货币时间价值的计算

（二）单利的终值与现值

在时间价值计算中，经常使用以下符号：

P 本金，又称现值；

i 利率，通常指每年利息与本金之比；

I 利息；

F 本金与利息之和，又称本利和或终值；

n 期数

1、单利终值

单利终值的计算可依照如下计算公式：

F = P + P·i·n

= P (1 + i·n)

【例1】某人现在存入银行1000元，利率为5%，3年后取出，问：在单利方式下，3年后取出多少钱

F = 1000 × ( 1 + 3 × 5% ) = 1150 (元)

在计算利息时，除非特别指明，给出的利率是指年利率。对于不足1年的利息，以1年等于360天来折算。

2、单利现值

单利现值的计算同单利终值的计算是互逆的，由终值计算现值称为折现。将单利终值计算公式变形，即得单利现值的计算公式为：

P = F / (1 + i·n)

【例2】某人希望在3年后取得本利和1150元，用以支付一笔款项，已知银行存款利率为5%，则在单利方式下，此人现在需存入银行多少钱

P = 1150 / ( 1 + 3 × 5% ) = 1000 (元)

（三）复利的终值与现值

1、复利终值

复利终值是指一定量的本金按复利计算的若干期后的本利和。

若某人将P元存放于银行，年利率为i，则：

第一年的本利和为： F = P + P·i = P· ( 1 + i )

第二年的本利和为： F = P· ( 1 + i )· ( 1 + i ) = P·

第三年的本利和为： F = P·· (1 + i ) = P·

第 n年的本利和为： F = P·

式中通常称为复利终值系数，用符号（F/P,i,n）表示。如（F/P,7%,5）表示利率为7%，5期复利终值的系数。复利终值系数可以通过查阅“1元复利终值系数表”直接获得。

【例3】某人现在存入本金2000元，年利率为7%，5年后的复利终值为：

F = 2000 × （F/P,7%,5） = 2000 × = 2806 (元)

2、复利现值

复利现值是复利终值的逆运算，它是指今后某一特定时间收到或付出一笔款项，按复利计算的相当于现在的价值。其计算公式为：

P = F·

式中 通常称为复利现值系数，用符号（P/F,i,n）表示。可以直接查阅“1元复利现值系数表”

【例4】某项投资4年后可得收益40000元，按利率6%计算，其复利现值应为： p = 40000 × (P/F,6%,4) = 40000 × = 31680 (元)

（四）年金的终值与现值

年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项，即如果每次收付的金额相等，则这样的系列收付款项便称为年金，通常记作A 。年金的形式多种多样，如保险费、折旧、租金、等额分期收付款以及零存整取或整存零取储蓄等等，都存在年金问题。

年金终值是指一定时期内每期等额发生款项的复利终值的累加和。

年金现值是指一定时期内每期等额发生款项的复利现值的累加和。

年金按其每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、先付年金、递延年金和永续年金。

1、普通年金的终值与现值

普通年金是指一定时期内每期期末等额收付的系列款项，又称后付年金。如图2-1所示：

A A A A A

图 2-1

（1）普通年金终值

由年金终值的定义可知，普通年金终值的计算公式为 ：

F = ……

根据等比数列前n项和公式Sn＝整理可得：

F　＝　A·

其中， 通常称为年金终值系数，记作（F/A，i，n）, 可以直接查阅“1元年金终值系数表”

【例5】某企业准备在今后6年内，每年年末从利润留成中提取50000元存入银行，计划6年后，将这笔存款用于建造某一福利设施，若年利率为6%，问6年后共可以积累多少资金

F = 50000 × (F/A,6%,6) = 50000 × = 348750 （元）

【例6】某企业准备在6年后建造某一福利设施，届时需要资金348750元，若年利率为6%，则该企业从现在开始每年年末应存入多少钱

很明显，此例是已知年金终值F，倒求年金A，是年金终值的逆运算。

348750 = A · (F/A,6%,6)

A = 348750 / (F/A,6%,6) = 348750 / = 50000 (元)

（2）普通年金现值

由年金现值的定义可知，普通年金现值的计算公式为 ：

P = ……

同样，根据等比数列前n项和公式Sn＝整理可得：

P　＝　A·　　

其中，　 通常称为年金现值系数，记作（P/A，i，n）, 可以直接查阅“1元年金现值系数表”

【例7】某企业准备在今后的8年内，每年年末发放奖金70000元，若年利率为12%，问该企业现在需向银行一次存入多少钱

P = 70000 × (P/A,12%,8) = 70000 × = 347760 (元)

【例8】某企业现在存入银行347760元，准备在今后的8年内等额取出，用于发放职工奖金，若年利率为12%，问每年年末可取出多少钱

很明显，此例是已知年金现值 ，倒求年金A，是年金现值的逆运算。

347760 = A ·(P/A,12%,8)

