2019届云南师大附中高三上学期月考（一）数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，Z为整数集，则　　

A． B． C． D．0，

【答案】A

【解析】根据交集定义即可求解.

【详解】

集合，Z为整数集

所以

故选A

【点睛】

本题考查了集合交集的运算,属于基础题.

2．若复数z满足，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据复数乘法运算,即可求得z．

【详解】

由

得

故选A

【点睛】

本题考查了复数的基本运算，属于基础题．

3．已知O为原点，，，，若点P在y轴上，则实数　　

A．0 B．1 C． D．

【答案】B

【解析】根据向量坐标运算，用m表示出P点坐标，根据点P在y轴上即可求得m的值．

【详解】

点P在y轴上

故选B

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．

4．若随机变量，且，则　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据X服从正态分布N（3，1）, 正态分布密度曲线的对称轴为x＝3，由图象的对称性可得结果

【详解】

由，可知该正态分布密度曲线的对称轴为，所以，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

5．我国明代程大位的算法统宗是一本流传很广的著作，书中许多题目都用诗歌体叙述，读起来朗朗上口，下面这个问题便是其中有名的一个；“九百九十九文钱，甜果苦果买一千四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟延”则所买甜果的个数为　　

A．343 B．345 C．567 D．657

【答案】D

【解析】根据题意，列出方程组，解方程即可求得最后的解。

【详解】

设甜果、苦果的个数分别是x和y

则

解得

故选：D

【点睛】

本题考查了方程在解决实际问题中的应用，属于基础题。

6．如图所示，网格纸的小方格都是边长为1的正方形，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据三视图，画出原空间几何体，根据数量关系即可求得该几何体的体积。

【详解】

由三视图可知原几何体如图：

该几何体是一个底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥而得

侧面底面ABCD，底面边长为4，锥体的高为4

四棱锥的体积为，半圆锥的体积为

该几何体的体积为

故选：C

【点睛】

本题考查了立体几何中三视图的应用，还原空间结构体是解决此类问题的关键，属于基础题。

7．已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据等差数列的前n项和公式，代入得与的方程组，解方程组即可得公差d。

【详解】

，

，

联立解得：

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列前n项和的基本量计算，属于基础题。

8．执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的　　

A．1 B．3 C．5 D．9

【答案】D

【解析】根据循环结构，依次代入求解，即可求得输出S的值．

【详解】

由程序框图知，第一次循环：，，，；

第二次循环：，，，；

第三次循环：，，，；

第四次循环：，，，，结束循环.

故选D．

【点睛】

本题考查了程序框图的简单应用，根据循环结构计算输出值，属于基础题．

9．已知函数满足，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】x＝2是函数f（x）（a∈R）的对称轴，y是偶函数，图象关于y轴对轴，从而y向右平移两个单位，得到f（x），进而f（x），由此能求出f（0）．

【详解】

函数满足，

是函数的对称轴，

是偶函数，图象关于y轴对轴，

向右平移两个单位，得到，，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查函数对称性，函数值的求法，考查函数性质等基础知识，是基础题，确定函数 的对称轴为x=-a是关键.

10．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象，则的最大值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数g（x）的关系式，最后求出函数的最值．

【详解】

由题意得，

，

，

将的图象向左平移个单位长度得到函数：

，

再将函数向上平移1个单位长度得到函数的图象，

即，

所以当时，，

故选C．

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

11．已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率为2的直线l与C交于A，B两点若C的准线上一点M满足，则　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】写出直线的点斜式方程，与抛物线方程联立得出A，B两点的坐标关系，根据kAM•kBM＝﹣1列方程解出M的坐标．即可求得则|FM|．

【详解】

抛物线焦点，设直线AB的方程为，

联立方程组，消元得．

设，，．

则，．

，．

，，即．

．

，整理得：，解得．

则．

故选：C．

【点睛】

本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题,的转化，熟练运用韦达定理求得M的坐标是关键.

