高等代数复习题精选

发布时间：2014-05-26

第一章多项式自测题
一、填空题
1. 设g(xf(x，则f(x与g(x的一个最大公因式为 ． 2. f(xanxnan1xn1a1xa0P[x],若x|f(x,则a0 ;若an
. x1是f(x的根,则a0a1a23.若(f(x,f(xx1,则 是f(x的 重根. 4.x44在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , . 二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P上的多项式
1.设(x|f(x,(x|g(x,且(x0,g(x与f(x不全为0,则下列命题为假的是(
. A.(x|(u(xf(xv(xg(x
B.deg((xmin{degf(x,deg(g(x}（deg意思为次数）
C.若存在u(x,v(x,使u(xf(xv(xg(x(x,则(f(x,g(x(x D.若xa|(x,则f(ag(a0
2.若(f(x,g(x1,则以下命题为假的是(
. A.(f2(x,g3(x1 B.(f(x,f(xg(x1 C.g(x|f(xh(x必有g(x|h(x D. 以上都不对 3.下列命题为假的是(
. A.在有理数域上存在任意次不可约多项式 B.在实数域上3次多项式一定可约
C.在复数域上次数大于0的多项式都可约
D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根 4.下列命题为真的是(
. A.若p2(xf(x,则p(x是f(x二重因式
B.若p(x是f(x,f(x,f(x的公因式,则p(x的根是f(x的三重根 C.f(x有重根f(x,f(x有一次因式 D.若f(x有重根,则f(x有重因式,反之亦然

三、判断题
1.设f(x,g(x,h(xP[x],若g(x不能整除h(x,则g(x不整除 ( (f(xh(x
2.零多项式能被任意多项式所整除,也能整除任意多项式. ( 3. 若f(xg(xq(xr(x,则(f(x,g(x(g(x,r(x. ( 4.如果p(x是数域P上的不可约多项式,那么对于任意的cP,且c0,cp(x也是P上的不可约多项式. (

5.若一个整系数多项式在有理数域上可约, 则它一定能分解两个次数较低的整系数多项式之积.


第二章行列式 自测题
一、填空题
1.六级行列式aij6中的项a13a32a46a51a25的符号为 . 2.设aijnd,则kaijn
. a20x0y203.已知行列式中元素a与b的代数余子式分别为-6和8则0021b003xy
. x1x2ax314.如果方程组x1ax2x3a有唯一的解,那么a满足的条件是
. 2ax1x2x3aa11a12a22a32a2b2c2a13a21a31a32a33a11a12 . a13c1c2( . c35.设a21a31a1a23d,则a22a33a23a3a1二、选择题
2a1b12a1b22a3b31.设b1c1b33,则a2c3a3A.3 B.-3 C.6
D.-6
abehcf中,元素f的代数余子式为( . k2.行列式dgA.dedeabab B. C. - D. ghghghgh3a16b12b23b33c1a1b1b2b3c1c2( . c33.a2a3c22,则a2c3a3211 C. D. 3324.下列等式成立的是(
. A.2 B.A.a1c1a2c2b1d1b2d2nn
a1a2b1b2c1c2d1d2
B.aijaijnnnnC.aijbija11aijnnbijnn
a22a322a12a12a23a332a13 a13a12a13a21D. a21a22a31a32a23a312a11a33a115.下列命题为真的是(
. A.将行列式对换两列后,再将其中一列的倍数加到另一行上,行列式的值不变 B.若aijnnaijnn中aij的代数余子式为Aij(i,j1,2,3,ainAkn(1kn
,n则ai1Ak1ai2Ak2C.行列式为0的充分必要条件是其两列对应成比例 D.系数行列式不为0的线性方程组的有且仅有一解 三、判断题
1、奇数次对换改变排列的奇偶性。 （ ） ２、AP33，则2A8A。 （ ）