A = 347760 / (P/A,12%,8) = 347760 / = 70000 （元）

2．先付年金的终值与现值

先付年金是指一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称即付年金。如图2-2所示：

A A A A A

图2-2

（1）先付年金终值

将图2-2与图2-1进行比较可以看出，先付年金与普通年金的付款次数相同，但由于其付款时点不同，先付年金终值比普通年金终值多计算一期利息。因此，在普通年金终值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的终值。即：

F　＝　A· · （1 + i ）

【例9】某企业准备在今后6年内，每年年初从利润留成中提取50000元存入银行，计划6年后，将这笔存款用于建造某一福利设施，若年利率为6%，问6年后共可以积累多少资金

F = 50000 × (F/A,6%,6) × (1+6%) = 50000 × × = 369675（元）

（2）先付年金现值

将图2-2与图2-1进行比较可以看出，先付年金与普通年金的付款次数相同，但由于其付款时点不同，先付年金现值比普通年金现值多折现一期。因此，在普通年金现值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的现值。即：

P　＝　A·　· （1 + i ）

【例10】某企业准备在今后的8年内，每年年初从银行取出70000元，若年利率为12%，问该企业现在需向银行一次存入多少钱

P = 70000 × (P/A,12%,8) × ( 1+12% ) = 70000 × ×

= (元)

3、递延年金的现值

递延年金是指第一次收付款发生时间不在第一期期末，而是隔若干期后才开始发生的系列等额收付款项。如图2-3所示：

A A A

图2-3

递延年金是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的普通年金都是递延年金。一般用m表示递延期数，用n表示年金实际发生的期数，则递延年金现值的计算公式为：

　P　＝　　　　　　　　　

或 ＝　

【例11】 某人拟在年初存入一笔资金，以便能从第六年末起每年取出1000元，至第十年末取完。若银行存款利率为10%，此人应在现在一次存入银行多少钱

P = 1000 × (P/A,10%,10) － 1000 × (P/A,10%,5)

= 1000 × －1000 ×

= 2354 （元）

或P = 1000 × (P/A,10%,5) · (P/F,10%,5)

= 1000 × ×

= 2354 （元）

4、永续年金的现值

永续年金是无限期等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。如图2-4所示：

A A A A A

图2-4

由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。通过普通年金现值计算可推导出永续年金现值的计算公式为：

P = A /i

【例12】某人现在采用存本取息的方式存入银行一笔钱，希望今后无限期地每年年末能从银行取出1000元，若年利率为10%，则他现在应存入多少钱

P = 1000 /10% = 10000（元）

（五）名义利率与实际利率的换算

上面讨论的有关计算均假定利率为年利率，每年复利一次。但实际上，复利的计息不一定是一年，有可能是季度、月份或日。比如某些债券半年计息一次；有的抵押贷款每月计息一次；银行之间拆借资金均为每天计息一次。当每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫做名义利率，而每年只复利一次的利率才是实际利率。

对于一年内多次复利的情况，可采取两种方法计算时间价值。

第一种方法是按如下公式将名义利率调整为实际利率，然后按实际利率计算时间价值。

式中： i 实际利率

r 名义利率

m 每年复利次数

【例13】某企业于年初存人l0万元，年利率为10％，若每半年复利一次，到第l0年末，该企业能得本利和为多少

依题意， P = 10 r = 10% m = 2 n = 10

则：

=

= %

F = 10 × (F/P,%,10)= (万元)

这种方法的缺点是调整后的实际利率往往带有小数点，不利于查表。

第二种方法是不计算实际利率，而是相应调整有关指标，即利率变为r/m，期数相应变为m·n

【例14】利用上例中有关数据，用第二种方法计算本利和。

F =

= 10 × (F/P,5%,20) = （万元）

三、时间价值计算中的几个特殊问题

（一）不等额现金流量现值的计算

【例15】略

（二）年金和不等额现金流量混合情况下的现值

【例16】教材39页。

（三）贴现率、期数的计算

1、贴现率的计算

步骤：（1）计算系数

（2）查表

（3）采用插值法求贴现率。

【例17】略

【例18】某公司于第一年年初借款20000元，每年年末还本付息额均为4000元，连续9年还清，问借款利率是多少

解：（P/A，I，9）20000/4000=5

查n=9的年金现值系数表得：

12%

x%

i 2% 5

14%

I=12%+×2%=%

2、期数的计算

步骤：（1）计算系数

（2）查表

（3）采用插值法求期数。

【例19】某企业拟购买一台柴油机，更新目前使用的汽油机，柴油机的价格比汽油机贵2000元，但每年可节约燃料费500元，若利率为10%，求柴油机至少使用多少年

解：p=2000，A=500 ，I=10%

（p/A，10%，n）=2000/500=4 查表得：5

5

x

n 1 4

6

x/1= x= n=5+=年

货币时间价值的计算