命题角度3.1 离散型随机变量的分布列与期望、方差

1．某印刷厂的打印机每5年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨150元，优惠0元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠2元，……，依此类推，每台新机最多可随新机购买25盒墨．平时购买墨盒按零售每盒200元．

公司根据以往的记录，十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如下表：

以这十台打印机消耗墨盒数的频率代替一台打印机消耗墨盒数发生的概率，记ξ表示两台打印机5年消耗的墨盒数．

(1)求ξ的分布列；

(2)若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用的期望．

【答案】(1) ξ的分布列为

(2) 这两台打印机正常使用五年所需购买墨盒的费用的期望为6614元.

故ξ的分布列为

(2)记word/media/image17_1.png表示在题设条件下，购买2台新机使用五年在消耗墨盒上所需的费用（单位：元）

若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，则需付款

word/media/image18_1.png

则word/media/image19_1.png

word/media/image20_1.png

答：这两台打印机正常使用五年所需购买墨盒的费用的期望为6614元．

2.随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视. 为此贵阳市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20积分，当积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公

共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：

①租用时间不超过1小时，免费；

②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；

③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；

④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）.

甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.3.

（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；

（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量word/media/image21_1.png，求word/media/image22_1.png的分布列和数学期望word/media/image23_1.png.

【答案】（1）甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.36，（2）word/media/image24_1.png的数学期望word/media/image25_1.png．

【解析】试题分析：（1）先确定甲、乙两人所扣积分相同事件取法:扣0分、扣1分及扣2分，再根据相互独立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式得所求概率，（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.

（Ⅱ）word/media/image27_1.png的可能取值为： word/media/image28_1.png，

word/media/image29_1.png

word/media/image30_1.png，

word/media/image31_1.png，

word/media/image32_1.png，

word/media/image33_1.png，

所以word/media/image34_1.png的分布列为：

word/media/image37_1.png的数学期望word/media/image38_1.png．

答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.36， word/media/image39_1.png的数学期望word/media/image40_1.png．

3.已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒word/media/image41_1.png来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒word/media/image42_1.png，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒word/media/image43_1.png，则在另外一组中逐个进行化验.

（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.

（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？

【答案】（1）word/media/image44_1.png；（2）分布列见解析， word/media/image45_1.png.

试题解析：

（2）设方案甲化验的次数为word/media/image48_1.png，则word/media/image49_1.png可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为word/media/image50_1.png元,则

word/media/image51_1.png， word/media/image52_1.png，

word/media/image53_1.png， word/media/image54_1.png，

word/media/image55_1.png

则其化验费用word/media/image56_1.png的分布列为

所以word/media/image66_1.png（元）.

所以甲方案平均需要化验费word/media/image67_1.png元

4.某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为、、三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付频率）.

对于、、三类工种职工每人每年保费分别为元，元，元，出险后的赔偿金额分别为100万元，100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.

（Ⅰ）若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费、所要满足的条件；

（Ⅱ）现有如下两个方案供企业选择；

方案1：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；

方案2：企业于保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付.

若企业选择翻翻2的支出（不包括职工支出）低于选择方案1的支出期望，求保费、所要满足的条件，并判断企业是否可与保险公司合作.（若企业选择方案2的支出低于选择方案1的支出期望，且与（Ⅰ）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作.）

【答案】（Ⅰ）元；（Ⅱ）企业有可能与保险公司合作.

试题解析：（Ⅰ）设工种，，职工的每份保单保险公司的效益为随机变量，，，则，，的分布列为

保险公司期望收益，

，

.

根据要求

.

解得，

所以每张保单的保费需要满足元.

结果与（Ⅰ）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作.

5.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为word/media/image110_1.png．

（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；

（2）求word/media/image112_1.png的分布列和数学期望．

【答案】（1）word/media/image113_1.png（2）word/media/image114_1.png

试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有word/media/image116_1.png个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第word/media/image117_1.png次划拳小华赢”为word/media/image118_1.png；事件“第word/media/image119_1.png 次划拳小华平”为word/media/image120_1.png；事件“第word/media/image121_1.png 次划拳小华输”为word/media/image122_1.png，所以word/media/image123_1.png．

因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：

第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；

其概率为word/media/image124_1.png，

第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，

其概率为word/media/image125_1.png

所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为word/media/image126_1.png．

（2）依题可知word/media/image127_1.png的可能取值为2、3、4、5，

word/media/image128_1.png，

word/media/image129_1.png，

word/media/image130_1.png

word/media/image131_1.png

word/media/image132_1.png，

所以word/media/image133_1.png的分布列为：

所以word/media/image140_1.png的数学期望为：

word/media/image141_1.png．

6.为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动.对于word/media/image142_1.png两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏word/media/image143_1.png，若绿灯闪亮，获得word/media/image144_1.png分，若绿灯不闪亮，则扣除word/media/image145_1.png分（即获得word/media/image146_1.png分），绿灯闪亮的概率为word/media/image147_1.png；玩一次游戏word/media/image148_1.png，若出现音乐，获得word/media/image149_1.png分，若没有出现音乐，则扣除word/media/image150_1.png分（即获得word/media/image151_1.png分），出现音乐的概率为word/media/image152_1.png.玩多次游戏后累计积分达到word/media/image153_1.png分可以兑换奖品.

