高数下学期期末试题(含答案)3套

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高等数学期末考试试卷1
一、单项选择题（6×3分）
1、设直线(
，平面，那么与之间的夹角为
A.0B.C.D.
2、二元函数（）
在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的
A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件
3、设函数，则等于（）
A.B.
C．D.
4、二次积分交换次序后为（）
A.B.
C.D.
5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）
A.绝对收敛B.条件收敛C.发散C.不能确定其敛散性6、设是方程处（）
的一个解，若
，则
在

A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）
1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影
＝
2、设
，
，那么

3、D为，时，
4、设是球面，则＝
5、函数展开为的幂级数为
6、7、
＝
为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
三、计算题(4×7分
1、设2、求过曲线
，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求上一点（1，2，0）的切平面方程。
。
3、计算二重积分，其中
4、求曲线积分的弧段。
，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）
5、求级数的和。

四、综合题(10分
曲线上任一点的切线在程。
五、证明题(6分
轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方
设
收敛，证明级数绝对收敛。
一、单项选择题（6×3分）
1、A2、C3、C4、B5、A6、D二、填空题（7×3分）
1、22、5、
三、计算题(5×9分1、解：令
则
3、4、

6、07、
，故


2、解：令

则
所以切平面的法向量为：



切平面方程为：
3、解：＝＝＝
4、解：令，则

当则
，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择
由（0，1）到（2，1）
＝＝＝
5、解：令则
，

即
令，则有
＝
四、综合题(10分解：设曲线过
的切线方程为：
上任一点为
，则


在轴上的截距为
过的法线方程为：
在轴上的截距为


依题意有
由的任意性，即，得到

这是一阶齐次微分方程，变形为：
……………………..(1
令则，代入（1）
得：
分离变量得：
解得：
即为所求的曲线方程。五、证明题(6分


证明：
即

而与都收敛，由比较法及其性质知：
收敛
故
绝对收敛。

高等数学期末考试试卷2

一，单项选择题（6×4分）
1、直线一定(
A.过原点且垂直于x轴B.过原点且平行于x轴C.不过原点，但垂直于x轴D.不过原点，但平行于x轴
2、二元函数在点处
①连续②两个偏导数连续③可微④两个偏导数都存在那么下面关系正确的是（）A②③①B.③②①C.③
④
①D.③
①
④
3、设，则等于（）
A.0B.
C.D.
4、设，改变其积分次序，则I＝（A.B.
C.D.
5、若与都收敛，则（）
）

A.条件收敛B.绝对收敛C.发散C.不能确定其敛散性6、二元函数
的极大值点为（）
A.(1,0B.(1,2C.(-3,0D.(-3,2二、填空题（8×4分）
1、过点（1，3，－2）且与直线垂直的平面方程为
2、设，则＝
3、设D：，，则
4、设为球面，则＝
5、幂级数6、以
的和函数为
为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
7、若收敛，则＝
8、平面上的曲线绕轴旋转所得到的旋转面的方程为
三、计算题(4×7分
1、设可微，由确定，求及。
2、计算二重积分，其中。

3、求幂级数的收敛半径与收敛域。
4、求曲线积分
边界取顺时针方向。四、综合题(10分曲线上点标，求此曲线方程。五、证明题(6分
，其中是由所围成区域
的横坐标的平方是过点的切线与轴交点的纵坐
设正项级数收敛，证明级数也收敛。
一、单项选择题（6×4分）
1、A2、A3、C4、B5、B6、D二、填空题（8×4分）1、
2、
3、44、

5、6、7、18、
三、计算题(4×7分
1、解：令


2、解：＝＝

===
3、解：令对于，

当时＝发散
当时，＝也发散
所以在时收敛，在该区间以外发散，即
解得

故所求幂级数的收敛半径4、解：令
，
为2，收敛域为（0，4）
则
，由格林公式得到
＝＝
＝四、综合题(10分解：过
的切线方程为：
＝4


令X＝0，得
依题意有：即…………………………..(1

对应的齐次方程解为令所求解为将


代入（1）得：

故（1）的解为：五、证明题(6分

证明：由于收敛，所以也收敛，
而
由比较法及收敛的性质得：
收敛。


高等数学期末考试试卷3

一．选择题(4分6=24分
1、设a,b,c为非零向量，则(abc=[]．
(Aa(bc(B(bac(Cc(ab(Dc(ba.
2．函数zf(x,y在点(x0,y0可微分的充分条件是f(x,y在(x0,y0处[(B两个偏导数存在(A两个偏导数连续
导(C存在任何方向的方向导数(D函数连续且存在偏3．设D:x2y22x，f(x,y在D上连续．(A
]．
f(x,yd=[]．
D


0
d
2sin0
f(rcos,rsinrdr(B

20
d

2
2cos0
f(rcos,rsinrdr

(C

2

2
d
2cos0

f(rcos,rsinrdr(D

2
d
2sin0
f(rcos,rsinrdr
二、填空题(4分6=24分1．直线
x1y2z
与平面xy2z60的交点是____________．213
2．用钢板做体积为8m3的有盖长方体水箱．最少用料S=_____m2．
3．二次积分

