空间向量与立体几何典型例题

一、选择题:

1.(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于( C )

A. B. C. D.

1、解:C.由题意知三棱锥为正四面体,设棱长为,则,棱柱的高(即点到底面的距离),故与底面所成角的正弦值为、

另解:设为空间向量的一组基底,的两两间的夹角为

长度均为,平面的法向量为,

则与底面所成角的正弦值为、

二、填空题:

1.(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形与正方形有一公共边,二面角的余弦值为,分别就是的中点,则所成角的余弦值等于 .

1、答案:、设,作

,则,为二面角的平面角

,结合等边三角形

与正方形可知此四棱锥为正四棱锥,则

,

故所成角的余弦值

另解:以为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,

则点,

,

则,

故所成角的余弦值、

三、解答题:

1.(2008安徽文)如图,在四棱锥中,底面四边长为1的 菱形,, , ,为的中点。

(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;

(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。

1.方法一(综合法)

(1)

为异面直线与所成的角(或其补角)

作连接

,

所以 与所成角的大小为

(２)点A与点B到平面OCD的距离相等,

连接OP,过点A作 于点Q,

又 ,

线段AQ的长就就是点A到平面OCD的距离

,

,所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)设与所成的角为,

,

与所成角的大小为

(2)

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

, 、

所以点B到平面OCD的距离为

2.(2008安徽理)如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,, , ,为的中点,为的中点。

(Ⅰ)证明:直线;

(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;

(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。

2. 方法一(综合法)

(1)取OB中点E,连接ME,NE

又

(2)

为异面直线与所成的角(或其补角)

作连接

,

所以 与所成角的大小为

(3)点A与点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作

于点Q,

又 ,线段AQ的长就就是点A到平面OCD的距离

,

,所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

(2)设与所成的角为,

, 与所成角的大小为

(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,

由 , 得、所以点B到平面OCD的距离为

3.(2008北京文)如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC、

(Ⅰ)求证:PC⊥AB;

(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小、

3.解法一:(Ⅰ)取AB中点D,连结PD,CD、

∵AP=BP,

∴PD⊥AB、

∵AC=BC、

∴CD⊥AB、

∵PD∩CD＝D、

∴AB⊥平面PCD、

∵PC平面PCD,

∴PC⊥AB、

(Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC、

又PC⊥AC,

∴PC⊥BC、

又∠ACB＝90°,即AC⊥BC,

且AC∩PC=C,

∴AB＝BP,

∴BE⊥AP、

∵EC就是BE在平面PAC内的射影,

∴CE⊥AP、

∴∠BEC就是二面角B-AP-C的平面角、

在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=,

∴sin∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为aresin

解法二:

(Ⅰ)∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC、

又PC⊥AC、

∴PC⊥BC、

∵AC∩BC=C,

∴PC⊥平面ABC、

∵AB平面ABC,

∴PC⊥AB、

(Ⅱ)如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz、

则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0)、

设P(0,0,t),

∵｜PB｜=｜AB｜＝2,

∴t=2,P(0,0,2)、

取AP中点E,连结BE,CE、

∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,

∴CE⊥AP,BE⊥AP、

∴∠BEC就是二面角B-AP-C的平面角、

∵E(0,1,1),

∴cos∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为arccos

4.(2008北京理)如图,在三棱锥中,,,,.

(Ⅰ)求证:;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)求点到平面的距离.

4.解法一:

(Ⅰ)取中点,连结.

,

.

,

.

,

平面.

平面,

.

(Ⅱ),,

.

又,

.

又,即,且,

平面.

取中点.连结.

,.

就是在平面内的射影,

.

就是二面角的平面角.

在中,,,,

.

二面角的大小为.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,

平面平面.

过作,垂足为.

平面平面,

平面.

的长即为点到平面的距离.

由(Ⅰ)知,又,且,

平面.

平面,

.

在中,,,

. .

点到平面的距离为.

解法二:

(Ⅰ),,

.