12．已知三棱锥的两条棱长为1，其余四条棱长为2，有下列命题：

该三棱锥的体积是；

该三棱锥内切球的半径是；

该三棱锥外接球的表面积是．

其中正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】三棱锥中,，，取BC，PA的中点D，E，①利用过BC中点D与BC垂直的截面三角形PAD为底，以BC高求得体积，验证正确；

②利用四面全等，由内切球球心为顶点把三棱锥等分四份，不难求得半径r，验证正确；

③首先确定DE中点为外接球球心，不难求解，验证错误.

【详解】

如图所示，三棱锥中

，，

取BC，PA的中点D，E，作如图的连接

则，，

平面PAD

并求得：；

，

三棱锥的体积为，正确；

设内切球的半径为r，球心为M，

显然四个面三角形全等，

解得，正确；

事实上，外接球球心O必在过D点与BC垂直的平面PAD内，

和过E点与PA垂直的平面BCE内，

故O点在平面PAD和平面BCE的交线DE上，

在内，

同样，在内，

≌

，即O为DE的中点，

可求得外接球半径R的平方：故错误

故选B．

【点睛】

此题综合考查了锥体体积的灵活处理，内切球及外接球半径的解法，难度适中．

二、填空题

13．已知x，y满足约束条件，则的最大值为______

【答案】2

【解析】根据不等式组，画出可行域，根据平移目标函数解析式，即可求得取得最值的点，代入即可得解。

【详解】

如图所示阴影部分为满足约束条件的可行域，

当直线l：过点时，最小，z取得最大值2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了线性规划的简单应用，在可行域内的最值问题，属于基础题。

14．已知双曲线C：的焦点为，，离心率为若C上一点P满足，则C的方程为______．

【答案】

【解析】根据双曲线的定义和离心率公式求出c和a，则双曲线方程可得．

【详解】

由双曲线的定义可知，由，得，

则，所以双曲线C的方程为．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单性质，根据双曲线的定义求出a，b是解决本题的关键．

15．在数列中，，，则数列的通项______．

【答案】

【解析】由递推关系累加求和即可求解.

【详解】

由题意可得：，

利用累加法，

得：，

，

于是：．

故答案为

【点睛】

本题考查利用累加法求数列通项公式，是基础题.

16．已知函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是______．

【答案】

【解析】画出函数f（x）的图象，数形结合，可得a∈[1，2]时，函数y＝f（x）的图象与y＝ax+a有两个交点，进而可得答案．

【详解】

画出函数的图象如图所示：

，

当时，是在点处的切线，

也是在点处的切线，如图所示．

过点与点的直线为：．

数形结合可知，时，函数的图象与有两个交点．

即函数恰有两个零点，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识点函数的图象和性质，函数的零点，数形结合思想，难度中档,关键是临界位置的确定.

三、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，且．

求的值；

若，，求的面积．

【答案】(1)(2)

【解析】（1）将sinC化为sin（A+B），由正弦和角、差角、二倍角公式合并化简，结合正弦定理即可化简得的值。

（2）由余弦定理，可得a、b的值，结合三角形面积即可求解。

【详解】

由题，得，

，根据正弦的和角、差角公式展开化简得

，

，

由正弦定理，得

由，，及余弦定理得，

又由知，代入中，

解得，则

【点睛】

本题考查了正弦和角、差角、倍角公式的综合应用，正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的用法，属于基础题。

18．某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间100的为一等品；指标在区间的为二等品现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：

若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；

将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X，求X的分布列及数学期望．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）由频率分布直方图求出对应的频率和频数，再计算所求的概率值；

（2）由题意知随机变量X～B（3，），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．

【详解】

由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，

这100件样本零件中有一等品：件，

二等品：件，

所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件．

记事件A为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，

则；  

由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，

这100件样本零件中，一等品的频率为，

二等品的频率为；

将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，

则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数，

所以，

，

，

；

的分布列为：

所以数学期望为

【点睛】

本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的应用问题，是中档题,第二问关键是确定为二项分布.

