第二章　牛顿运动定律

教学要求：

* 理解力、质量、惯性参考系等概念；

* 掌握牛顿三定律及其适用条件，

能熟练地用牛顿第二定律求解力学中的两大类问题；

* 了解自然力与常见力；

* 了解物理量的量纲。

教学内容（学时：2学时）：

§2-1 牛顿运动定律

§2-2 物理量的单位和量纲

§2-3 自然力与常见力

§2-4 牛顿运动定律的应用

§2-5 非惯性系中的力学问题 *

教学重点：

* 掌握牛顿三定律及其适用条件；

* 牛顿运动定律的应用（难点：牛顿二定律微分形式）。

作业：

2—03）、2—06）、2—08）、

2—13）、2—15）、2—17）。

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§2–1 牛顿运动定律

一 牛顿运动定律

1． 牛顿第一定律（惯性定律）

任何物体都要保持其静止或匀速直线运动的状态，直到外力加于其上迫

使它改变运动状态为止。

讨论：

(1)肯定了力的概念

从起源看：力是物体间的相互作用。

从效果看：力是改变运动状态的原因，即力是产生加速度的原因。

（2）说明了物体具有保持原有运动状态的特性------惯性。

（3）牛顿第一定律中所谈到的物体，实际上指的是质点。

即这里只涉及平动而不涉及转动，在（2）中所说的惯性指的是平动的惯性。

（4）牛顿第一定律是大量直观经验和实验事实的抽象概括，不能用实验直接证明。

原因是不受其它物体作用的孤立物体是不存在的。

（5）牛顿第一定律不是对任何参考系都适用。

牛顿第一定律谈到了静止和匀速直线运动，由于运动描述的相对性，必然涉及参考系问题。

例：甲看到物体A静止，乙看到物体A以加速度a向后运动。

甲参考系：物体A水平方向不受外力，竖直方向的重力和支持力大小相等，方向相反，整个物体受合力为零，满足牛顿第一定律。

乙参考系：整个物体受合力为零，但它却以加速度a向后运动，与牛顿第一定律不符。

结论：牛顿第一定律不是对任何参考系都适用。

（6）惯性系：满足牛顿第一定律的参考系叫惯性系，否则叫非惯性系。

（a）惯性系不只一个，凡相对一个惯性系静止或作匀速直线运动参考系都是惯性系。所以惯性系有无限多个。

（b）实验表明，以银河系的中心以坐标原点，固定于银河系的参考系是很好的惯性系，以太阳中心为坐标原点的太阳参考系是一个较好的惯性系。而地球由于绕太阳公转和自转，相对太阳并不是匀速直线运动，它可以看作精度不算很高的惯性系。

一般讨论常采用坐标原点固定于地球中心的参照系(地心系)或固定于地球表面上参照系(地面系)

2．牛顿第二定律

动量为P的物体，在合外力F的作用下，其动量随时间的变化率等于作用于物体的合外力。

(2-1)

* 在宏观、低速运动的情况下（质量m可视为常量）表示为：

(2-2)

—— 质点运动微分方程

—— 质点动力学方程

或

(2-3)

* 在高速运动的情况下，质量m明显发生变化，为：

式中：m0 —— 静质量

讨论：

（1）牛顿第二定律只适用于质点的运动和惯性系。

（2）牛顿第二定律表示的合外力与加速度之间的关系是瞬时关系。

物体在t时刻具有加速度与同时刻所受力大小成正比，方向相同，且为时间t的函数。

（3）第二定律或是矢量方程

* 笛卡儿坐标系

分量式为：

　　　 (2-4)

或者：

* 自然坐标系

(2-5)

切线方向分量式方程可为：

(2-5')