又,

.

,

平面.

平面,

.

(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.

则.

设.

,

,.

取中点,连结.

,,

,.

就是二面角的平面角.

,,,

.

二面角的大小为.

(Ⅲ),

在平面内的射影为正的中心,且的长为点到平面的距离.

如(Ⅱ)建立空间直角坐标系.

,

点的坐标为. .

点到平面的距离为.

5. (2008福建文) 如图,在四棱锥中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。(1)求证:PO⊥平面ABCD;

(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;(3)求点A到平面PCD的距离

5、解:如图,A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)

所以

所以异面直线所成的角的余弦值为:

(2)设平面PCD的法向量为,

,所以 ;

令x=1,则y=z=1,所以 又

则,点A到平面PCD的距离为:

6.(2008福建理) 如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD＝,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点、

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小;

(Ⅲ)线段AD上就是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为？若存在,求出　的值;若不存在,请说明理由、

6.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力与运算能力、满分12分、

　　　解法一:

　　(Ⅰ)证明:在△PAD中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD,

所以PO⊥平面ABCD、

(Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中、BC∥AD,AD=2AB=2BC,

有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD就是平行四边形,

所以OB∥DC、

由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO为锐角,

所以∠PBO就是异面直线PB与CD所成的角、

因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,

所以OB＝,

在Rt△POA中,因为AP＝,AO＝1,所以OP＝1,

在Rt△PBO中,tan∠PBO＝

所以异面直线PB与CD所成的角就是、

(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为、

　　　设QD＝x,则,由(Ⅱ)得CD=OB=,

　　　在Rt△POC中,

所以PC=CD=DP,

由Vp-DQC=VQ-PCD,得2,所以存在点Q满足题意,此时、

解法二:

(Ⅰ)同解法一、

(Ⅱ)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,依题意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),

P(0,0,1),

所以

所以异面直线PB与CD所成的角就是arccos,

(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为,

由(Ⅱ)知

设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0)、

则所以即,

取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1)、

设由,得解y=-或y=(舍去),

此时,所以存在点Q满足题意,此时、

7、(2008海南、宁夏理)如图,已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°。

(1)求DP与CC1所成角的大小;(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

7.解:如图,以为原点,为单位长建立空间直角坐标系.

则,.

连结,.

在平面中,延长交于.

设,

由已知,

由

可得.

解得,所以.

(Ⅰ)因为=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}×0+\frac{\sqrt{2}}{2}×0+1×1}{1×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}' altImg='59488dd024865166e40a266526546c2e.png' w='382' h='86' class='_5'>,

所以=45^{∘}' altImg='88714534693da3df8644eefaaa38b046.png' w='152' h='37' class='_5'>.

即与所成的角为.

(Ⅱ)平面的一个法向量就是.

因为,

所以.

可得与平面所成的角为.

8、 (2008湖北文)如图,在直三棱柱中,平面侧面

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若,直线AC与平面所成的角为,

二面角

8、本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识,考查空间想象能力与推理论证能力、(满分12分)

(Ⅰ)证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D,则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B,

得AD⊥平面

A1BC、又BC平面A1BC

所以AD⊥BC、

因为三棱柱ABC－A1B1C1就是直三棱柱,

则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC、

又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,

又AB侧面A1ABB1,

故AB⊥BC、

(Ⅱ)证法1:连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就就是直线AC与平面A1BC所成的角,∠ABA1就就是二面角A1－BC－A的颊角,即∠ACD＝θ,∠ABA1= 、

于就是在RtΔADC中,sinθ=,在RtΔADA1中,sin∠AA1D＝,

∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都就是锐角,所以θ＝∠AA1D、

又由RtΔA1AB知,∠AA1D＋ ＝∠AA1B＋ ＝,故θ＋ ＝、

证法2:由(Ⅰ)知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系、

设AB=c(c＜a＝,则B(0,0,0),A(0,c,0),C(),

A1(0,c,a),于就是,＝(0,c,a),

c,a

设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n＝(0,－a,c),于就是

n·=ac＞0,与n的夹角 为锐角,则 与 互为余角

sin =cos =,

cos =

所以sin =cos =sin(),又0＜ , ＜,所以 + =、

9、 (2008湖北理)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥侧面A1ABB1、

(Ⅰ)求证:AB⊥BC;

