第2课时　异分母分式的加减

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1．学会确定几个分式的最简公分母并进行通分；(重点)

2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)

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一、情境导入

小学我们学习过异分母分数的加减法，如7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＝341c6f4dd53cf2ebe99e738ed2b48534.png＋806d79cd58d4d230d2b62b78458bbe8a.png＝dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.png，那么如何计算395d9b1e6abafe1b0c4bd09b8ba17a9a.png－f246082a056b0e57f07e1858f95e9909.png呢？

二、合作探究

探究点一：分式的通分

【类型一】 最简公分母

word/media/image3.gif 分式5c8ed740659b4d9910c61a580f6c5d2d.png与9413fd32e21d081dc31277e7e3946abc.png的最简公分母是________．

解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最简公分母为x(x＋3)(x－3)．

方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．

【类型二】 分母是单项式分式的通分

word/media/image3.gif 通分．

(1)f95196aeeeb6c06b67730eac7daff4c2.png，262b5831d4ab57c01f61e36759b41290.png；

(2)2bf6a42d1506a5209c15baf7265fac0b.png，5ddb114059ef63de615076d92a9913a2.png；

(3)71a518b85c1925ef29db30fcf33269a0.png，63524f4f2aad2fb7eb7b6c5d79ee1c59.png，d119efb447b8d8310d3cc3d4fc1df85a.png.

解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．

解：(1)最简公分母是2b2d，5a3854c45fb639c7a9327eaf58c89c7c.png＝92af8906f001504cef277f949be688e2.png，262b5831d4ab57c01f61e36759b41290.png＝b3d1e802da2cd11545679422123bdce9.png；

(2)最简公分母是6a2bc2，379ef32c3fa8b77c818fcb45455af606.png＝d51ee172602fdf53a56f306e06fb7a33.png，5ddb114059ef63de615076d92a9913a2.png＝31de83a7c584b36add6c020c86572505.png；

(3)最简公分母是10xy2z2，70277fe275d84890835c123312586af1.png＝925c0cfc68c0006efbb4ff9d2f80c615.png，63524f4f2aad2fb7eb7b6c5d79ee1c59.png＝131954d3e347e75e07c3fd8ea72b5d76.png，d119efb447b8d8310d3cc3d4fc1df85a.png＝－4a6ec6024dbf433350c592696712329a.png.

方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．

【类型三】 分母是多项式分式的通分

word/media/image3.gif 通分．

(1)376e845b74c5189ad0b92c6ce62cd032.png，9ecad5f357372eb437c587be65c4aeb5.png；

(2)cd0b5cd421c52a18158963c324c3696f.png，23a0891da2407d6cfc9a0952e7651d73.png.

解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．

解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，

376e845b74c5189ad0b92c6ce62cd032.png＝8eae0229d8d421591ed2c49f4a37e7c2.png，

9ecad5f357372eb437c587be65c4aeb5.png＝4b640405c9ab98f6cb93cbf56b39d490.png；

(2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，

cd0b5cd421c52a18158963c324c3696f.png＝64585cc9f973168b5dfd2f4280601ea3.png，23a0891da2407d6cfc9a0952e7651d73.png＝55c875cfdf4cae97f37e13679701a64f.png.

方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．

探究点二：异分母分式的加减法

【类型一】 异分母分式的加减法运算

计算：

(1)296689c5e738dab69a2a7096f2870b42.png－e0f8593f0074d390cc129bdbf0577ce4.png；

(2)c29a338825e901d0ef4ac2af5a16a6c8.png＋a＋2；

(3)ed9f47c7bd03c75faeb5e803b65d0c5e.png－e51339ae0c35939f212ea26c30750b9a.png＋b39467a47899e664f13b24d92bad93cb.png.

解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分．

解：(1)原式＝f4e2aeb9b85e8281e03fdfc5c3a4b599.png－fa42ec69a659b70660fa5b3aaff39682.png

＝e0f27bd64df577c49fe68374170b6092.png－3c9a695892ba243224f029fec7c75bb0.png

＝0da39c4d807994cadb9706949bbb1cd7.png＝0015fa3f0b17aa7cbfbd45c12a332910.png；

(2)原式＝f3482e06d47d6a98804c8a288b54470a.png＝b5d81a6467446d67a1ca7acc0794c6da.png＝2a；

(3)原式＝2aeb768f5c738842a34f6ac9171bd09c.png－0234d15856db266c558c26639de9cc58.png＋5683b98d6941616ce2f3a57deec11d19.png＝b1ddaff665a9b8b358b00625737232ab.png＝f88b2f9df80f85b544157ecab063f4bf.png.

