华师大版九年级数学上册第24章 解直角三角形检测题

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第24章解直角三角形检测题
（本检测题满分:120分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题2分，共24分）
1.计算：°°A.B.
31323
C.D.
222
2.（2014·杭州中考）在直角三角形ABC中，已知C90，则AC=(A40，BC3，
A.3sin40B.3sin50C.3tan40D.3tan50
∠C90,AB5,BC3,则sinA的值是3.（2013·浙江温州中考）如图，在△ABC中，（）
4343
B.C.D.
3455
4.（2013·广州中考）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=(
A.
A.2B.2C.D.
5.（2014·安徽中考）如图，Rt△ABC中，AB9,BC6,B90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
55
A.B.C.4D.5
23

第3题图
第5题图
6.在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=（）A.

512512B.C.D.1251313
7.（2014·杭州中考）已知AD∥BC，ABAD，点E,点F分别在射线AD，射线BC上，若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A.1tanADB2B.2BC5CF
C.AEB22DEFD.4cosAGB6


第7题图
8.(2013·聊城中考河堤横断面如图所示，堤高BC=6m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为（）A.12mB.4mC.5mD.6m9.如图，一个小球由地面沿着坡度i1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为(

1

A.5mB.25mC.45mD.10.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA
10m3
3
，BE2，则tan∠DBE的值是(5
A．
155B．2C．D．225

第12题图

11.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（）A.5B.C.7D.
12.如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是(
A.sinAcosAB.sinA>cosAC.sinA>tanAD.sinA<cosA
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.（2013·陕西中考）比较大小：8cos31
“=”35.（填“＞”
或“＜”）
14.（2014·山西中考）如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=
1
∠BAC,CE交AB于点E，交AD于2
点F，若BC=2,则EF的长为.15.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，
再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为_________m.（小兰身高忽略不计，
31.732）
第17题图
第14题图

16.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________．
17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图
2

②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________.
18.(2013·杭州中考在△ABC中，∠90°，AB=2BC，现给出下列结论：331
；②cosB=；③tanA=；④tanB=3，232
其中正确的结论是.（只需填上正确结论的序号）
①sinA=
三、解答题（共78分）
19.（8分）计算下列各题：
(122cos45sin60

240
；（2）(23tan304
32.
2
20.(8分(2013·无锡中考如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=，求BC的
5
长和tanB的值.

第20题图第21题图

21.（10分）(2013·苏州中考如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向.（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号）22.（10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物
顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取
3≈1.732，结果精确到1m）

23.（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCDAD，BD⊥CD．（1）求sin∠DBC的值；（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．
24.（10分）（2014·成都中考）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20m，求树的高度AB.
（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）
3


第25题图

第24题图
25.（10分）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30m的速度沿着仰角为60°
20min后升到B处，这时热气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的的方向上升，
C处有一着火点，求热气球的升空点A与着火点C的距离（结果保留根号）.26.（14分）（2014·福州中考）如图（1），点O在线段AB上，AO2，OB1，OC为射线，且∠BOC60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.
1
（1）当t秒时，则OP，S△ABP；
2
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图（2），当APAB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP∠B，求证：AQ·BP3.


第26题图


4

第24章解直角三角形检测题参考答案
1.C解析：



2.D解析：在Rt△ABC中，∵C90，A40，∴∠B50，
AC
∴tanBtan50，∴ACBCgtan503tan50.
BCBC3
3.C解析：sinA.
AB5
4.B解析：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=6.


