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第二届“趣味数学”竞赛题

班级____________ 姓名____________

本赛题分五大题（选择题、填空题、作图题、简单模型题、附加题）

满分：100分（不含附加题20分） 考试时间：120分钟

一、选择题（每题3分，共21分。）

1. (破译密码)一份密码由3个人独立去破译，他们能破译出的概率分别是1/3，1/4，1/5，求该密码被破译出的概率是________。

A.3/4 B.3/5 C.1/2 D.2/3

2. 由三个非零数字组成的三位数与这三个数字之和的商记为K，如果K为整数，那么K的最大值是________。

A．39 B.59 C.79 D.89

3．现有一堆工程废料需要清理出去。第一次运走总量的 ，第二次运走余下废料的，第三次运走余下的，第四次运走余下的，第五次运走余下的，依此规律继续运下去，那么当运走次后，余下的废料是总量的________。

A.328/1999 B.238/1999 C.436/1999 D.724/1999

4．甲、乙、丙三堆石子共196块，先从甲堆分给另外两堆，使后两堆石子数增加一倍；再把乙堆照样分配一次；最后把丙堆也照样分配一次。结果丙堆石子数为甲堆的，那么原来三堆石子中，最少的一堆石子数为________。

A．18 B.27 C.49 D.67

5．在下面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，每个△代表一个数字，当算式成立时，乘积是________。

A．35993 B.58939 C.84838 D.99324

6．五个连续偶数之和为完全平方数，中间三个偶数之和为完全立方数（即一个整数的三次方）。那么这样一组数中的最大数的最小值是________。

A．32000 B.43000 C.72000 D.81000

7. 由于帽子以20美元一顶的价钱卖不出去，男士服饰店老板决定把价钱降到8美元一顶;但还是没有人要，因而他不得不再一次降价，降到3.20美元一顶，最后又降到1.28美元。要是下一次再降价，这位老板就只好按成本价出售了。成本价是 ________。

A．0.234 B. 0.435 C. 0.512 D. 0.832

二、填空题（每空 3分，共 24分。）

1. a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，a的整数部分是________。

2. 1995的约数共有________。

3. 等式“学学×好好+数学=1994”，表示两个两位数的乘积，再加上一个两位数，所得的和是1994。式中的“学、好、数”3个汉字各代表3个不同数字，其中“数”代表________。

4．把化成小数后，小数点后第100位的数字是________。

5. 小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是________。

6. 1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组。在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场。根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分。已知：

（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；

（2）乙队总得分排在第一；

（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。

根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是________队。

7. 一块空地上堆放了216块砖（如图3），这个砖堆有两面靠墙。现在把这个砖堆的表面涂满石灰，被涂上石灰的砖共有________块。

8. 南方某城市的一家企业有90％的员工是股民，80％的员工是“万元户”，60％的员工是打工仔。那么，这家企业的“万元户”中至少有________％是股民；打工仔中至少有________（填一个分数）是“万元户”。

三、作图题（每题5分，共10分）

1.右图是一个直角梯形。请你画一条线段，把它分成两个形状相同面积相等的四边形。（请标明表示线段位置的数据及符号或写出画法）。

2．一张8×8的方格纸，每个方格都涂上黑、白两色之一。能否适当涂色，使得每个3×4（不论横竖）的12个方格中都恰有4个黑格和8个白格？如果能行，请在下面的表格中画出来？

四、简单模型题（请写好解题过程，必要的文字说明，共45分）

1. 从0，1，2------9这十个数中不放回随机取4个数能排成4位偶数的概率P1与从中不放回随机取5个数能排成一个5位偶数的概率P2哪个大？（6分）

2. 利民商店从日杂公司买进一批蚊香，然后按希望获得的纯利润，每袋加价40％定价出售。但是，按这种定价卖出这批蚊香的90％时，夏季即将过去。为加快资金周转，商店以定价打七折的优惠价，把剩余蚊香全部卖出。这样，实际所得纯利润比希望获得的纯利润少了15％。按规定，不论按什么价钱出售，卖完这批蚊香必须上缴营业税300元（税金与买蚊香用的钱一起作为成本）。问利民商店买进这批蚊香用了多少元？（8分）

