湖南省长郡中学2013届高三第一次月考

数学（理）试题

本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，则k的取值范围是

A． B．

C． D．

3．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题，其中正确命题是

A．若

B．若

C．若

D．若a、b在平面内的射影互相垂直，则

4．双曲线的离心率是2，则的最小值为

A． B． C．2 D．1

5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧AP的长为l，弦AP的长度为d，则函数的图象大致是

6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积比为

A． B． C． D．

7．设是定义在R上的可导函数，且满足，对任意的正数a，下面不等式恒成立的是

A． B．

C． D．

8．若则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是

A．16 B．72 C．86 D．100

二、填空题：本大题共8个小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分。

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

9．（坐标系与参数方程选做题）曲线为参数）与曲线的交点个数为 。

10．（不等式选讲选做题）设函数，若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 。

11．（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点A引圆的切线AD

和割线ABC，已知AC=6，圆O的半径为3，圆心O到AC的

距离为，则AD= 。

（二）必做题（12~16题）

12．已知= 。

13．函数的最小值为 。

14．在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则= 。

15．已知不等式组表示的平面区域为M，直线所围成的平面区域为N。

（1）区域N的面积为 ；

（2）现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为 。

16．设是各项不为零的项等差数列，且公差，将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列。

（1）若= ；

（2）所有数对所组成的集合为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；

（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由。

18．（本小题满分12分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

19．（本小题满分12分）

如图所示的多面体中，正方形BB1C1所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边AB=的等腰直角三角形，B1A1//BA，B1A1=

（1）求证：C1A1⊥平面ABB1A1；

（2）求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值。

20．（本小题满分13分）

在等差数列中，，前n项和Sn满足条件

（1）求数列的通项公式；

（2）记

21．（本小题满分13分）

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（）.

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围。

22．（本小题满分13分）

函数其中a为常数，且函数的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行。

（1）求此平行线的距离；

（3）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；

（3）对于函数和公共定义域中的任意实数x0，我们把的值称为两函数在x0处的偏差，求证：函数在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

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