2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷共4页,23小题,满分150分。考试用时120分钟

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

1.设，则=( )

A. B. C. D.

2.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(∁A）=( )

A.{1,6} B.{1,7} C.{6.7} D.{1,6,7 }

3.已知a=log0.2,b=2,c=0.2,则( )

A.a

4,古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此,此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm则其身高可能是( )

A.165cm B. 175cm C 185cm D 190 cm

5.函数在的图像大致为( )

A. B.

C. D.

6.某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )

A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生

7.tan255°＝( )

A. B. C. D.

8.已知非零向量,满足||=2||,且(−)⊥,则与的夹角为( )

A. B. C. D.

9.右图是求的程序框图,图中空白框中应填入( )

A.

B.

C.

D.

10.双曲线−＝1的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为( )

A. B. C. D.

11. 在△ABC的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知

，则( )

A.6 B.5 C.4 D.3

12.已知椭圆C的焦点为F (−1,0),F (1,0),过F的直线与C交于A,B两点若 |AF|=2|FB|,|AB|=|BF|,则C的方程为( )

A. B. C. D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分

13.曲线在点(0,0)处的切线方程为__________

14.记为等比数列{}的前n项和,若a=1,＝,则__________

15.函数的最小值为_________

16,已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为____________

三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答

(一)必考题:共60分

17.(12分) 某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?

18.（12分）为等差数列{}的前n项和,已知

(1)若=4,求{}的通项公式；

(2)若a>0,求使得S≥a的n的取值范围。

19.(12分)

如图,直四棱柱ABCD-ABCD的底面是菱形,AA=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC, BB,AD的中点

(1)证明:MN∥平面CDE；

(2)求点C到平面CDE的距离。

20.(12分)

已知函数,为的导数

(1)证明:在区间(0,)存在唯一零点；

(2)若x∈[0,]时,f(x)≥ax,求a的取值范围。

21.(12分)

已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4, ⊙M过点A,B且与直线x＋2=0相切

(1)若A在直线x＋y=0上,求⊙M的半径；

(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|−|MP|为定值?并说明理由。

(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中,曲线C的参数方程为: (为参数),以坐标原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为:， (1)求C和的直角坐标方程；

(2)求C上的点到距离的最小值。

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)

已知为正数,且满足,证明:

(1)＋＋；

(2)。

2019全国卷1文科数学试卷word版