(Ⅱ)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系,并予以证明、

9、本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角与线面关系等有关知识,同时考查空间想象能力与推理能力、(满分12分)

(Ⅰ)证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作

AD⊥A1B于D,则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得

AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC,

所以AD⊥BC、

因为三棱柱ABC—A1B1C1就是直三棱柱,

则AA1⊥底面ABC,

所以AA1⊥BC、

又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,

又AB侧面A1ABB1,故AB⊥BC、

(Ⅱ)解法1:连接CD,则由(Ⅰ)知就是直线AC与平面A1BC所成的角,

就是二面角A1—BC—A的平面角,即

于就是在Rt△ADC中,在Rt△ADB中,

由AB＜AC,得又所以

解法2:由(Ⅰ)知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=a,AC=b,

AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于就是

设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则

由得

可取n=(0,-a,c),于就是与n的夹角为锐角,则与互为余角、

所以

于就是由c＜b,得

即又所以

10、 (2008湖南理)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD就是边长为1的菱形,∠BCD＝60°,

E就是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA＝2、

(Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB;

(Ⅱ)求平面PAD与平面PBE所成二面角(锐角)的大小、

10.解: 解法一

(Ⅰ)如图所示,连结BD,由ABCD就是菱形且∠BCD=60°知,

△BCD就是等边三角形、因为E就是CD的中点,所以BE⊥CD,又AB∥CD,

所以BE⊥AB、又因为PA⊥平面ABCD,平面ABCD,所以

PA⊥BE、而AB=A,因此BE⊥平面PAB、

又平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB、

(Ⅱ)延长AD、BE相交于点F,连结PF、

过点A作AH⊥PB于H,由(Ⅰ)知

平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE、

在Rt△ABF中,因为∠BAF＝60°,

所以,AF=2AB=2=AP、

在等腰Rt△PAF中,取PF的中点G,连接AG、

则AG⊥PF、连结HG,由三垂线定理的逆定理得,

PF⊥HG、所以∠AGH就是平面PAD与平面PBE所成二面角的平面角(锐角)、

在等腰Rt△PAF中,

在Rt△PAB中,

所以,在Rt△AHG中,

故平面PAD与平面PBE所成二面角(锐角)的大小就是

解法二: 如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系、则相关

各点的坐标分别就是A(0,0,0),B(1,0,0),

P(0,0,2),

(Ⅰ)因为,

平面PAB的一个法向量就是,

所以共线、从而BE⊥平面PAB、

又因为平面PBE,

故平面PBE⊥平面PAB、

(Ⅱ)易知

设就是平面PBE的一个法向量,则由得

所以

设就是平面PAD的一个法向量,则由得

所以故可取

于就是,

故平面PAD与平面PBE所成二面角(锐角)的大小就是

11.(2008湖南文) 如图所示,四棱锥的底面就是边长为1的菱形,,

E就是CD的中点,PA底面ABCD,。

(I)证明:平面PBE平面PAB;

(II)求二面角A—BE—P与的大小。

11.解:解法一

(I)如图所示, 连结由就是菱形且知,

就是等边三角形、 因为E就是CD的中点,

所以又所以

又因为PA平面ABCD,平面ABCD,

所以而因此 平面PAB、

又平面PBE,所以平面PBE平面PAB、

(II)由(I)知,平面PAB, 平面PAB,

所以

又所以就是二面角的平面角.

在中,

.

