2019年重点高中提前招生考试数学试卷

一、 选择题（每小题5分）

1、方程的正整数解的个数是（ ）

A 7个 B 8个 C 9 个 D 10个

2、如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1）若将线段

平移至，则的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

3、解关于x的不等式，正确的结论是（ ）

A、无解 B、解为全体实数 C、当a>0时无解 D、当a<0时无解

4、某一天的不同时刻老板把信交给秘书打字，每次都将信放在秘书信堆的最上面，秘书有时间就将信堆最上面的那封信取来打。假定共有5封信，且老板以1、2、3、4、5的顺序交来，在下列各顺序中，哪一顺序不可能是秘书打字的顺序？（ ）

A、12345 B、54321 C、23541 D、23514

5、二次函数的图象如图所示，是

图象上的一点，且，则的值为（　）．

A. B. C.－1 D.－2

6、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=，那么AC的长等于(　　 )

(A) 12 　 (B) 16 (C) 　(D)

7、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( )

A、当m≠3时，有一个交点 B、时，有两个交点

C、当时，有一个交点 D、不论m为何值，均无交点

8、已知函数f（x）=x2＋λx，p、q、r为⊿ABC的三边，且p﹤q﹤r，若对所有的正整数p、q、r都满足f（p）﹤f（q）﹤f（r），则λ的取值范围是（ ）

A、λ﹥－2 B、λ﹥－3 C、λ﹥－4 D、λ﹥－5

二、填空题(每小题5分)

9、若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数 _____.

10、若 则 的值是

11、在Rt△ABC中,∠C＝900,AC＝3,BC＝4.若以C点为圆心, r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围是____________ ．

12、在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（）称为整点，如果将二次函数的图像与轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有 个。

13、如图所示：两个同心圆，半径分别是，矩形ABCD边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是 。

14、a、b为实数，且满足ab+a+b-1=0，a2b+ab2+6=0，则a2-b2=________。

15、已知正数a、b、c满足a2＋c2=16，b2＋c2=25，

则k=a2＋b2的取值范围为 ;

16、已知抛物线y=ax2+2ax+4(0（x1，y1）B(x2，y2)是抛物线上两点，若x12,

且x1+x2=1－a,则 y1 y2

三、 解答题（每题14分）

17、已知,若为整数，在使得为完全平方数的所有的值中，设的最大值为，最小值为，次小值为．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）

（1）求的值；

（2）对进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008？证明你的结论．

18、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发.设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系.根据图像进行以下探究:

信息读取

(1)甲、乙两地之间的距离为 km；

(2)请解释图中点B的实际意义；

图像理解

（3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

问题解决

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时?

19、如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

20、如图⊿ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是⊿ABD和⊿ACD的外接圆的直径，连结EF，求证：

21、有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形；

②腰长为4、顶角为的等腰三角形；

③腰长为5、顶角为的等腰三角形；

④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形；

⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形。

它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、2.7的铁圆环。

我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。

⑴证明：第④种塑料板“可操作”；

⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。

部分答案

18

解：（1）900；………………………………………………………………………………1分

（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇. ……………2分

（3）由图像可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为=75（km/h），

……………………………………………………………………………………………3分

当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为=225（km/h）,所以快车的速度为150 km/h．…………………………4分

(4)根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶=6（h）到达乙地，此时两车之间的距离为6×75=450（km），

所以点C的坐标为（6，450）.

设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（4，0），（6，450）代入得

0=4k+b k=225,

解得

450=6k+b b=-900.

所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x-900. ………………6分

自变量x的取值范围是4≤x≤6. ……………………………………………………………7分

(5)慢车与第一辆快车相遇30分钟后与第二辆快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h，把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5.此时，慢车和第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km,所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75（h）,即第二辆快车比第一辆快车晚出发0.75h. ……………………………………………………………10分

19解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA 1分

∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°

∴∠BAE=∠CDA

又∠B=∠C=45°

∴∆ABE∽∆DCA 3分

(2)∵∆ABE∽∆DCA

∴

由依题意可知CA=BA=

∴

∴m= 5分

自变量n的取值范围为1 6分

(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n

∵m=

∴m=n=

∵OB=OC=BC=1

∴OE=OD=－1

∴D(1－, 0) 7分

∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2

∵BD＋CE=2 BD=2(2－)=12－8, DE=(2－2)= 12－8

∴BD＋CE=DE 8分

(4)成立 9分

证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,

∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.

连接HD,在∆EAD和∆HAD中

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.

∴∆EAD≌∆HAD

∴DH=DE

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°

∴BD+HB=DH

即BD＋CE=DE 12分

20证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以ED⊥BC， FD⊥BC，因此D，E，F三点共线. …………（5分）连接AE，AF，△ABC∽△AEF. …………（10分）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得 ，从而 ， 所以. …………（20分）

21．

略解：⑴由题意可知四边形必然是等腰梯形，（2分）不妨设

=，分别过点作的垂线，垂足为，则由△∽△得到，即，解得。

∴＜2.4,

∴第④种塑料板“可操作”。 （5分）

⑵如上图所示，分别作直角三角形斜边上的高、等腰三角形的腰上的高、等腰三角形底边上的高，易求得：=2.4, =2.5. (2分)

又由⑴可得等腰梯形的锐角底角是，△≌△，∴=.

而黄金矩形的宽等于＞2.4， （4分）

∴第①②④三种塑料板“可操作”；而第③⑤两种塑料板“不可操作”。

∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。（3分）

2019年重点高中提前招生考试数学试卷及答案