赣县中学高中数学竞赛平面几何第4四讲面积和面积方法
发布时间:2017-09-27 09:04:15
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第四讲 面积与面积方法
一、 知识要点:
1、 三角形的面积公式:
设在中,分别为A、B、C的对边,为边上的高,分别为外接圆、内切圆之半径,,则的面积有如下公式:
①、
②、
③、
④、
⑤、
⑥、
⑦、
⑧、
2、 面积定理:
1、 一个图形的面积等于它的各个部分面积之和;
2、 两个全等形的面积相等;
3、 相似多边形的面积比等于相似比的平方;
4、 等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高(或底)之比;
5、 等底等高的三角形、平行四边形、梯形的面积(梯形等底应理解为两底和相等)相等;
6、 等角或补角的三角形面积的比,等于夹等角或补角的两边乘积的比;
等角的平行四边形面积的比等于夹等角的两边乘积得比;
⑦、若与的公共边所在直线与直线PD交于M,则
二、 要点分析:
用面积方法解题就是利用面积关系,建立线段之间的关系,或根据面积有关性质将线段关系转化为面积关系,通过解方程或适当变形,从而解决线段有过问题。
三、 例题讲解:
题型一、与面积直接有关的问题
例1、设的面积为1,D是BC上的一点,且,若在AC上
取一点E,使四边形ABDE的面积为,求的值。
例2、D、E分别是的AC、AB边上的点,BD、CE相交于点O,若,求
题型二、用面积方法解题
例3、设的三边位,三边上的高为,三边满足,求证:
例4、在矩形ABCD中,已知AD=12,AB=5,P是AD上任意一点,PE⊥BD,
PF⊥AC,E、F分别是垂足,求PE+PF的值。
例5、已知:O为内一点,AO、BO、CO的延长线分别交BC、CA、AB于D、E、F,求证:
7.已知D为等腰的底边BC上一点,AB=AC,E为线段AD上一点,且.求证:BD=2CD
第四讲 面积与面积方法练习
1、 在直角梯形ABCD中,底AB=13,CD=8,AD⊥AB,并且AD=12,则 A到BC的距离(即点A到BC的垂线段)为_________
2、 已知菱形ABCD的两条对角线BD、AC的乘积等于菱形的一条边长的平方,则菱形的钝角大小为____________
3、 如图:已知等边外有一点P,P落在内,P到BC、CA、AB的距离分别为,满足,则等边的面积为____________
4、 平行四边形ABCD中,M、N分别是AD、AB上的点,且BM=DN,其交点为P,设则的大小关系为_______
5、 已知:如图,直线PQR交的边AB于P,交AC于Q,交BC的延长线于R,求证:.
(先用面积法证明,再尝试用更多的方法证明)
6、在中,E、F、P分别在BC、CA、AB上,已知AE、BF、CP相交于一点D,且,求的值.