加速度与力在时间上表现为一一对应的关系。

3． 牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）

作用力F和反作用力F'在同一直线上大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。

讨论：

(1)作用力F和反作用力F'是同一性质的力。

例如：作用力是摩擦力，反作用力也一定是摩擦力，决不可能是其它性质的力。

（2）物体间的作用力与反作用力同时产生，同时消失，没有主从、先后之分。

（3）作用力F和反作用力F'是分别作用在两个不同的物体上，根本谈不上相互抵消。

（4）牛顿第三定律谈的是相互作用，并不涉及运动的描述，因此它对任何参考系都成立。

牛顿力学适用的范围

质点 —— 质点系

宏观物体（物体线度大于10–10m数量级）

低速运动（物体运动速度远小于光在真空中传播速度）

惯性参照系。

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§2-2 物理量的单位和量纲

一 SI单位

国际单位制(SI)的构成为：

表2.1 SI基本单位

二　量纲 (dimension)

（导出量和基本量之间相关的物理规律性）

力学中SI基本量：

长度 —— m —— L

质量 —— kg —— M

时间 —— s —— T

某一物理量Q的量纲则为：

( 式中: α、β、γ 称为量纲指数)

例如:

速度的单位m/s，量纲为：

(量纲指数)

力的单位N ( m⋅kg/s2 )，量纲为:

(量纲指数)

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§2-3 自然力与常见力

一 基本自然力

（两物体间的相互作用称为力）

按表现形式分为:

重力、正压力、弹力、摩擦力、电力、磁力、核力……等等。

按本质分为四种基本自然力:

万有引力、电磁力、强力、弱力。

表2.3 四种基本自然力的特征

讨论

１．万有引力

式中：

为方向的单位矢量；

负号表示与方向相反—引力；

G为引力常量 G = 6.67⨯10–11m3/kg⋅s2；

m1、m2 —— 物体的引力质量

２．电磁力

两个静止点电荷间的电磁力遵从库仑定律。

为真空介电常量(也称真空电容率—常量)

3．强力

核子间的万有引力很微弱，约为10–34N，库仑力表现为排斥力，约为102N，

但是原子核相当稳定，体积极小，密度极大——存在着强大得多的作用力

——强力（短程力，比电磁力大两个数量级）。

粒子间距为0.4⨯10–15m -----10–15m时表现为引力，

粒子间距小于0.4⨯10–15m时表现为斥力，

粒子间距大于10–15m后迅速衰减，可以忽略不计。

4．弱力

弱力也是各种粒子之间的一种相互作用。

它支配着某些放射性现象（在β衰变等过程）。

弱力的作用力程比强力更短，仅为10–17m，强度很弱。

二 技术中常见的力

1．重力

通常把地球对地面附近物体的万有引力叫重力，方向指向地球中心。

当物体距离地球表面h( h << R )高度处时，所受地球的引力(重力)大小为

2． 弹力

两个物体相互接触，彼此发生相对形变时产生的力叫弹力。

弹力产生的条件是：一、两个物体要接触，二、要有形变。

弹力的方向永远垂直于过接触点的切面。

① 正压力

图2-1 不同力学环境中物体所受正压力大小不一样

图2-2 物体受正压力示意图

② 拉力

图2-3 绳中的拉力

③ 弹簧的弹性力

胡克定律：

k为弹簧的劲度系数，

x为弹簧相对于原长的形变量。

3． 摩擦力

两个相互接触的物体具有相对运动或相对运动的趋势时，沿它们接触面的表面将产生阻碍相对运动或相对运动的趋势的阻力，称为摩擦力。

① 静摩擦力

相互接触的两物体间，一物体相对另一物体静止，而又具有相对运动的趋势时出现的摩擦力叫静摩擦力。

静摩擦力的方向总是跟物体相对运动的趋势相反。

最大静摩擦力与两物体之间的正压力的大小成正比

（为静摩擦因数）

静摩擦力规律为：

② 滑动摩擦力

相互接触的两物体间，一物体相对另一物体滑动时出现的摩擦力叫滑动摩擦力。

滑动摩擦力的方向总是跟物体相对运动的方向相反。

滑动摩擦力的大小与两物体之间的正压力的大小成正比。

（是滑动摩擦因数）

滑动摩擦力Fk的大小与相对速率v的关系

（滑动摩擦力Fk的大小与相对速率v的关系）

注意：

通常和有明显区别，一般大于，教科书常不加区别地使用。

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§2-4 牛顿运动定律的应用

* 牛顿第二定律：

(2-3)

