光的衍射习题及答案

第二章 光的衍射

1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第к个带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。

  解：  而

      将上式两边平方，得

     略去项，则 

     将 带入上式，得

2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为500nm。

解：（1）根据上题结论 

将代入，得

当k为奇数时，P点为极大值；

k为偶数时，P点为极小值。

（2）P点最亮时，小孔的直径为

3．波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接收点P离光阑1m，求P点的光强I与没有光阑时的光强度I0之比。

解：根据题意    

    有光阑时，由公式

    得    

    按圆孔里面套一个小圆屏幕

    没有光阑时

      所以       

4．波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏。试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？

 解：（1）点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数.当平行光如射时,

          波带数为

          故点为亮点.

      (2) 当点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到4时, 点变成

          暗点,此时, 点至圆孔的距离为

          则点移动的距离为

         当点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为2时, 点也变成暗点。

与此对应的到圆孔的距离为

         则点移动的距离为

５.一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径r1的不透明圆盘,第二半波带是半径r1 至r2的透明圆环,第三半波带是r2至r3的不透明圆环,第四半波带是r3至r4的透明圆环,第五半波带是r4至无穷大的不透明区域,已知r1:r2：r3:r4=1:::,用波长500nm的平行单色光照明,最亮的像点在距波带片1m的轴上.试求:(1) r1; (2) 像点的光强; (3) 光强极大值出现在轴上哪些位置上.

解：因为5个半波带组成的半波带片上,不透光;透光;至不透光;至透光;至无穷大不透光.

  单色平行光 

第一条最亮的像点在的轴上,即

(1)    

(2)  像点的光强:  所以

(3)  光强极大值出现在轴的位置是(即)

6. 波长为λ的点光源经波带片成一个像点,该波带片有100个透明奇数半波带(1,3,5,……)。另外100个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比I:I0.

解: 100个奇数半波带通光总振幅 

   同样焦距和口径的透镜可划分为200个半波带通光

   总振幅为 

7. 平面光的波长为480nm,垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上,会聚透镜的焦距为60cm.分别计算当缝的两边到P点的相位为π/2和π/6时,P点离焦点的距离.

解：设P点离焦点的距离为y，透镜的焦距为。缝宽为，则位相差和光程差的关系式为

故      

当缝的两边到P点的位相差为时，P点离焦点的距离为

当缝的两边到P点的位相差为时，P点离焦点的距离为

8. 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm的光波的第二个次最大值重合.求该光波的波长.

解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知

  得    

  所以     

  所以该光为紫色光.

9. 波长为546.1nm的平行光垂直地射在1mm宽的缝上,若将焦距为100cm的透镜紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三最小值的距离分别为多少?

 解: 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:

得第一、第三最小值的位置分别为

  由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式

得    

10. 钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上.所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885cm,问钠光的波长为多少?若改用X射线(λ=0.1nm)做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?

解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式 

得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为

    那么   

    如果改用时

12. 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为400nm，最长的红光波长为760nm)

解：由光栅方程 得

    所以       

    所以      

式中    

所以    

13. 用可见光(760～400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？

解：根据光栅方程

得    

       ，

因为  >    所以   一级和二级不重叠.

而    

因为   <   所以二级和三级光谱部分交迭.

设第3级紫光和第2级波长的光重合

     则 

所以 

设第2级红光和第3级波长为的光重合

     则 

所以

综上,一级光谱与二级光谱不重叠;二级光谱的与三级光谱的重叠.

14. 用波长为589nm的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为15°10'，求该光栅1cm内的缝数是多少？

解:

15. 用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱。试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以角入射时,最多能观察到几级光谱?

解: 根据光栅方程  得

可见的最大值与的情况相对应(真正等于1时,光就不能到达屏上).

    根据已知条件,并取则得

         (此处只能取整数,分数无实际意义)

    即能得到最大为第四级的光谱线.

 (2) 根据平行光倾斜入射时的光栅方程  ,可得                       

 同样,取得

    即能得到最大为第六级的光谱线.

16. 白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现哪些波长的光？其颜色如何？

解: 由题意可知             

   当时,     由公式

   得

   当时, 

   所以      这里可取3, 4, 5

   当时     (为红色)

   当时     (为绿色)

   当时     (为紫色)

17. 用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条。求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度；(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？(3)谱线的半宽度为多少？

    解：（1）单缝衍射图样的中央角宽度

   (2)  单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定

        式中为光栅的光栅常数.

        所以看到的级数为3.

  (3) 谱线的半角宽度的公式为:

     令   

 18. NaCl的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17g/cm3，(1)试证明相邻两离子间的平均距离为

                        nm

式中NA=6.02×1023/mol为阿伏加德罗常数；（2）用X射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为1°的方向上出现.试计算该X射线的波长.

解: (1) 晶胞的棱边为棱边长d,由于每个晶胞包含四个NaCl分子,那么密度ρ为

这里,NaCl分子的质量由下式给出

所以晶胞的棱边由上面两式联立解得

 那么相邻两离子间的平均距离为

           时

(2) 根据布喇格方程       在时

19 波长为0.00147nm的平行X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。

解： 

光线与界面成18′的角度时，能观察到二级光谱。

20 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b，缝距分别为d和2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：

     式中  

证明：设单缝衍射的振幅为,三缝衍射的总振幅为，则

＝（１＋cos+cos）

＝（１＋sin+sin）,

==+= [（１＋cos+cos）2+（１＋sin+sin）2]

= [3+2 (cos+cos2+cos)]

 又　　　　＝，　u=

   =

∙          

 其中　　，得证．

21一宽度为2cm的衍射光栅上刻有12000条刻痕。如图所示，以波长的单色光垂直投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由1mm均匀变薄到0.5mm，试问第一辑主最大方向的改变了多少？

解：首先求玻璃片的顶角A,   

单色平行光经劈后的偏向角为

故玻片未加前的光栅方程为   ，

时，，

将 代入上式，得

玻片加入后的光栅方程为

代入数据得：

即

那么，第一级最大的方向改变为

22一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成角，在和法线成11°和

53°的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。

（1）       试求入射角；

（2）       试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱线？

解：（1）如图(a)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的同侧，

根据光程差的计算，

光栅方程为              (1)

如图(b)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的两侧，

根据光程差的计算，

光栅方程为：             (2)

(1)- (2)，得           (3)

将代入(3)得 

（2）当位于法线两侧时，满足 

一级谱线：    故 (4)

二级谱线：    (5)

将(4)代入(5)得

故当位于法线两侧时，第二级谱线无法观察到。

当位于法线同侧时，满足   ，

（6）

将(4)代入（6）得  故位于法线同侧时，第二级谱线也可观察到。

23 波长为600nm的单色光正入射到一透射光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在和处，第四级为缺级。

（1）试求光栅常量；

（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；

（3）在确定了光栅常量与缝宽之后，试列出在光屏上世纪呈现的全部级数。

解：(1)光栅方程为     

故    ，

故  

即光栅常量为6

(2) 由第四级缺级，得 

即光栅上缝的最小宽度为

(3)  故最大的级次为

故其时最多观察到 又考虑到缺级，所以能呈现的全部级次为

光的衍射习题及答案