19．如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，．

求证：平面平面PBD；

若，，，E为线段PA的中点，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）连接PO，推导出AC⊥BD，PO⊥AC．由此能证明AC⊥平面PBD，从而平面PAC⊥平面PBD．

（2）求出BD，PO．推导出PO⊥BD，PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．

【详解】

如图所示，连接PO．

在菱形ABCD中，O是AC的中点，且，

，在中，．

又，PO、平面PBD，

平面PBD．

又平面PAC，平面平面

在菱形ABCD中，，，则，

又，．

在等边中，，

．

是BD的中点，，

在中，，

．

又，AC，平面ABCD，

平面

以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题知0，，1，，，0，

为线段PA的中点，，

，0，，

设y，是平面BDE的一个法向量，

则，．

设y，是平面CDE的一个法向量，

则，

   ，

由图知二面角为锐角，二面角的余弦值为

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20．已知椭圆C：的左焦点为，且点在C上．

求C的方程；

设点P关于x轴的对称点为点不经过P点且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，直线PA，PB分别与x轴交于点M，N，若，求k．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据椭圆的定义可求出a，再根据半焦距c，可求得b，则C的方程可写出；

（2）根据两个角相等，推出两直线斜率为相反数，设出直线PA，与椭圆联立可解得A的坐标，同理得B的坐标，最后用斜率公式可求得斜率．

【详解】

设右焦点为，则，

由题意知，，

由椭圆的定义，得，所以，

又椭圆C的半焦距，所以，

所以椭圆C的方程为，

由点P关于x轴的对称点为点q，则轴．

如图所示，由，得．

设直线PA的方程为，，

则直线PB的方程为．

设，

由得，

且，即．

由于直线PA与C交于P，A两点，

所以，；

同理可得，，

所以．

综上，得直线l的斜率k为．

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的综合，属难题，注意” 设而求”思想的应用.

21．已知函数．

求的单调区间和极值；

当时，若，且，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）代入a的值，求出函数的导数，结合均值不等式以及函数的单调性证明即可．

【详解】

函数的定义域为，，

当时，0' altImg='7ee8094540b95889df1fbe457be2fd47.png' w='' h='' class='_7'>，在上单调递增，无极值；

当时，由，得，

当时，0' altImg='7ee8094540b95889df1fbe457be2fd47.png' w='' h='' class='_7'>，得的单调递增区间是；

当时，，得的单调递减区间是，

故的极大值为，无极小值,

综上：当时，单调递增区间是，无减区间；无极值；

当时，单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值.

当时，，0)' altImg='0f4a26eda245563ee39973b0f77405ee.png' w='' h='' class='_7'>，

依题意，，则，

所以，即

由均值不等式可得，

所以，则有．

而，

将代入上式得，

令，则，，

，，即，在上单调递减，

于是，即，得证．

【点睛】

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题,注意变量集中的运用，变量

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，为参数，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

若射线l：与曲线，的交点分别为A，B异于原点，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据参数方程与直角坐标方程、直角坐标与极坐标方程间的转化关系，即可化出相应的方程．

（2）根据倾斜角及参数方程和极坐标关系，用α表示出与的长度，进而将转化为关于α的式子，根据α的范围即可求得的范围．

【详解】

曲线的参数方程为，为参数，

转换为直角坐标方程为，

曲线的极坐标方程为，

曲线的极坐标方程为．

转换为直角坐标方程为．

射线l：的倾斜角，由，

得，

由，

得，

所以．

由，所以，

故的取值范围为：

【点睛】

本题考查了极坐标方程、参数方程和直角坐标方程相互转化，根据参数的取值范围求值的范围，属于中档题．

23．设实数x，y满足．

若，求x的取值范围；

若，，求证：．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）根据等式，用x表示y，代入不等式中，通过分类讨论解不等式即可。

（2）根据“1”的代换，结合基本不等式即可证明。

【详解】

由，得，

所以不等式，即为，

所以有或或

解得 或或 ，

所x的取值范围为．

，，

所以

当且仅当，即时取等号．

又，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号．

【点睛】

本题考查了含绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题。

2019届云南师大附中高三上学期月考（一）数学（理）试题（解析版）