第4题答图
∵AB⊥AC，∴DE⊥AC.∵CA是∠BCD的平分线，∴CD=CE.∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=∠DCA.∴CD=AD=6.∴BC=BE+CE=BE+CD=6+6=12.
∴AC===8.∴tanB==

=2.
5.C解析：设BN的长为x，则AN=9x，由题意得DN=AN=9x.因为D为BC的中点，
1
所以BDBC3.在Rt△BND中，∠B=90°，由勾股定理得BN2BD2ND2，即
2
22
x3(9x2，解得x4.6.C解析：设，则，，所以，所以△是直角三角形，且∠．所以在△ABC中，
BC5x5
．AB13x13
7.A解析：设ABx.由题意知AEBCx，BEDE2x，∴AD(21x.在Rt△ABD中，BDAB2AD2422x，又BFBE2x，∴CFBFBC(21x.
根据条件还可以得出∠ABE∠AEB∠EBF45，EBDEDBFBD22.5，AGBABG67.5.
ABx
A.在Rt△ABD中，tan∠ADB21，
AD(21x∴1tanADB2，故选项A正确.
B.2BC2x5CF5(21x，故选项B错误.
C.AEB2267DEF67.5，故选项C错误.
AB1
D.∵cosAGBcosABG，∴4cosAGB6，故选项D错误.BD4228.A解析：先由坡比的定义，得BC∶AC=1∶.由BC=6m，可得AC=6m.在Rt△ABC
中，由勾股定理，得AB==12(m.
9.B解析：设小球距离地面的高度为，则小球水平移动的距离为，所以，解得

5

10.B解析：设，则
又因为在菱形中，，所以，所以，所以，由勾股定理知，所以∠2
11.A解析：设直角三角形的两直角边长分别为，，则，，所以斜边长
12.B解析：在锐角三角函数中仅当∠45°时，，所以选项错误；因为45°＜∠A＜90°，所以∠B＜45°，即∠A＞∠B，所以BC＞AC，所以即sinA>cosA，所以选项正确，选项错误；tanA
BCAC
＞，ABAB
BC
＞1，＜1，所以选项错误.AC
13.＞解析：因为8cos316.86,355.92，所以∠8cos3135.
1解析：过F点作FG∥BC交AB于点G.14.3－
∵在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，
11
∴BD=CD=BC=1,∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°,AD⊥BC.
221
∵∠ACE=∠BAC,
2
∴∠CAD=∠ACE=15°,∴AF=CF.
∵∠ACD=(180°－30°÷2=75°,∴∠DCE=75°－15°=60°.
DC
在Rt△CDF中,CF==2,DF=CD·tan60°=3.
cos60
又AF=CF,∴AF=2.
第14题答图
∵FG∥BC,
∴GF∶BD=AF∶AD,即GF∶1=2∶(2+3,解得GF=4－23,
∴EF∶EC=GF∶BC,即EF∶(EF+2=(4－23∶2,解得EF=3－1.
15.43.3解析：因为∠，∠，所以∠，
3
253251.73243.3m.2
16.15°或75°解析：如图，，，.在图①中，∠，所以∠∠；在图②中，∠，所以∠∠.
所以，所以DC50
6


17.76解析：如图，因为，，所以CD=12，由勾股定理得，所以这个风车的外围周长为
18.②③④解析：AB=2BC，因为∠C=90°，所以∠A=30°，∠B=60°，所以②③④正确.19.解：（1）22cos45sin602

36222
6
2
2423262244226.22

2
0
（2）23tan30321323323.
20.分析：由sinA==求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，利用tanB=求出tanB的值.

解：∵sinA==，AB=10，∴BC=4.


又∵AC==2，∴tanB==

.
21.分析:（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，设PD=km，根据AD+BD=2列方程求解.
（2）过点B作BF⊥CA于点F，在Rt△ABF和Rt△BFC中解直角三角形求解.解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，


第21题答图
设PD=km，由题意可知∠PBD=45°，∠PAD=30°，
∴在Rt△BDP中，BD=PD=km,在Rt△PDA中，AD=PD=km.

∵AB=2km，∴=2.∴==1.

∴点P到海岸线l的距离为（）km.（2）如图，过点B作BF⊥CA于点F.

在Rt△ABF中，BF=AB·sin30°=2×=1（km）.

