()组合

发布时间：2019-10-27

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组合

一、知识梳理 1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用Cmn表示. 2.组合数公式Cmn=n!0.特别的Cn1
(nm!m!3.组合数的两个性质：
nmmm1（1）Cm；（2）Cmn=Cnn1=Cn+Cn. 二、典例分析
1、有关组合数的公式及其性质应用 例1、已知


变式、化简: 5555555(1C5C6C7C8C9C10C11; 117，求m mmmC5C610C7(2m!(m1!

(m2!(mn!(m,nN* 2!n!2、无约束条件的组合问题
例2、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

变式、有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张?

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3、有约束条件的组合问题
例3、从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一次会议，要求至少一名女生参加，有多少种选法？


变式1、从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是（ ）
A.140 B.84 C.70
D.35 变式2、从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？

4、与几何有关的组合问题
例4、如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？
BA

变式、某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
BA


例5、（1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？ （2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？

变式、如果把2条异面直线看成“一对”，那么五棱锥的棱所在的10条直线中，异面直线共有多少对？

例6、已知直线xy1(a,b为非零常数与圆x2y2100有公共点，且公共点的ab横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线有多少条？
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5、产品的抽取问题
例7、在产品质量检验时，常从产品中抽取一部分进行检查，现有200件产品，其中有197件正品，3件次品，从中任意抽取5件检查. （1）共有多少种不同的抽法？
（2）至少有2件是次品的抽法有多少种？


6、挡板法的应用
例8、10个名额分给7个班，每班至少1个名额，则有多少种情况？

7、分组与分配的组合问题
例9、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ （1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3份；
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； （3）平均分成三份，每份2本；. （4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； （5）分成三份，1份4本，另外两份每份得1本；
（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； （7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

例10、(17个相同的球任意的放入4个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？
（2）7个相同的球任意的放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？
（3）7个不同的球任意的放入4个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？
（4）7个不同的球任意的放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？

8、构造模型的组合问题 例11、6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，3


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进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4 9、排列与组合的简单综合问题
例12、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A．152 B.126 C.90
D.54 例13、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
三、知能提高训练
1、从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法m等于（ ）
n1213A. B. C. D.
5510102、已知{1，2}X{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X共有_____________个. A.2 B.6 C.4
D.8 3、某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种. 4、设集合A={1，2，3，…，10}，
（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；
（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，an，求a1+a2+a3+…+an的值.

5、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ）
A.240种 B.180种 C.120种 D.60种 6、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
7、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_____________种.（以数字作答） 8、某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_______种. 9、从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法?
中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则10、如果一个三位正整数形如“a1a2a3”，满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有的凸数个数为（ ）
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A.240 B.204 C.729
D.920 5