3. 假定某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间，来去都是七昼夜。问今天中午从哈佛开出的轮船，在整个航运途中，将会遇到几只同一公司的轮船从纽约开来的？（8分）

4. 一个学雷锋小组的大学生们每天到餐馆打工半小时，每人可挣3元钱。到11月11日，他们一共挣了1764元。这个小组计划到12月9日这天挣足3000元，捐给“希望工程”。因此小组必须在几天后增加一个人。问：增加的这个人应该从11月几日起每天到餐馆打工，才能到12月9日恰好挣足3000元钱？（10分）

5．有 12 只球，编号 1—12 ，它们外形相同，其中有 11 只重量相等，另外 1 只重量略有不同 ( 称作坏球 ) ，但不知这只球是偏轻还是偏重。要求用一架天平称量 3 次，找出这只坏球， 并判定它是偏轻还是偏重。假定你第一次选 1，3，5，7号 放在左盘， 2，4，6，8号 放在右盘，称量结果是左边比右边重。第二次你又选择 3 ， 6 ， 8 号放在左盘， 1 ， 2 ， 10 号放在右盘，仍然是左边比右边重。这时能否断定哪个是坏球？或者你可以作出某种结论？ （13分）

五．附加题（20分）

扩音器插头为圆柱形，截面半径为，长度为，为了提高它的导电性能，必须在这圆柱的侧面镀上一层厚为的纯铜，问约需多少克纯铜？（铜的密度是）

详解与说明

一．选择题

1-7． B C D B D C C

二、填空题

1. 解法一：a=（9-0.2）+（9-0.02）+（9-0.002）+（9-0.0002）+

　　（9-0.00002）

　　=45-0.22222

　　=44.77778

　　解法二：a＞8.8×5=44

　　a＜9×5=45

　　44＜a＜45

　　答案：44。

2. 解：1995=3×5×7×19，由乘法原理可知，1995的约数有

　　（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）

　　答案：16个。

3. 解：“学学”、“好好”一定都是11的倍数，从而它们的积一定是121（=11×11）的倍数。

　　1994÷121=16…58

　　58即“数学”。

答案是5。

4．解：

由于小数点后第100位上的数字，即是“6”后面第99位上的数字，所以，由“99÷6=16……3”可知，小数点后第100位上的数字，即是循环节中左起第3个数字。

　　答案是8。

5.解：由于小胡和小涂都没有看错乙数，所以，乙数是1274和819的公约数。

　　1274=2×7×7×13

　　819=3×3×7×13

1274与819的公约数有1，7，13，91这四个。但是由“乙数是两位数”，可排除1和7；又由“小涂看错了的甲数也是两位数”，可排除91（不然的话，小涂看错了的甲数只能是一位数9）。因此，乙数必定是13。

　　根据乙数是13，可知小胡看错了的甲数是

　　1274÷13=98（8是看错的）

　　小涂看错了的甲数是

　　819÷13=63（6是看错的）

　　因此，甲数是93。

　　答案是93。

6.解：（1）这4个连续奇数必为1，3，5，7，如果不是，只有3，5，7，9可能，这样第一名得9分（三场全胜），第二名最多得6分（胜两场），而不是7分。矛盾。所以，乙队得7分，而且一定是“2胜1平”。或者由每场双方得分之和最多3分，最少2分，所以，4支队共比6场，6场的总分A满足。

