数的奇偶性

（一） 奇数和偶数的概念

任意整数被2除得的余数只有两个，0和1.因此根据余数的不同，我们将整数分成两类：余数为1的这类整数称为奇数，余数为0的这类整数称为偶数

表示：偶数常表示为2k，奇数常表示为2k-1或2k+1（k为整数）。

（二） 奇数和偶数的一些性质

（1） 奇偶性相同的两个数的和或差为偶数；反之也成立,即：两个整数的和或差为偶数，这两个数奇偶性相同。

（2） 奇偶性不同的两个数的和或差为奇数；反之也成立,即：两个整数的和或差为奇数，这两个数奇偶性不同。

（3） 两个奇数的积为奇数；两个偶数的积为偶数；一个奇数和一个偶数的积为偶数；

（4） 奇数个奇数的和或差为奇数；偶数个奇数的和或差为偶数；任意个偶数的和或差为偶数；

（5） 任意个奇数的积为奇数；反之也成立，即一些整数的积为奇数，则所有的整数都是奇数；

（6） 一些整数中只要有一个是偶数，则积就是偶数；反之也成立，即：如果多个整数的积为偶数，则其中至少有一个为偶数。

（7） 个偶数的积是的倍数。

（8） 任意自然数都可以表示为：奇数的形式。

（9） 两个整数的和与差的奇偶性相同。

（10） 奇数的平方是奇数，并且被8除余1；偶数的平方是偶数，并且一定能被4整除。

（11） 若n是非平方的正整数，则n的所有的因数的个数为偶数；若n是平方数，则n的所有的因数的个数为奇数。

（12） 在任意三个整数中，一定能够选出两个数，其和与差都是偶数。

（三） 几个例题及练习

例1：证明性质7。

例2：证明性质8。

例3：证明性质10。

例4：证明性质11。

例5：证明性质12。

例6：求适合于的整数。

例7：是否存在这样的自然数，满足关系式？

例8：把这个数的前面任意添上一个正号或负号，问它们的代数和是奇数还是偶数?

练习1：若为质数，且，则 ， 。

练习2：设是两个相邻的整数，，，求证是奇数。

练习3：若均为正整数，且，则

一定是奇数 一定是偶数

只有当均为偶数时，是偶数

只有当中一个为偶数时，另一个为奇数时，是偶数

练习4：已知三个数中有两个奇数，一个偶数，是整数，如果，那么

是偶数

是奇数

的奇偶性与的奇偶性相同

的奇偶性不能确定

练习5：设有个实数，其中每一个不是+1就是-1，且

。求证：是的倍数．

练习6：在中的每个数前添加正或负号，求使其代数和为最小的非负数。

练习7：证明：只用及的两种瓷砖不能恰好铺盖的正方形地面。

数的奇偶性