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参考答案
典例分析 例1、解：由已知得m!(5m!m!(6m!7(7m!m! 5!6!107!即6010(6m(7m(6m， 整理得m23m420 解得m2,m21
由题意得m的取值范围为m|0m5,mN2*
m2
6555555655555变式、解：（1）原式C6C6C7C8C9C10C11C7C7C8C9C10C11 55556555656C86C8C9C10C11C9C9C10C11C11C11C12924
（2）原式m![1(m1(m2(m1(mn(mn1(m1]
2!n!012n12n2nm!(Cm1Cm1Cm2Cmnm!(Cm2Cm2Cmnm!(Cm3Cmnnm!Cmn1(mn1!
(m1n!223132例2、解：C4C3C4C3C4C342(种
变式、解：分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论. 解：按“多面手”的参与情况分成三类. 4第一类：多面手不参加，这时有C5C44种；
第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有34413C12C5C4+C5C2C4种；
第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两312442213人各译一个语种，因此有C22C5C4+C5C2C4+C2C5C1C4种. 4综上分析，共可开出C5C313C12C5C1C4= 443+C12C5C4443+C5C12C4+C222C5C444+C5C22C24+ 185种. 2112333例3、解：C5C4C5C4C474或C9C574
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1变式1、解析：取3台分两类：①2台甲型1台乙型，有C2·C5种；
42②1台甲型2台乙型，有C14·C5种. 112∴C24·C5+C4·C5=30+40=70（种）. 答案：C 变式2、解：令A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…29}，C={3，6，9，…，1130}组成三类数集，有以下四类符合题意：①A，B，C中各取一个数，有C110C10C10种；②33仅在A中取3个数，有C10种；③仅在B中取3个数，有C10种；④仅在C中取3个数，3113有C10种.故由加法原理得共有C110·C10·C10+3C10=1360种.
例4、解：从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，…，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走.所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2，…，7步取出4步（横向走）4的一个组合，因此从A到B的最短路线共有C7=C37=35条. 解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m－2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n－1）段，其余的为南北方向的（m－1）段，所以共有1n1Cmmn2=Cmn2种走法. 4例5、解：（1）C86658(个
（2）12C448（个）
1变式、解：第一步：从5条侧棱中任取一条，有C5种方法 1第二步：从与该侧棱不相交的3条底边中任取一条，有C3种方法 11所以共有C5C315（对）
1例6、解：共有12点，过这12个点的切线有12条，由于直线的方程是截距式，过原点的直线及与坐标轴平行的直线不符合题意，且过原点的直线有6条，与坐标轴平行的直线有12条，故符合题意的直线共有C1212(12660(条
5例7、解：（1）C2002535650040(种
22332（2）C3C197C3C1973783976(种
例8、解：（名额是一样的）只需在这10个名额所形成的9个空（除首尾外）中挡入6个板，6即可将10个名额分成7部分，则有C9种
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1231233例9、解：（1）C6C5C360(种 （2）C6C5C3A3360(种
22C62C4C222215CCC233（3）（种） （4） 64A390（种） A33A31111C64C2C1C64C2C13（5）（种） （6）15A390（种） 22A2A2114（7）C6C5C430(种
例10、解：（1）把7个小球分成4堆，只有3种
3（2）（挡板法）C620（种）
411132112221C7C3C2C1C7C4C2C1C7C5C3C1（3）把7个不同的小球分成4堆，有350(种 323A3A2A3（4）球不同盒子也不同，可以考虑先将7个不同的球分成4堆，再放入4个不同的盒子进行全排列，所以共有350A48400(种
2例11、解：任意两位同学之间交换C6，如果都完成交换，每个人都要交换5次，15（次）4也就是得到5份纪念品.现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人，如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人。
318；若有1人从事司机例12、解：分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C32A3123C4A3108种，所以共有18+108=126种，故B正确 工作，则方案有C3例13、解：标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有知能提高训练
种方法，共有种，故选B.
1、解析：n=C3，5=10，由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”故m=2. m21==. n105答案：B 2、解析：由题意知集合X中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，
∴032故有C3+C13+C3+C3=8（个）. 8


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答案：D 723、解析：把10个名额分成8份，每份至少一个名额即可，用隔板法：C9=C9=36. 答案：36 34、解：（1）A的3元素子集的个数为n=C10=120. 2（2）在A的3元素子集中，含数k（1≤k≤10）的集合个数有C9个，因此a1+a2+…+an= 2C9×（1+2+3+…+10）=1980. 25、解析：先从6双手套中任选一双，有C16种取法，再从其余手套中任选2只，有C10121种，其中选一双同色手套的选法为C15种.故总的选法数为C6（C10－C5）=240种. 答案：A 46、解析：7人中任选4人，共C7种选法，扣除只有男生的选法C44，就可得有既有男4生，又有女生的选法C7－C44=34. 答案：D 37、解析：从10个盒中挑3个与球标号不一致，共C10种挑法，每一种3个盒子与球标3号全不一致的方法为2种，∴共有2C10=240种. 答案：240 8、解析：把6个班均匀分为3份，有222C6C4C2222C6C4C2A33种分法，再把这三份分给3位教师，所以不同的任课方法有答案：90 A33222A33=C6C4C2种. 29、解：（1）若取出的2个数都大于50，则有C50种. （2）若取出的2个数有一个小于或等于50， 当取1时，另1个只能取100，有C11种取法； 当取2时，另1个只能取100或99，有C12种取法； ……
当取50时，另1个数只能取100，99，98，…，51中的一个，有C150种取法，所以共有1+2+3+…+50=5051. 29