（1）记word/media/image154_1.png为玩游戏word/media/image155_1.png和word/media/image156_1.png各一次所得的总分，求随机变量word/media/image157_1.png的分布列和数学期望；

（2）记某人玩word/media/image158_1.png次游戏word/media/image159_1.png，求该人能兑换奖品的概率.

【答案】（1）详见解析；（2）word/media/image160_1.png.

试题解析：（1）随机变量word/media/image162_1.png的所有可能取值为word/media/image163_1.png，分别对应以下四种情况：

①玩游戏word/media/image164_1.png，绿灯闪亮，且玩游戏word/media/image165_1.png，出现音乐；

②玩游戏word/media/image166_1.png，绿灯不闪亮，且玩游戏word/media/image167_1.png，出现音乐；

③玩游戏word/media/image168_1.png，绿灯闪亮，且玩游戏word/media/image169_1.png，没有出现音乐；

④玩游戏word/media/image170_1.png，绿灯不闪亮，且玩游戏word/media/image171_1.png，没有出现音乐，

所以word/media/image172_1.png， word/media/image173_1.png，

word/media/image174_1.png， word/media/image175_1.png，

即word/media/image176_1.png的分布列为

word/media/image187_1.png.

7.教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的word/media/image189.gifword/media/image190_1.png列联表（单位：人）

（1）能够据此判断有97.5%把握热内加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关？

（2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时间在5—7分钟，小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在6—8分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明现正确解答完的概率；

（3）现从乙班成绩优秀的8名同学中任意抽取两人，并对他们点答题情况进行全程研究，记A、B两人中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）.

【答案】（1）见解析； (2) word/media/image193_1.png；（3）见解析.

试题解析：（1）由表中数据得word/media/image195_1.png的观测值word/media/image196_1.png

所以根据统计有word/media/image197_1.png的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关.

(2)设小明和小刚解答这道数学应用题的时间分别为word/media/image199_1.png分钟，

则基本事件满足的区域为word/media/image200_1.png (如图所示)

设事件word/media/image201_1.png为“小刚比小明先解答完此题” 则满足的区域为word/media/image202_1.png

word/media/image203_1.png由几何概型word/media/image204_1.png 即小刚比小明先解答完此题的概率为word/media/image205_1.png.

（3）word/media/image206_1.png可能取值为word/media/image207_1.png， word/media/image208_1.png， word/media/image209_1.png， word/media/image210_1.png

word/media/image211_1.png的分布列为：

word/media/image219_1.png.

8.某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为word/media/image220_1.png的五批疫苗，供全市所辖的word/media/image221_1.png三个区市民注射，每个区均能从中任选其中一个批号的疫苗接种.

（1）求三个区注射的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；

（2）记word/media/image222_1.png三个区选择的疫苗批号的中位数为word/media/image223_1.png，求 word/media/image224_1.png的分布列及期望.

【答案】（1）word/media/image225_1.png；（2）详见解析.

试题解析：

(1) word/media/image227_1.png ( 三个区注射的疫苗批号恰好两个区相同)= word/media/image228_1.png.

(2) 设三个区选择的疫苗批号的中位数为word/media/image229_1.png所有可能取值为word/media/image230_1.png.

word/media/image231_1.png， word/media/image232_1.png，

word/media/image233_1.png.

所以 word/media/image234_1.png的分布列：

即word/media/image247_1.png的期望： word/media/image248_1.png.

9.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通word/media/image189.gifword/media/image249_1.png座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为word/media/image250_1.png元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：

某机构为了研究某一品牌普通word/media/image252_1.png座以下私家车的投保情况，随机抽取了word/media/image253_1.png辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

以这word/media/image260_1.png辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定， word/media/image261_1.png，记word/media/image262_1.png为某同学家里的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求word/media/image263_1.png的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）

（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损word/media/image264_1.png元，一辆非事故车盈利word/media/image265_1.png元：

①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有一辆事故车的概率；

②若该销售商一次购进word/media/image266_1.png辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）①word/media/image267_1.png,②见解析.

试题解析：

（Ⅰ）由题意可知word/media/image269_1.png的可能取值为word/media/image270_1.png由统计数据可知：

word/media/image271_1.png

word/media/image272_1.png

所以word/media/image273_1.png的分布列为：

所以word/media/image288_1.png

（Ⅱ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为word/media/image289_1.png三辆车中至少有一辆事故车的概率为word/media/image290_1.png

②word/media/image291_1.png为该销售购进并销售一辆二手车的利润， word/media/image292_1.png的可能取值为word/media/image293_1.png

所以word/media/image294_1.png的分布列为：

所以word/media/image299_1.png

所以该销售商一次购进word/media/image300_1.png辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为word/media/image301_1.png万元.

10.为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标）、推理（能力指标）、建模（能力指标）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养；若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：

（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；

（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求随机变量的分布列及其数学期望.

【答案】（1）（2）

(2) 由题可知，数学核心素养一级：，数学核心素养不是一级的：；的可能取值为1,2,3,4,5. 具体如下：

（2）由题可知，数学核心素养一级：，数学核心素养不是一级的：；的可能取值为1,2,3,4,5.

∴随机变量的分布列为

∴ .

高考数学 命题角度3.1 离散型随机变量的分布列与期望、方差大题狂练 理