故二面角的大小为

解法二:如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别就是

(I)因为平面PAB的一个法向量就是所以与共线、

从而平面PAB、 又因为平面PBE,所以平面PBE平面PAB、

(II)易知设就是平面PBE的一个法向量,

则由得

所以

故可取而平面ABE的

一个法向量就是

于就是,.

故二面角的大小为

12.(2008江苏)记动点P就是棱长为1的正方体的对角线上一点,记.当为钝角时,求的取值范围.

12.解:由题设可知,以、、为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则有,,,

由,得,所以

显然不就是平角,所以为钝角等价于

,

则等价于

即 ,得

因此,的取值范围就是

13.(2008江西文、理) 如图,正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直,且长度均为2.、分别就是、的中点,就是的中点,过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、,已知.

(1)求证:⊥面;

(2)求二面角的大小.

13.解 :(1)证明:依题设,就是的中位线,

所以∥,

则∥平面,所以∥。

又就是的中点,所以⊥,

则⊥。

因为⊥,⊥,

所以⊥面,则⊥,

因此⊥面。

(2)作⊥于,连。

因为⊥平面,

根据三垂线定理知,⊥,

就就是二面角的平面角。

作⊥于,则∥,则就是的中点,则。

设,由得,,解得,

在中,,则,。

所以,故二面角为。

解法二:(1)以直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则

所以

所以

所以平面

由∥得∥,故:平面

(2)由已知设

则

由与共线得:存在有得

同理:

设就是平面的一个法向量,

则 令得

又就是平面的一个法量

所以二面角的大小为

14.(2008辽宁文)如图,在棱长为1的正方体中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF∥,截面PQGH∥.

(Ⅰ)证明:平面PQEF与平面PQGH互相垂直;

(Ⅱ)证明:截面PQEF与截面PQGH面积之与就是定值,

并求出这个值;

(Ⅲ)若,求与平面PQEF所成角的正弦值.

14.本小题主要考查空间中的线面关系与面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与逻辑思维能力.满分12分.

解法一:

(Ⅰ)证明:在正方体中,,,

又由已知可得

,,,

所以,,

所以平面.

所以平面与平面互相垂直. 4分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

,又截面PQEF与截面PQGH都就是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF与截面PQGH面积之与就是

,就是定值. 8分

(Ⅲ)解:设交于点,连结,

因为平面,

所以为与平面所成的角.

因为,所以分别为,,,的中点.

可知,.

所以. 12分

解法二:

以D为原点,射线DA,DC,DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz.由已知得,故

,,,,

,,,

,,.

(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得

,

,

.

因为,所以就是平面PQEF的法向量.

因为,所以就是平面PQGH的法向量.

因为,所以,

所以平面PQEF与平面PQGH互相垂直. 4分

(Ⅱ)证明:因为,所以,又,所以PQEF为矩形,同理PQGH为矩形.

在所建立的坐标系中可求得,,

所以,又,

所以截面PQEF与截面PQGH面积之与为,就是定值. 8分

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知就是平面的法向量.

由为中点可知,分别为,,的中点.

所以,,因此与平面所成角的正弦值等于

|=\frac{\sqrt{2}}{2}' altImg='3014b29757e1922fc98e13261e496eb0.png' w='202' h='52' class='_10'>. 12分

15.(2008辽宁理)如图,在棱长为1的正方体中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF∥,截面PQGH∥.

(Ⅰ)证明:平面PQEF与平面PQGH互相垂直;

(Ⅱ)证明:截面PQEF与截面PQGH面积之与就是定值,并求出这个值;

(Ⅲ)若与平面PQEF所成的角为,求与平

面PQGH所成角的正弦值.

15.本小题主要考查空间中的线面关系,面面关系,解三角形等基础知识,

考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分.

解法一:

(Ⅰ)证明:在正方体中,,,又由已知可得

,,,

所以,,

所以平面.

所以平面与平面互相垂直. 4分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

,又截面PQEF与截面PQGH都就是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF与截面PQGH面积之与就是

,就是定值. 8分

(III)解:连结BC′交EQ于点M.