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2故取法种数为C50+505150495051=+=2500. 22210、解：由题意知：a10,a22.下面只需对a22,a23,,a29分别进行讨论求其a1,a3只能从0,1中取，a1只能取1，a3对0,1都可取，值后求和，当a22时，排出“a1a2a3”1共有2种；当a23时，a1从2，1中任取一个有C2种，a3从0,1,2中任取一个有C3种，11111所以共有C2，当a29时，共有C8种，所以共有C3C91111111111111111C1C2C2C3C3C4C4C5C5C6C6C7C7C8C8C9240
当我被上帝造出来时，上帝问我想在人间当一个怎样的人，我不假思索的说，我要做一个伟大的世人皆知的人。于是，我降临在了人间。
我出生在一个官僚知识分子之家，父亲在朝中做官，精读诗书，母亲知书答礼，温柔体贴，父母给我去了一个好听的名字：李清照。
小时侯，受父母影响的我饱读诗书，聪明伶俐，在朝中享有“神童”的称号。小时候的我天真活泼，才思敏捷，小河畔，花丛边撒满了我的诗我的笑，无可置疑，小时侯的我快乐无虑。
“兴尽晚回舟，误入藕花深处。争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。”青春的我如同一只小鸟，自由自在，没有约束，少女纯净的心灵常在朝阳小，流水也被自然洗礼，纤细的手指拈一束花，轻抛入水，随波荡漾，发髻上沾着晶莹的露水，双脚任水流轻抚。身影轻飘而过，留下一阵清风。
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可是晚年的我却生活在一片黑暗之中，家庭的衰败，社会的改变，消磨着我那柔弱的心。我几乎对生活绝望，每天在痛苦中消磨时光，一切都好象是灰暗的。“寻寻觅觅冷冷清清凄凄惨惨戚戚”这千古叠词句就是我当时心情的写照。
最后，香消玉殒，我在痛苦和哀怨中凄凉的死去。
在天堂里，我又见到了上帝。上帝问我过的怎么样，我摇摇头又点点头，我的一生有欢乐也有坎坷，有笑声也有泪水，有鼎盛也有衰落。我始终无法客观的评价我的一生。我原以为做一个着名的人，一生应该是被欢乐荣誉所包围，可我发现我错了。于是在下一轮回中，我选择做一个平凡的人。
我来到人间，我是一个平凡的人，我既不着名也不出众，但我拥有一切的幸福：我有温馨的家，我有可亲可爱的同学和老师，我每天平凡而快乐的活着，这就够了。
天儿蓝蓝风儿轻轻，暖和的春风带着春的气息吹进明亮的教室，我坐在教室的窗前，望着我拥有的一切，我甜甜的笑了。我拿起手中的笔，不禁想起曾经作诗的李清照，我虽然没有横溢的才华，但我还是拿起手中的笔，用最朴实的语言，写下了一时的感受：
人生并不总是完美的，每个人都会有不如意的地方。这就需要我们静下心来阅读自己的人生，体会其中无尽的快乐和与众不同。
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“富不读书富不久，穷不读书终究穷。”为什么从古到今都那么看重有学识之人？那是因为有学识之人可以为社会做出更大的贡献。那时因为读书能给人带来快乐。
自从看了《丑小鸭》这篇童话之后，我变了，变得开朗起来，变得乐意同别人交往，变得自信了……因为我知道：即使现在我是只“丑小鸭”，但只要有自信，总有一天我会变成“白天鹅”的，而且会是一只世界上最美丽的“白天鹅”……
我读完了这篇美丽的童话故事，深深被丑小鸭的自信和乐观所折服，并把故事讲给了外婆听，外婆也对童话带给我们的深刻道理而惊讶不已。还吵着闹着多看几本名着。于是我给外婆又买了几本名着故事，她起先自己读，读到不认识的字我就告诉她，如果这一面生字较多，我就读给她听整个一面。渐渐的，自己的语文阅读能力也提高了不少，与此同时我也发现一个人读书的乐趣远不及两个人读的乐趣大，而两个人读书的乐趣远不及全家一起读的乐趣大。于是，我便发展“业务”带动全家一起读书……现在，每每遇到好书大家也不分男女老少都一拥而上，争先恐后“抢书”，当我说起我最小应该让我的时候，却没有人搭理我。最后还把书给撕坏了，我生气地哭了，妈妈一边安慰我一边对外婆说：“孩子小，应该让着点。”外婆却不服气的说：“我这一把年纪的了，怎么没人让我呀？”大家人你一言我一语，谁也不肯相让……读书让我明白了善恶美丑、悲欢离合，读一本好书，犹如同智者谈心、谈理想，教你辨别善恶，教你弘扬正义。读一本好书，如品一杯香茶，余香缭绕。读一本好书，能使人心灵得到净化。书是我的老师，把知识传递给了我；书是我的伙伴，跟我诉说心里话；书是一把钥匙，给我敞开12