10
dxe
x
1
y2
dy的值是_____________．
4．设为球面x2y2z2a2(a0，则
(xy

2
dS=__________________．
5．小山高度为z5x2y．在(
22
33
,1,处登山，最陡方向是_____________．24xyz
而与平面7x8y9z100的456
三、（10分）求过点(1,2,3垂直于直线
平行的直线方程．
四．（10分）将函数f(x五．（10分）计算三重积分所围成的空间闭区域
1
展开成(x1的幂级数．并给出收敛域。2
x4x3

2222(xyxdv其中是由抛物面xy2z及平面z5

2
六．（10分）设L是由直线x2y2上从A(2,0到B(0,1一段及圆弧x1y上
从B(0,1再到C(1,0的有向曲线，计算

L
(x22ydx(3xyeydy
七．（10分）计算曲面积分
x

3
dydzy3dzdxz3dxdy，其中为球面
x2y2z22az(a0
八．（10分）设uf(x2y2,z，f具有二阶连续偏导数，而zz(x,y由方程
2u
。xyze确定，求
xy
z

一．选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1、【解】应选择D。
c(ba=c(ab=(ab(c=(abc
2．【解】应选择A。
fx(x,y,fy(x,y在点P0(x0,y0连续zf(x,y在点P0(x0,y0处可微分
3。【解】应选择C。在极坐标下
D:

2


2
,0r2cos

2cos0

D
f(x,yd=
2

2
d
f(rcos,rsinrdr

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1．【解】应填(1,1,3
直线化为参数式
x12t

y2tz3t
代入平面方程(12t(2t2(3t60得t1
代入参数方程得x1,y1,z3
故交点为(1,1,3

2．【解】应填24m2
设水箱的长为xm宽为ym则其高应为8m此水箱所用材料的面积为
xy
S2(xyy
8888
x2(xy(x0,y0xyxyxy
令Sx2(y
880S2(x0得x2y2y22xy
8
2m时水箱所用的材料最省22
即当水箱的长为2m、宽为2m、高为
最少用料为S(2,22(22222224m2
11
3．【解】应填(1
2e

10
dxeydy=eydydx=yey
x
0
0
0
1
2
1
2
y1
2
2111
dy=ey=(1
e202
1
4．【解】应填a
8
3
4
(xy

2
dS=(x2y22xydS=2x2dS


=
22284222
a==(xyzdSadS333
5．【解】应填3i4j
在(
333
,1,处登山，最陡方向是z5x22y2在(,1的梯度方向．242
gradz(
3
,1(2xi4yj3=3i4j
(,122
1
2
6．【解】应填
由于x是f(x间断点，故s(
1
2
，而x

2
是f(x连续点，s(

2
2


于是s(s(

2
=
12
三．【解】已知直线方向向量s1(4,5,6，已知平面法向量n(7,8,9…………（4分）
设所求直线方向向量s，则
ijk
ss1n4563i6j3k……………………………………...（8分）
789
所求直线方程为
x1y2z3
……………………………………………………………（10分）121
四．【解】因为

f(x
1111
……………………（2分）2
x4x3(x1(x32(1x2(3x

11
………………………………（4分）
x1x14(18(1
24
nn
11n(x1n(x1(1………………（6分）(1nn4n08n024


(1n(
n0
12
n2

12
2n3
(x1n…………………………（8分）
收敛域满足
x-1
1且2x-1
1…………………………………………（9分）
4
（1，3）解出收敛域为：…………………………………………………………（10分）五【解】积分区域关于yoz面对称，xdv0

在柱面坐标下积分区域可表示为
r2
z5…………………………………（2分）020r102

(x

2
y2xdv
r

2
rdrddz…………………………………………（4分）



2
0
d
10
10
0
（6分）r3dr12dz……………………………………
2r
5
2
0
(5r3
15
rdr……………………………………（8分）2
10
5r4162r
1204

250
………………………（10分）3
六．【解】补充CA为x轴上由C(1,0到A(2,0有向直线段则L和CA围成闭区域D…………………………………………（2分）
Px22y,Q3xyey。
则由Green公式原式
QP
3(25。…………………………（4分）xy

LCA

CA
5dxdy
D
CA
………………………………………（6分）
5(

4

21
12x2dx……………………………………………….（8分）
12
5(

4
13
5
2………………………………………………..（10分）4
七【解】由Gauss公式原式
3(x

2
y2z2dv……………..…………………………………（2分）
33
r

2
r2sindrdd………………………………………………（4分）
20
2acos

2
0
dsind

0
r4dr………………………………………（6分）
(2a5
6
5

20
cos5sind……………………………………………（8分）
(2a51325
a………………………………………………（10分）6556
八【解】由方程xyze两边关于x求导得1
z
zz
ez……………………………………………………………（2分）xx

z1z1
类似地，有……………………………………………………（4分）zzx1ey1euz1f12xf2f12xf2…………………………………………（7分）zxx1e
2u11111z
2yf122x(f11ef(f2yf22122
xy1ez(1ez21ez1ez1ez

2(xy1ez
（10分）4xyf11f12f22f2…………………zz2z3
1e(1e(1e




高数下学期期末试题(含答案)3套

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