或： (2-2)

* 牛顿运动定律应用：

（1）已知物体的运动状态，求物体的受力。

（2）已知物体的受力情况，求物体的运动状态。

* 分析程序：

1 隔离物体，受力分析

选择研究对象。

作受力分析，画出受力图。

“隔离法”

“整体法”

2 对运动状况作定性分析

作直线运动或者曲线运动？

是否具有加速度？

彼此之间是否具有相对运动？

加速度、速度、位移具有什么联系？

……

3 建立适当的坐标

简化方程的数学表达式以及运算求解。

例如: 斜面运动

既可以沿斜面和垂直于斜面建立直角坐标系，

也可沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系。

4 列方程

一般先列出牛顿二定律的矢量方程(2-2)式或 (2-3)式，

然后沿各坐标轴方向列出分量方程(2-5)式或 (2-6)式。

方程的表述应当物理意义清楚

5 求解方程，分析结果

先用文字符号运算，可使各物理量的关系清楚，

既便于定性分析和量纲分析，还可避免数值重复计算。

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例2.1 质量为m1倾角为θ的斜块可在光滑水平面上运动。

斜块上放一小木块，质量m2。斜块与小木块间摩擦因数为μ。

现有水平力F作用在斜块上(如图a)。

欲使小木块m2与斜块m1以相同的加速度一起运动，

水平力F的大小应满足什么条件？

解: 虽然m1、m2之间没有相对运动，

但必须要考虑斜块对小木块的静摩擦力作用，

因此将m1、m2分别选作两个研究对象，隔离物体受力分析。

由题意分析

如果水平力F过小从而加速度a过小，小木块m2有沿斜面下滑趋势，

此时斜块对小木块的静摩擦力沿斜面向上（如图 (b)）。

如果水平力F过大从而加速度a过大，小木块就有沿斜面上滑趋势，

此时小木块受到的静摩擦力沿斜面向下（如图(c)）。

(1) 小木块m2有沿斜面下滑的趋势

图 (b)，小木块受重力G2，斜面对正压力FN，斜面对它的静摩擦力FS，

有：

(1)

(2)

斜块受重力G1，水平力F，小木块给予的正压力FN，

斜块只沿水平方向运动，故只需列出x方向的方程。

(3)

再考虑到m1、m2相对静止，摩擦力为静摩擦力应有：

(4)

联解，得：

(2) 小木块m2有沿斜面上滑的趋势

参照图 (c)

* 对小木块除了静摩擦力FS改为沿斜面向下，其它力方向不变，

因此：

(1)'

(2)'

* 对斜块，静摩擦力改为沿斜面向上，在x方向上有：

(3)'

静摩擦力FS仍然应满足

(4)'

联立求解，可得：

因此，水平力F的大小应满足：

例2.2 图 (a)中的A为轻质定滑轮，B为轻质动滑轮。

质量分别为m1=0.20kg，m2=0.10kg，m3=0.05kg的三个物体

悬挂于绳端。设绳与滑轮间的摩擦力忽略不计，

求：各物体的加速度及绳中的张力。

解： 选定三个物体m1、m2、m3与动滑轮B为研究对象。

隔离物体受力分析如图(b)，图中F1、F2分别为两绳上拉力。

选逆时针为正，则m1、m2向下为正，对m3和B向上为正（图(b)）。

将牛顿第二定律分别应用于图(b)中的四个物体，有：

(1)

(2)

(3)

(4)

（式中各物体的加速度均为对地面惯性系的加速度）

由于四个方程有五个未知量(a1、a2、a3、T1、T2)，不满足求解需要。

考虑到m2和m3既相对于定滑轮B运动，又随B相对于地面

(也相对于定滑轮A)运动，故从相对运动入手列出有关约束方程。

设m2、m3相对于动滑轮B的加速度为，根据相对运动，有：

(5)

(6)