7

在△ABC中，∠C=180°∠BAC∠ABC=45°.在Rt△BFC中，BC=BF=×1=（km）.∴点C与点B之间的距离为km.
点拨：此题是解直角三角形在现实生活中的应用，通过构造直角三角形求解.当利用勾股定理或锐角三角函数不能直接求解时，常采用作垂线、引入未知数（一般为待定的数）构造方程求解.
22.解：设，则由题意可知，m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝∴
xCE
，即tan30°＝，AEx100
x3
，即3x3(x＋100，解得x50＋503.
x1003
经检验50＋503是原方程的解．
∴＋3故该建筑物的高度约为
23.解：(1∵，∴∠∠.∵∥，∴∠∠∠.
在梯形中，∵，∴∠∠∠∠∵，∴3∠，∴∠30°，∴∠（2）如图，过点作于点.
在Rt△中，•∠，•∠，∴在Rt△中，•∠


，
∴梯形ABCD的面积为•


24.分析：利用解直角三角形求线段长，首先根据锐角三角函数的定义选取恰当的三角函数
AB
关系式，然后把已知的数据代入计算.本题根据锐角三角函数的定义得tan37°＝，把
BC
AB＝中求出树的高度AB.tan370.75，BC=20m代入tan37°
BC
AB
解:因为tan37°＝≈0.75，BC=20m，所以AB≈0.75×20＝15（m）.
BC25.解：过点作于点..
因为∠，∠，所以，3003m，所以300(26.（1）解：1，
3－1，即热气球的升空点与着火点的距离为300(3－1
33
；4
8


（2）解：①∵∠A<∠BOC60，∴∠A不可能是直角.②当∠ABP90时，如图所示（第26题答图（1）），∵∠BOC60，∴∠OPB30.∴OP2OB，即2t2.∴t1.
第26题答图（1）


③当∠APB90时，如图所示（第26题答图（2）），作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP∠PDB90.在Rt△POD中，∵∠POD=60，∴∠OPD=30.∵OP2t，
∴ODt，PD3t，AD2t，BD1t（△BOP是锐角三角形）.
第26题答图（2）
2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
方法一：BPBD+PD=（1t）3t，APAD+PD=(2t3t.
22222222
∵BPAPAB，∴(1t3t(2t3t9，即4tt20.
133133
解得t1，t2（舍去）.
88
方法二：∵∠APD∠BPD90，∠B∠BPD90，∴∠APD∠B.∴△APD∽△PBD.
ADPD2
∴.∴PDAD·BD.
PDBD
22
于是(3t(2t(1t，即4tt20.
133133
解得t1，t2（舍去）.
88
133
综上，当△ABP为直角三角形时，t1或.
8
（3）证法一：∵APAB，∴∠APB∠B.如图所示（第26题答图（3）），作OE∥AP，交BP于点E，∴∠OEB∠APB∠B.
∵AQ∥BP，∴∠QAB∠B180.
又∵∠3∠OEB180，∴∠3∠QAB.
又∵∠AOC∠2∠B∠1∠QOP，∠B∠QOP，∴∠1∠2.
在△QAO和△OEP中，∵∠3∠QAO，∠1∠2，∴△QAO∽△OEP.
AQAO∴，即AQ·EPEO·AO.
EOEP
∵OE∥AP，∴△OBE∽△ABP.
OEBEBO131∴.∴OEAP1，BPEP.
APBPBA323
3333
∴AQ·BPAQ·EPAQ·EPAO·EO213.
2222

9

第26题答图（3）

证法二：如图所示（第26题答图（4）），连接PQ，设AP与OQ相交于点F.∵AQ∥BP，∴∠QAP∠APB.
∵APAB，∴∠APB∠B.∴∠QAP∠B.又∵∠QOP∠B，∴∠QAP∠QOP.
在△QFA和△PFO中，∵∠QAF∠FOP，∠QFA∠PFO，
FQFAFQFP
∴△QFA∽△PFO.∴，即.
FPFOFAFO
又∵∠PFQ∠OFA，∴△PFQ∽△OFA.∴∠3∠1.∵∠AOC∠2∠B∠1∠QOP，∠B∠QOP，∴∠1∠2.∴∠2∠3.
AQAP
∴△APQ∽△BPO.∴.∴AQ·BPAP·BO313.
BOBP
第26题答图（4）



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