第三章线性方程组自测题
一、填空题
1. 矩阵的行向量组的秩与 的秩相等，对矩阵施行
不改变矩阵的秩，对矩阵施行初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵中的 即为矩阵的秩.
2.设线性方程组
a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2 （1）
as1x1as2x2asnxnbs的系数矩阵与增广矩阵分别为A和A，则（1）有解的充要条件是 ，（1）有无穷多个解的充要条件是 . 3. A(aijsn，A的行向量组线性相关的充要条件是秩(A ，秩(An时，齐次线性方程组AX0的解为 . 4. 设i(i1,i2,,in(i1,2,,n，则1,2,,n线性无关的充要条件是行列式aij ，对于任意的n维向量都是1,2,,n的线性组合的充要条件是向量组1,2,,n
. 5.设数域P上的线性方程组
a11x1x12x2x1nxnb1,axxxxxb,2112222nn2as1x1xs2x2xsnxnbs①
所对应的齐次线性方程组（①的导出组）②的一个基础解系为1，2，,nr，①有一个特解为T0，则①的两个解之 是②的解，②的与这个基础解系等价的 向量组仍为②的基础解系，①的任意一个解r都可以表为
. 二、选择题
1.设iPn(i1,2,,s,Pn，若存在kiP,(i1,2,,s使k11k22kss，则下列结论错误的是（ ）. A.是向量组1,2,,s的线性组合 B. 可以由1,2,,s线性表示 C. 向量组，1,2,,s线性相关 D. 向量组1,2,,s的秩小于s 2.设iPn(i1,2,,s,s1,则下列命题为真的是（ ）. A.如果有一个j(1is是整个向量1,2,,i1,i,i1,,s的线性组合，则该向量组线性相关
B. 如果有一个向量j(1is是不是其余向量的线性组合，哪么该向量组线
性无关
C. 如果向量组1,2,,s线性相关，那么其中有零向量 D. 如果1,2成比例，则1,2,,n线性相关
3.设iPn(i1,2,,s,s1,下列命题为真的是（ ）. A. 如果存在xiP,(i1,2,s使得x11x22xss0，那么向量组线性相关
B. 如果存在全为0的数k1,k2,,ks使得k11k22kss0，那么向量组1,2,,s线性无关
C. 如果x11x22xss0只有零解，那么向量组1,2,,s线性无关 D. 如果线性无关，那它可能有一个部份组i1,i2,,it线性相关 4.设向量组1,2,,s的秩为r，则下列命题为假的是（ ）. A.如果1,2,,r线性无关，则它与1,2,,s等价
B.如果每个向量i(1is都可以由向量组1,2,,s的一个部份组i1,i2,,it线性表出，则tr
C.如果向量组1,2,,t的秩为r，则1,2,,t与1,2,,s等价 D. 如果向量组1,2,,t与1,2,,s等价，则1,2,,t的任何r个线性无关的向量都是它的极大线性无关组 三、判断题
１、若矩阵A的秩为r，则矩阵A中所有r阶子式全部为零。 （ ） ２、含有零向量的向量组一定线性相关。 （ ）
３、向量组中若存在某一个向量是其余向量的线性组合，则该向量组一定线性相关 （ ）
４、若两个向量组具有相同的秩，则这两个向量组一定等价。 （ ）

第四章矩阵自测题
一、填空题
1.若矩阵A的秩为2,则P(2,3AP(3,2(3的秩为 . 2.设A(aij55,则|-2A|=
.
3.若A(aijnn可逆,且A22AE0,则A1=
. 4.设A(aijsn,B(bkjnm(s,n,m互不相同则AB,AB,AB,BA中有意义的是
. 5.设A、B、C都是n阶可逆矩阵,且AC2BCB,则C1= . 二、选择题
1.A、B为n阶方阵，下列结论正确的是（ ） A.ABBA B.若ABAC,则BC C.(ABBA D. 若AB0,则A0或B0 2.若A是3阶方阵,则2AA1(
. 1A.3 B. C.1
D.-8 33. A(aijnn,A*是A的伴随矩阵,则下列命题为假的是(

A.若秩(An,则秩(A*n B.若秩(An1,则秩(A*1 C.若秩(An1,则秩(A*1 D. 若秩(An2,则秩(A*0 4.设A,B为n阶方阵,且AB0,则下列结论错误的是(

A.秩(A秩(Bn B.秩(AB秩(A秩(B C.秩(AB秩(A秩(B D.秩(A0或秩(B0
第五章二次型 自测题
一、填空题
1.二次型f(x1,x2,x3,x48x1x42x3x42x2x38x2x4的矩阵为 . 2.两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵 . 3.两个n元复二次型等价的充要条件是 . 4.两个n元实二次型等价的充要条件是 . 5.n元正定二次型的正惯性指数为 . 二、选择题
1.下列说法错误的是（ ）. A.若两个矩阵合同，则它们必等价
B.若两个矩阵合同，则它的秩相等，反之亦然
C.用非退化线性替换将二次型化为标准形，实质上是将二次型的矩阵施行合同变换化为对角形
D.n元正定二次型的矩阵与n阶单位矩阵合同

2.下列说法正确的是（ ）. A.可用非退化线性替换将任意n元二次型化为标准型，且标准型是唯一的 B.合同变换可能改变矩阵的秩或对称性
C.任意n阶方阵都正交相似于一个对角形矩阵
D.二次型的规范形是唯一的，实二次型的规范形由其秩与正惯性指数唯一确定
223.实二次型f(x1,x2x122x1x22x2的矩阵关系为与g(x1,x2x12x2（ ）. A.等价但不合同 B.合同 C.互逆 D.相等
4.设A、B为n阶实对称矩阵，则下列命题为假的是（ A.若A正定，则A-1也正定
B.若A、B正定，则A+B也正定
C.若A0，则A正定
D.若A的主子式都大于0，则A正定

）.

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