方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．

【类型二】 分式的混合运算

word/media/image3.gif 计算：

(1)(143570e3cbd6425d277ba05fb5dc2ca6.png－a60e830fdb65bed097c1caf1d32c6b64.png)÷ad8f796264ce6a8de9644341f125056b.png；

(2)8d48f941f2f1b3d7d93c0b5612282397.png÷(b4e60c571ee9609c3c750370fc1d62d1.png－a－3)．

解：(1)原式＝[0bf5fa8e5f7ea92cbf991b8cc36b54d7.png－a60e830fdb65bed097c1caf1d32c6b64.png]÷ad8f796264ce6a8de9644341f125056b.png

＝(32a4ebec69d387eb4ceb30b3444b0236.png－a60e830fdb65bed097c1caf1d32c6b64.png)÷ad8f796264ce6a8de9644341f125056b.png＝3a626e6c19a50a00441a9eb689f18e47.png·5e0d410b2c13a9135e1c200b19b134ac.png＝－f246082a056b0e57f07e1858f95e9909.png；

(2)原式＝8d48f941f2f1b3d7d93c0b5612282397.png÷(b4e60c571ee9609c3c750370fc1d62d1.png－8880e28d769ecf4c8352b1b9b495834a.png)

＝6ff1c43081e8f124691cc9bf779a659e.png÷6018bb56f2bfd7816e3d28477c0fd0c2.png

＝6ff1c43081e8f124691cc9bf779a659e.png·9462207df4026a5effaf16ec2431eaf1.png

＝－0930066e80b5ffb39db939c8f00f17fd.png.

方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．

探究点三：分式运算的化简求值

【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值

word/media/image3.gif 先化简，再求值：(41a6c5a213940b4a98b9a1b66ac7cc08.png＋efd90b4dcae02e40e80f5870e875c807.png)÷f4544a9593a451423c5a476d636b6ef2.png，其中x＝1，y＝－2.

解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．

解：原式＝84f02d11764613ece4dc8cfc45257581.png·3345e11447530979f2b53d78d5537e9e.png＝2ca3a1821fe026af019d7cfe46e34571.png，

当x＝1，y＝－2时，原式＝aeceb6db84508b8693a99fb74998dee5.png＝－7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算．

【类型二】 先化简，再选择字母的值求分式的值

word/media/image3.gif 先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：58fe6af6c34f019b96b6718dc81cba8b.png·e9d3d234a19f3e592d448a0ac329d052.png－b0f666b576afb54075189398c70286d0.png.

解析：先把分式化简，再选数代入，x可取除－3、0和2以外的任何数．

解：原式＝6da9177c2dfc7197ddd550528189cbad.png·e61f0200cc44fc0224e8cd171f2edf1a.png－b0f666b576afb54075189398c70286d0.png

＝95f7d66a32593a26a05033dce3ebef0f.png－b0f666b576afb54075189398c70286d0.png

＝3512b9afdc9521382c134458b839b8a0.png

＝－b94ebb7591e5056f271e306e51125387.png.

当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)

方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．

【类型三】 整体代入求值

word/media/image3.gif 已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求9bdf6e293380725cca4d00dede0aab8a.png－77df6c2e5e3a87ef5003776e97471d34.png·afe54cd17fdf42220c10b4577d540160.png的值．

解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．

解：d8a024fe455c4ed907011ffcac954fb4.png－77df6c2e5e3a87ef5003776e97471d34.png·afe54cd17fdf42220c10b4577d540160.png＝d8a024fe455c4ed907011ffcac954fb4.png－25b09e671e9e83e09a84e1c513234530.png·e19637174ed9784f556ce6dab1168e3d.png＝d8a024fe455c4ed907011ffcac954fb4.png－67e63584e101a5504d868e4f795e74cb.png＝777dc39d24f2d9bc5a78e55b48a7fa9f.png＝da3ef702a953bafb379fa94352e20121.png.

∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝2b696cd39ba0bb4ac41d375ae3828eb4.png＝87bc5a1433797cd59faab34303b962f4.png.

方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．

探究点四：运用分式解决实际问题

word/media/image3.gif 有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？

解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．

解：设两次航行的路程都为s.

第一次所用时间为40ad94436e87ad39fbb07ce3eaf26a77.png＋a076d7bb49f2ea39256f526fc6e5474c.png＝6527657be21c3112d5390d6d9e6baa48.png，

第二次所用时间为399555fa7a70359b7d5fc27b74b72174.png＋7474ff78ee6a15450a043f571f86c3f8.png＝570297d526b5f41860ed05d10f8b7acf.png，

∵b＞a，∴b2＞a2，

∴v2－b2＜v2－a2，

∴570297d526b5f41860ed05d10f8b7acf.png＞6527657be21c3112d5390d6d9e6baa48.png.

∴第一次的时间要短些．

方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．

三、板书设计

1．分式的通分

2．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．

3．分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．

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对于异分母分式相加减，注意强调转化思想：通过通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．对于分式混合运算，关键是要注意各种运算的先后顺序，最后结果要化为最简分式．在教学中，注意培养学生认真细致的学习态度，从运算符号到通分、约分，都应认真对待，一丝不苟.

八年级下册数学教案5.3 第2课时 异分母分式的加减教案北师大版