1分

积分区域为：， …………………………………………1分

即 …………………………………………1分

∴所求的面积为：

= ……………………2分

= ……………………………2分

= …………………………………1分

= …………………………………1分

= …………………………………1分

= …………………………………1分

高数2试题及答案