1、例2.2.4（word/media/image1_1.png）半径为word/media/image2_1.png的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为word/media/image3_1.png。试计算空间中各点的电场强度。

解：作一与导体柱面同轴、半径为word/media/image4_1.png、长为word/media/image5_1.png的闭合面word/media/image6_1.png，应用高斯定律计算电场强度的通量。当word/media/image7_1.png时，由于导体内无电荷，因此有word/media/image8_1.png，故有word/media/image9_1.png，导体内无电场。当word/media/image10_1.png时，由于电场只在word/media/image4_1.png方向有分量，电场在两个底面无通量，因此word/media/image11_1.png 则有：word/media/image12_1.png

例 2. 2. 6 圆柱坐标系中, 在 r = 2 m 与 r = 4 m之间 的 体 积 内 均 匀 分 布 有 电 荷, 其 电 荷 密 度 为ρ/C·m- 3。利用高斯定律求各区域中的电场强度。

解：当 0≤r≤2m 时, 有 即Er = 0

当 2 m≤r≤4 m 时, 有 因此

当 r≥4 m 时, 有

例 2. 3. 1 真空中, 电荷按体密度 ρ= ρ0 ( 1 -r2/a2) 分布在半径为 a 的球形区域内, 其中 ρ0为常数。试计算球内、外的电场强度和电位函数。

解 由于电荷分布具有球对称分布, 电场也应具有球对称分布, 因此, E_沿半径方向, 且只

是 r 的函数。作一半径为 r 的同心球面 S, 应用高斯定律的积分形式可得。当 r > a 时

而 Q 为球面 S 包围的总电荷, 即球形区域内的总电荷。因此

当 r < a 时

取无穷远的电位为零, 得球外的电位分布为

球面上( r = a ) 的电位为 当 r < a 时

由于 Q = ( 8 /15 ) πρ0 a3, 在球外, 电场和电位还可以写成

由此可见, 具有球对称分布的电荷, 在球外的电场和电位与点电荷的电场和电位具有相同的分布。

例 2. 5. 1 在 图 2. 5. 3 中 的 电 介 质 分 界 面 附 近,E_1 = a_x2 - a_y3 + a_z5V/m, 分界面上没有自由电荷分布, 求D_2 、角 θ1 和 θ2 。

解：根据不同介质分界面上的边界条件: 切向电场分量连续, 法向电位移矢量连续。可得

电场与分界面平面的夹角可用下面关系求得

6、例2.7.1（word/media/image28_1.png）半径为word/media/image29_1.png的导体球上带电量为word/media/image30_1.png，试计算空间中的电场分布、电位分布和静电能量。

解：当word/media/image31_1.png时，对于导体球，球内无电场，球面为等位面。

当word/media/image32_1.png时，利用高斯定律，电场强度为

word/media/image33_1.png

电位分布为

word/media/image34_1.png

球面上的电位为

word/media/image35_1.png

此导电球储存的静电能为

word/media/image36_1.png

而空间任一点的能量密度为

word/media/image37_1.png

静电场储存的静电能为

word/media/image38_1.png

例 4. 2. 1 计算图 4. 2. 9( a) 所示真空中半径为 R 的长直圆柱形载流铜导线的磁场

解：由真空中安培环路定律, 在 r < R 处, 有

得

若将导体中的电流表示为电流密度 J_= a_zIπR2, 则磁感应强度可表示为

在 r > R 处, 有

得

例 4. 2. 2 在无限长柱形 区域 1m < r < 3m 中, 沿纵 向流动的电流, 其电流密度为 J_=a_z5e- 2 r, 其他地方电流密度 J_= 0。求各区域中的磁感应强度。

解 在圆柱坐标系中, 若将圆柱的轴线与 z 轴重合, 则电流关于 z 轴对称, 且在 a_φ 方向。若选圆形路径作为积分回路, 利用安培环路定律, 有

其中 I 为回路 C 围成的面积上穿过的电流强度。当 r < 1 m 时, I = 0 , 则 B_= 0

例 4. 5. 1 同轴线的内导体半径为 a , 外导体的半径为 b, 外导体的厚度忽略不计。并设

导体的磁导率是 μ0, 内、外导体间充满磁导率为 μ的均匀磁介质, 如图 4 . 5. 3 所示。内、外导体分别通以大小都等于 I 但方向相反的电流, 求各处的 H_和 B_

解

例 4. 5. 2 无限长铁质圆管中通过电流 I, 管的内、外半径分别为 a 和 b。已知铁的磁导率

为 μ, 求管壁中和管内、外空气中的 B_, 并计算铁中的磁化强度 M_和磁化电流分布。

例 4. 6. 1 如图 4. 6. 3 所示, 铁心磁环的内半径为 a , 轴线半径 r0, 环的横截面为矩形, 且尺寸为 d× h。已知 a m h 和铁心的磁导率 μm μ0 , 磁环上绕有 N 匝线圈, 通以电流为 I。试计算环中的 B_，H_和 Φ。