　　12≤A≤18

但是当4个奇数为3、5、7、9时，A=24，不在上面的范围内，所以，4个奇数为1、3、5、7。

（2）由于丁队有两场踢平（已得2分），另一场必胜（得3分）。不然的话就是败，总分2分与“奇数”的条件矛盾。所以，丁队“2平1胜”，得5分。

（3）由于丁队一场未败，所以，败给乙队的一定是甲队与丙队。

（4）丙队不可能排第三（得3分）。这是因为它与乙、丁两队比的两场是“1平1败”，得1分，而把甲队打胜打平都不可能得2分。

　　所以，丙队一定排在第四。

　　答案是“丙”。

7.解：如下图，把这个砖堆分成9垛：

容易算出，这9垛的第1层（最上层）的砖都被涂上了石灰，这些砖共有

　　4×3×3=36（块）

从第二层开始，仅有A、B、C、D、E这5垛的砖被涂上石灰，而且每层块数相同，都是

　　（1+4）×2+4=14（块）

　　这个砖堆中被涂上石灰的砖共有

　　36+14×5=106（块）

　　答案是106。

8.解：根据题意，可假设该企业共有员工100人（也可假设为1000人，10000人……），那么，这个企业有

　　90人 是 股民

　　80人 是 “万元户”

　　60人 是 打工仔

　　也就是说，这个企业中

　　100-90=10（人）不是股民

　　100-80=20（人）不是“万元户”

因此，是“万元户”的80人中，最多有10人不是股民，从而他们当中至少有

　　80-10=70（人）

　　是股民，他们占全体“万元户”的

　　70÷80×100％=87.5％

同样道理，是打工仔的60人中，最多有20人不是“万元户”，从而，他们当中至少有

　　60-20=40（人）

　　是“万元户”。

三、作图题　

1.下面是两种标注数字符号的方法，如下图：

（2）取斜腰中点作两个全等的小三角形

2．

四、简单模型题

1.P1=P2

2.解法一：设买进这批蚊香共用x元，那么希望获得的纯利润为“0.4x-300”元，实际上比希望的少卖的钱数为

　　x×（1-90％）×（1＋40％）×（1-70％）=0.042x（元）

　　根据题意，得

　　0.042x=（0.4x-300）×15％

　　方程两边都乘以1000，得，

　　42x=（0.4x-300）×150

　　42x=60x-45000

　　18x=45000

x=2500

解法二：设买进这批蚊香共用x元，那么希望获纯利润“0.4x-300”元，实际所得利润为（0.4x-300）×（1-15％）=0.34x-255。10％的蚊香打七折，就相当于全部蚊香打九七折卖，这样一共卖得“1.4x×0.97”元，根据题意

　　1.4x×0.97-x-300=0.34x-255

　　也就是 0.358x-300=0.34x-255

　　0.018x=45

　　 x=2500

　　答：买进这批蚊香共用2500元。

3.解：解一：如不仔细思考，可能认为仅遇到7只轮船，这个错误主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船，为得出正确的解答，采用图解法（如下图）。

图中的斜线表示这只轮船的运行情况，相交点为两船相遇的情况。从图上可知，一条船最多可遇到15只从对面开来的船，其中包括从哈佛开船时刚驶入哈佛港的一只船和到达纽约时刚从纽约开出的一只船。

解二：在平面tox上，ot轴代表时间，ox轴代表位置，用两条横线分别表示勒阿佛尔港和纽约港，画出它们的时间——位置曲线（如下图）。从勒阿佛尔开出的轮船的时间-位置曲线用实线表示,从纽约开出的轮船的时间-位置曲线用虚线表示。因为实线与虚线相交15次，所以这艘轮船将遇到15艘轮船。从图中可以看出，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达勒阿佛尔），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜。

4.解：（1）还缺多少钱？

　　3000-1764=1236（元）

　　（2）从11月2日～12月9日还有多少天？

　　30+9-12+1=28（天）

　　（3）这28天中，（原来小组中）每人可挣多少元钱？

　　3×28=84（元）

　　（4）增加的一人应挣多少元？

　　1236÷84=14（人）……60（元）

　　（5）要挣60元，增加的那一人要打工多少天？

　　60÷3=20（天）

　　30+9-20+1=20

　　答：增加的这个人应该从11月20日起去打工。

5．解 ：用表格分析，以0表示不可能，空格表示有可能。

第一次称量可知：

只由第二次称量可知：

二者合并

故结论是 2 号偏轻或者 3 号偏重。

第二届 数学趣味知识竞赛试题及答案