联立求解，可得：

例2.3 在铅直平面内有一半径为R的圆形轨道，

一质量为m的物体在轨道上滑行（如图 (a)）。

已知物体通过A点时的速率为v，OA与铅直方向的夹角为，

物体与轨道之间的摩擦因数为，

求：物体经过A点时加速度及物体在A点时给予轨道的正压力。

解 取物体m为研究对象，隔离物体受力分析如图 (b)所示。

物体重力G，轨道对物体的正压力FN和滑动摩擦力Fk。

建立自然坐标系如图所示。

将牛顿第二定律投影到切线和法线方向上：

(1)

(2)

再考虑到

(3)

(4)

联解，可得：

所以，物体在A点的加速度为：

其大小为：

加速度a的方向以加速度a与切线方向的夹角表示。

轨道对物体的正压力为：

物体对轨道的正压力为：

例2.4 一质量为m的物体从高空中某处由静止开始下落，

下落过程中所受空气阻力与物体速率一次方成正比，

比例系数c>0。

求：①物体落地前其速率随时间变化的函数关系。

②物体的运动方程。

解： ① 牛顿第二定律方程为：

即：

令 ，得：

积分：

得

解出

② 样由上式得：

积分

得：

例2.5 长为l的细线一端固定于天花板，另一端连接质量为m小球，

初始时细线与水平方向的夹角为，小球静止，然后释放。

不计空气阻力。

求：细线与水平方向成角时小球的速率v，并表示为的形式。

解 ： 以小球为研究对象，受重力G，拉力F（如图），

由于小球在竖直面内作圆周运动，可选择自然坐标系，

此题也是已知物体的受力情况求解运动状态，

可建立牛顿第二定律的微分形式方程。

在切线方向上：

化简为：

为了将上式完全表示为v与的关系，再作变换：

分离变量：

将上式积分并将初始条件时，代入：

解得：

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§2-5 非惯性系中的力学问题 *

牛顿运动定律只在惯性参照系中成立。

凡是相对于地面作匀速直线运动的参照系都是惯性参照系

凡是相对于地面作加速运动的参照系都不是惯性参照系，

在非惯性参照系中牛顿运动定律不适用。

* 简例

以地面为惯性参照系K

加速运动小车参照系非惯性参照系

石块运动

* 惯性力（假想力）F *

引入惯性力，牛顿第二定律在非惯性参照系中形式上可应用了。

例如: 图 (b)中的小车非惯性参照系，

若假设石块在水平方向受到惯性力的作用，

则石块以的加速度向车尾方向加速运动。

真实力(合外力)为F，惯性力，总的有效力,

物体对非惯性参照系的加速度，那么:

(牛顿第二定律在形式上仍然保持不变)

注意

惯性力-假想力-虚拟力，

与真实力区别在于它不是因物体间相互作用产生，没有施力者，

不存在反作用力，牛顿第三定律对于惯性力并不适用。

惯性力只是非惯性系相对惯性系加速运动而体现在物体上一种力，

事实上惯性力可以用测力器测量出来，因此它仍然是有效力。

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例2.6 在小车上固定有一长度为L，倾角为的光滑斜面（如图）。

当小车恒定的加速度向右运行时，

有一质量为m的物体从斜面的顶端由静止开始下滑，

求：物体滑至斜面底部时所需要的时间。

车相对地面加速运动为非惯性参照系，

加上惯性力：

，

沿水平方向向左，与小车的加速度反方向，大小为。

a为物体相对斜面(小车)的加速度，

为斜面对物体正压力，沿斜面向下为x轴正方向，

由牛顿第二定律可得：

故物体对斜面的加速度

由匀加速直线运动的路程公式，及条件，

可得物体滑至斜面底部所需要的时间为：

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内容提要

一 牛顿运动定律

* 第一定律：

惯性和力的概念,

惯性系定义。

* 第二定律：

常用形式为：

或：

笛卡尔坐标系分量式

自然坐标系分量式

* 第三定律 ：

二 牛顿运动定律应用两类问题

* 已知质点运动状态求力、加速度以及有关的量。

主要运用的公式为F = ma以及相应的分量式。

* 已知质点受力情况求运动状态。

主要运用的公式为以及相应的分量式。

三 非惯性系中力学问题

惯性力：

牛顿第二定律形式上成立

第二章牛顿运动定律教案