因为,,

所以平面与平面PQGH互相平行,因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等.

与(Ⅰ)同理可证EQ⊥平面PQGH,可知EM⊥平面,因此EM与的比值就就是所求的正弦值.

设交PF于点N,连结EN,由知

.

因为⊥平面PQEF,又已知与平面PQEF成角,

所以,即,

解得,可知E为BC中点.

所以EM=,又,

故与平面PQCH所成角的正弦值为. 12分

解法二:

以D为原点,射线DA,DC,DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz由已知得,故

,,,,

,,,

,,.

(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得

,

,

.

因为,所以就是平面PQEF的法向量.

因为,所以就是平面PQGH的法向量.

因为,所以,

所以平面PQEF与平面PQGH互相垂直. 4分

(Ⅱ)证明:因为,所以,又,所以PQEF为矩形,同理PQGH为矩形.

在所建立的坐标系中可求得,,

所以,又,

所以截面PQEF与截面PQGH面积之与为,就是定值. 8分

(Ⅲ)解:由已知得与成角,又可得

,

即,解得.

所以,又,所以与平面PQGH所成角的正弦值为

|=\begin{vmatrix}\frac{−\frac{1}{2}+1}{\frac{3}{2}×\sqrt{2}}\end{vmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{6}' altImg='374b74b5ba52a8d2af4ea20465ca5505.png' w='340' h='91' class='_11'>. 12分

16.(2008全国Ⅱ卷文、理) 如图,正四棱柱中,,点在上且.

(Ⅰ)证明:平面;

(Ⅱ)求二面角的大小.

16.解法一:

依题设,,.

(Ⅰ)连结交于点,则.

由三垂线定理知,. 3分

在平面内,连结交于点,

由于,

故,,

与互余.

于就是.

与平面内两条相交直线都垂直,

所以平面. 6分

(Ⅱ)作,垂足为,连结.由三垂线定理知,

故就是二面角的平面角. 8分

,

,.

,.

又,.

.

所以二面角的大小为.-----------12分

解法二:

以为坐标原点,射线为轴的正半轴,

建立如图所示直角坐标系.

依题设,.

,.----3分

(Ⅰ)因为,,

故,.

又,

所以平面. 6分

(Ⅱ)设向量就是平面的法向量,则

,.

故,.

令,则,,. 9分

等于二面角的平面角,

.

所以二面角的大小为. 12分

17.(2008全国Ⅰ卷文)(四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.

(Ⅰ)证明:;

(Ⅱ)设侧面为等边三角形,求二面角的大小.

17.解:(1)取中点,连接交于点,

,

,

又面面,

面,

.

,

,

,即,

面,

.

(2)在面内过点做的垂线,垂足为.

,,

面,

,

则即为所求二面角.

,,

,

,

则,

.

18.(2008全国Ⅰ卷理) 四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.

(Ⅰ)证明:;

(Ⅱ)设与平面所成的角为,求二面角的大小.

18.解:(1)取中点,连接交于点,

,,

又面面,面,

.

,

,,即,

面,.

(2)在面内过点作的垂线,垂足为.

,,面,,

则即为所求二面角的平面角.

,,,

,则,

,即二面角的大小.

19. (2008山东理)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,,E,F分别就是BC, PC的中点、

(Ⅰ)证明:AE⊥PD;

(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的

正切值为,求二面角E—AF—C的余弦值。

19.(Ⅰ)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形、

因为 E为BC的中点,所以AE⊥BC、

又 BC∥AD,因此AE⊥AD、

因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE、

而 PA平面PAD,AD平面PAD 且PA∩AD=A,

所以 AE⊥平面PAD,又PD平面PAD、

所以 AE⊥PD、

(Ⅱ)解:设AB=2,H为PD上任意一点,连接AH,EH、

由(Ⅰ)知 AE⊥平面PAD,

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角、

在Rt△EAH中,AE=,

所以 当AH最短时,∠EHA最大,