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了知识的大门；书更是一艘不会沉的船，引领我航行在人生的长河中。其实读书的真真乐趣也就在于此处，不是一个人闷头苦读书；也不是读到好处不与他人分享，独自品位；更不是一个人如痴如醉地沉浸在书的海洋中不能自拔。而是懂得与朋友，家人一起分享其中的乐趣。这才是读书真正之乐趣呢！这所有的一切，不正是我从书中受到的教益吗？
我阅读，故我美丽；我思考，故我存在。我从内心深处真切地感到：我从读书中受到了教益。当看见有些同学宁可买玩具亦不肯买书时，我便想到培根所说的话：“世界上最庸俗的人是不读书的人，最吝啬的人是不买书的人，最可怜的人是与书无缘的人。”许许多多的作家、伟人都十分喜欢看书，例如毛泽东主席，他半边床上都是书，一读起书来便进入忘我的境界。
书是我生活中的好朋友，是我人生道路上的航标，读书，读好书，是我无怨无悔的追求。



下午13：00—17：00 度。全体员工都必须自觉遵守工作时间，实行不定时工作制的员工不必打卡。 3.1.2.2打卡次数：一日两次，即早上上班打卡一次，下午下班打卡一次。 3.1.2.3打卡时间：打卡时间为上班到岗时间和下班离岗时间；

3.1.2.4因公外出不能打卡：因公外出不能打卡应填写《外勤登记表》,注明外出日期、事由、外勤起止时间。因公外出需事先申请，如因特殊情况不能事先申请，应在事毕到岗当日完成申请、审批手续，否则按旷工处理。因停电、卡钟（工卡）故障未打卡的员工，上班前、下班后要及时到部门考勤员处填写《未打卡补签申请表》，由直接主管签字证明当日的出勤状况，报部门经理、人力资源部批准后，月底由部门考勤员据此上报考勤。上述情况考勤由各部门或分公司和项目文员协助人力资源部进行管理。 3.1.2.5手工考勤制度
3.1.2.6手工考勤制申请：由于工作性质，员工无法正常打卡（如外围人员、出差），可由各部门提出人员名单，经主管副总批准后，报人力资源部审批备案。 3.1.2.7参与手工考勤的员工，需由其主管部门的部门考勤员(文员或部门指定人员进行考勤管理，并于每月26日前向人力资源部递交考勤报表。 3.1.2.8参与手工考勤的员工如有请假情况发生，应遵守相关请、休假制度，如实填报相关表单。
3.1.2.9 外派员工在外派工作期间的考勤,需在外派公司打卡记录;如遇中途出差,持出差证明,出差期间的考勤在出差地所在公司打卡记录; 3.2加班管理 3.2.1定义
加班是指员工在节假日或公司规定的休息日仍照常工作的情况。
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A．现场管理人员和劳务人员的加班应严格控制，各部门应按月工时标准，合理安排工作班次。部门经理要严格审批员工排班表，保证员工有效工时达到要求。凡是达到月工时标准的，应扣减员工本人的存休或工资；对超出月工时标准的，应说明理由，报主管副总和人力资源部审批。

B．因员工月薪工资中的补贴已包括延时工作补贴，所以延时工作在4小时（不含）以下的，不再另计加班工资。因工作需要，一般员工延时工作4小时至8小时可申报加班半天，超过8小时可申报加班1天。对主管(含以上管理人员，一般情况下延时工作不计加班，因特殊情况经总经理以上领导批准的延时工作，可按以上标准计加班。
3.2.2.2员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》，因无法确定加班工时的，应在本次加班完成后3个工作日内补填《加班申请表》。《加班申请表》经部门经理同意，主管副总经理审核报总经理批准后有效。《加班申请表》必须事前当月内上报有效，如遇特殊情况，也必须在一周内上报至总经理批准。如未履行上述程序，视为乙方自愿加班。
3.2.2.3员工加班，也应按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认；有打卡记录但无公司总经理批准的加班，公司不予承认加班。
3.2.2.4原则上，参加公司组织的各种培训、集体活动不计加班。
3.2.2.5加班工资的补偿：员工在排班休息日的加班，可以以倒休形式安排补休。原则上，员工加班以倒休形式补休的，公司将根据工作需要统一安排在春节前后补休。加班可按1：1的比例冲抵病、事假。
3.2.3加班的申请、审批、确认流程
3.2.3.1《加班申请表》在各部门文员处领取，加班统计周期为上月26日至本月25日。
3.2.3.2员工加班也要按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认。各部门的考勤员(文员负责《加班申请表》的保管及加班申报。员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》加班前到部门考勤员(文员处领取《加班申请表》，《加班申请表》经项目管理中心或部门经理同意，主管副总审核，总经理签字批准后有效。填写并履行完审批手续后交由部门考勤员(文员保管。
3.2.3.3部门考勤员（文员）负责检查、复核确认考勤记录的真实有效性并在每月27日汇总交人力资源部，逾期未交的加班记录公司不予承认。

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