解：在忽略环外漏磁的条件下, 环内 H_的环积分为

铁心环内的磁通为

麦克斯韦认为: 时变电磁场中的磁场是由

传导电流和位移电流分别独立激励的磁场的矢量和, 而且都是旋涡场。时变电磁场中的电场则是由电荷激励的发散电场与时变磁场激励的旋涡电场的矢量和。于是他将时变电磁场的场源关系总结为

其积分形式包括如下的四个方程

1、例5.5.1（P144）在两导体平板（word/media/image54_1.png）限定的空气中传播的电磁波，已知波的电场分量为word/media/image55_1.png式中，word/media/image56_1.png为常数。1试求波的磁场分量；（2）验证波的各场分量满足边界条件；（3）求两导体表面上的面电荷和面电流密度。

2由导体与空气的边界条件可知，在word/media/image59_1.png和word/media/image60_1.png的导体表面上应该有电场强度的切向分量word/media/image61_1.png和磁感应强度的法向分量word/media/image62_1.png。而当word/media/image59_1.png和word/media/image60_1.png时，word/media/image63_1.png和word/media/image64_1.png，可见电磁波的场分量自然满足边界条件。

5.22 在word/media/image67_1.png和word/media/image68_1.png的均匀区域中，有

word/media/image69_1.png

如果波长为word/media/image70_1.png，求word/media/image71_1.png和word/media/image72_1.png。

解：由由麦克斯韦方程word/media/image73_1.png可得

word/media/image74_1.png

即 word/media/image75_1.png（自己求哈）

word/media/image76_1.png（自己求哈）

例题6.2.1 频率为100MHz的正弦均匀平面电磁波在各向同性的均匀理想介质中沿word/media/image77_1.png方向传播，介质的特性参数为word/media/image78_1.png，word/media/image79_1.png。设电场只有word/media/image80_1.png方向的分量，即word/media/image81_1.png；当word/media/image82_1.png时，电场等于其振幅word/media/image83_1.png，试求：

（1）该正弦电磁波的word/media/image84_1.png和word/media/image85_1.png；

（2）该正弦电磁波的传播速度；

（3）该正弦电磁波的平均坡印廷矢量。

解：各向同性的均匀理想介质中沿word/media/image77_1.png方向传播的正弦均匀平面电磁波可由标准的余弦函数来表示，即

word/media/image86_1.png

而波的电场分量是沿word/media/image87_1.png方向的，因此，波的电场分量可写成

word/media/image88_1.png式中word/media/image89_1.png。

而

word/media/image90_1.png

再由word/media/image82_1.png时，word/media/image91_1.png得

word/media/image92_1.png

故

word/media/image93_1.png

则

（1）word/media/image94_1.png

word/media/image95_1.png

（2）波的传播速度为

word/media/image96_1.png

（3）波的电场和磁场分量的复矢量可写成

word/media/image97_1.png，word/media/image98_1.png

故波的平均坡印廷矢量为

word/media/image99_1.png

1、什么是均匀平面电磁波？

答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场word/media/image100_1.png和磁场word/media/image101_1.png只沿波的传播方向变化，而在波阵面内word/media/image102_1.png和word/media/image101_1.png的方向、振幅和相位不变的平面波。

2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。

答：（1）直线极化，同相位或相差word/media/image103_1.png；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差word/media/image104_1.png或word/media/image105_1.png；（3）椭圆极化，振幅相位任意。

3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。

答：word/media/image106_1.png，式中word/media/image107_1.png称为正弦电磁波的波数。

意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。

4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的限定微分形式，并简述其意义。

答：word/media/image108_1.png

物理意义：A、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。

B、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。

C、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。

D、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。

5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。

答：（1）微分形式

word/media/image109_1.png

（2） 积分形式

word/media/image110_1.png

6写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。

答：word/media/image111_1.png，word/media/image112_1.png

物理意义：word/media/image113_1.png激励word/media/image114_1.png，源word/media/image115_1.png激励word/media/image116_1.png，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。

6、写出齐次波动方程，简述其意义。

答：word/media/image117_1.png，word/media/image118_1.png

物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为：word/media/image119_1.png

7、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。

答：（1）数学表达式：word/media/image120.gif积分形式：word/media/image121_1.png，其中，word/media/image122_1.png，称为坡印廷矢量。

由于word/media/image123_1.png为体积word/media/image124_1.png内的总电场储能，word/media/image125_1.png为体积word/media/image126_1.png内的总磁场储能，word/media/image127_1.png 为体积word/media/image124_1.png内的总焦耳损耗功率。于是上式可以改写成：word/media/image128_1.png，式中的word/media/image129_1.png为限定体积word/media/image124_1.png的闭合面。

word/media/image130.gif微分形式：word/media/image131_1.png，其中，word/media/image122_1.png ，称为坡印廷矢量，电场能量密度为：word/media/image132_1.png，

磁场能量密度：word/media/image133_1.png。

（2）物理意义：对空间任意闭合面word/media/image134_1.png限定的体积word/media/image135_1.png，word/media/image136_1.png矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率。它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。

8、写出麦克斯韦方程组的复数形式。

答：word/media/image137_1.png

9、写出达朗贝尔方程组的复数形式。

答：word/media/image138_1.png，word/media/image139_1.png

10、写出复数形式的的坡印廷定理。

答：word/media/image140_1.png

其中word/media/image141_1.png为磁场能量密度的平均值，word/media/image142_1.png为电场能量密度的平均值。这里场量word/media/image143_1.png分别为正弦电场和磁场的幅值。

正弦电磁场的坡印廷定理说明：流进闭合面word/media/image144_1.png内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损耗；而流进（或流出）的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度。

坡印廷矢量word/media/image145_1.png为穿过单位表面的复功率，实部word/media/image146_1.png为穿过单位表面的平均功率，虚部word/media/image147_1.png为穿过单位表面的无功功率。

11、工程上，通常按word/media/image148_1.png的大小将媒质划分为哪几类？

答：当word/media/image149_1.png时，媒质被称为理想导体；

当word/media/image150_1.png时，媒质被称为良导体；

当word/media/image151_1.png时，媒质被称为半导电介质；

当word/media/image152_1.png时，媒质被称为低损耗介质；

当word/media/image153_1.png时，媒质被称为理想介质。

12、简述均匀平面电磁波在理想介质中的传播特性。

答：（1）电场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系，电场与磁场处处同相，在传播过程中，波的振幅不变，电场与磁场的振幅之比取决于媒质特性，空间中电场能量密度等于磁场能量密度。

（2）相速度为：word/media/image119_1.png，频率word/media/image154_1.png，

波长：word/media/image155_1.png

电场与磁场的振幅比，即本征阻抗：word/media/image156_1.png，电场能量密度：word/media/image157_1.png，磁场能量密度：word/media/image158_1.png

二者满足关系：word/media/image159_1.png

14、试写出麦克斯韦位移电流假说的定义式，并简述其物理意义。

答：按照麦克斯韦提出的位移电流假说，电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流密度，称为位移电流密度，即word/media/image160_1.png。物理意义：位移电流一样可以激励磁场，即变化的电场可以激励磁场。

15、简述什么是色散现象？什么是趋肤效应？

答：在导电媒质中波的传播速度随频率变化，这种现象称为色散现象。导电媒质中电磁波只存在于表面，这种现象称为趋肤效应，工程上常用穿透深度word/media/image161_1.png（m）表示趋肤程度，

16.相速度和群速度有什么区别和联系？

答：区别：相速度是波阵面移动的速度，它不代表电磁波能量的传播速度，也不代表信号的传播速度。而群速度才是电磁波信号和电磁波能量的传播速度。

联系：在色散媒质中，二者关系为：word/media/image162_1.png，其中，word/media/image163_1.png为相速度，word/media/image164_1.png为群速度。在非色散媒质中，相速度不随频率变化，群速度等于相速度。

17、写出真空中安培环路定律的数学表达式，说明它揭示的物理意义。

答：word/media/image165_1.png，它表明在真空中，磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以与该回路相交链的电流的代数和。

18、写出电荷守恒定律的数学表达式，说明它揭示的物理意义。

512db668309c91f73fc595b1c461d34a.png

答：电荷守恒定律表明任一封闭系统的电荷总量不变。也就是说，任意一个体积内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷量。

19、简述分界面上的边界条件

答：（1）法向分量的边界条件

A、word/media/image167_1.png的边界条件word/media/image168_1.png，若分界面上word/media/image169_1.png，则word/media/image170_1.png

B、word/media/image171_1.png的边界条件word/media/image172_1.png

（2）切向分量的边界条件

A、word/media/image173_1.png的边界条件word/media/image174_1.png

B、word/media/image175_1.png的边界条件word/media/image176_1.png，若分界面上word/media/image177_1.png，则word/media/image178_1.png

（3）理想导体（word/media/image179_1.png）表面的边界条件

word/media/image180_1.png，

式中word/media/image181_1.png是导体表面法线方向的单位矢量。上述边界条件说明：在理想导体与空气的分界面上，如果导体表面上分布有电荷，则在导体表面上有电场的法向分量，则由上式中的word/media/image182.gif式决定，导体表面上电场的切向分量总为零；导体表面上磁场的法向分量总为零，如果导体表面上分布有电流，则在导体表面上有磁场的切向分量，则由上式中的（1）决定。

。

电磁场与电波姚毅版考试例题及习题精简版