江苏省海门中学2018-2019学年度第二学期期中试卷

高二（文科）数学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请在答题卡指定区域内直接写出结果.

1.某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400人，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高中部的学生数为_________.

【答案】 900

【解析】

【分析】

由样本容量为45，及高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，得在高一年级抽取样本容量为20，又因为高一年级有学生400人，故高中部学生人数为人

【详解】因word/media/image3_1.png抽取样本容量为45，且高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高一年级抽取人，设高中部学生数为，则，得人

【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，用样本容量除以每个个体被抽到的概率等于个体的总数

2.函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数的解析式有意义，得到相应的不等式组，即可求解函数的定义域，得到答案.

【详解】由题意，要使此函数有意义，需2x－4≥0，即2x≥22，∴x≥2，

所以函数的定义域为[2，＋∞)

【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解问题，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3.已知某地连续5天的最低气温（单位：摄氏度）依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为_________.

【答案】6.

【解析】

【分析】

先求均值，再根据方差公式求结果.

【详解】

【点睛】本题考查方差，考查基本运算能力，属基础题.

4.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的的值为_________.

【答案】8.

【解析】

【分析】

根据流程图，依次计算与判断，直至终止循环，输出结果.

【详解】执行循环：结束循环，输出

【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断运算能力，属基础题.

5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．

【答案】

【解析】

由题设提供的算法流程图可知:，应填答案。

6.某校从高二年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：，，，，，加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图.已知高二年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为_________.

【答案】480.

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图计算模块测试成绩不少于60分的学生所占频率，再计算频数.

【详解】由频率分布直方图得模块测试成绩不少于60分的学生所占频率为，

所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数为

【点睛】本题考查频率分布直方图以及频数，考查基本分析运算能力，属基础题.

7.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出抛物线的焦点，再求双曲线的渐近线，再求焦点到渐近线的距离.

【详解】由题得抛物线的焦点为（1,0），双曲线的渐近线为

所以焦点到渐近线的距离为.

故答案为：

【点睛】(1)本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点到直线的距离.

8.不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是_________.

【答案】.

【解析】

【分析】

根据古典概型概率公式求解.

【详解】从5只球中随机取出2只球，共有种基本事件,

从5只球中取出2只球颜色相同求，共有种基本事件,

因此所求概率为

【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析运算能力，属基础题.

9.曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【答案】

【解析】

分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。

详解：

则

所以

故答案为-3.

点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。

10.若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

试题分析：因为函数是定义在上的偶函数，所以

由

考点：奇偶性与单调性的综合应用

11.在平面直角坐标系中，若圆的圆心在第一象限，圆与轴相交于、两点，且与直线相切，则圆的标准方程为_________.

【答案】.

【解析】

【分析】

设圆心与半径，根据条件列方程组，解得结果.

【详解】设圆：，

则，解得

【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本分析运算能力，属基础题.

12.已知点，是函数的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段总是位于两点之间函数图像的上方，因此有结论成立，运用类比的思想方法可知，若点，是函数的图像上任意不同的两点，则类似地有_________成立.

【答案】

【解析】

分析：由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知．

详解：

由题意知，点A、B是函数y=ax（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有成立；而函数y=sinx（x∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论．

故答案为：．

点睛：本题考查类比推理，求解本题的关键是理解类比的定义，及本题类比的对象之间的联系与区别，从而得出类比结论．

13.已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与轴垂直的直线与椭圆交于、两点，椭圆的右准线与轴交于点，若为正三角形，则椭圆的离心率等于_________.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出FQ的长，在直角三角形FMQ中，由边角关系得，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值.

【详解】解：由已知得：，因为椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若为正三角形，所以，

所以，

故答案：.

【点睛】本题考察椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小，相对不难.

14.已知函数.若函数存在5个零点，则实数word/media/image92_1.png取值范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

先作出函数y=2f(x)的图像，再令=0，则存在5个零点，再作函数y=的图像，数形结合分析得到a的取值范围.

【详解】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，

当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数存在4个零点，不合题意.

当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数存在5个零点，符合题意.

当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数存在6个零点，不符合题意.

所以实数a的取值范围为.

故答案word/media/image3_1.png：

【点睛】本题主要考查指数对数函数的图像，考查函数图像的变换，考查函数的零点问题，意在考查学生学这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.解答本题的关键是画图和数形结合分析图像.

二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.

（1）求的值；

（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小球标号为.记“”为事件，求事件的概率.

【答案】(1).(2).

【解析】

【分析】

（1）根据古典概型概率公式求取到标号为2的小球的概率，列方程解得的值；（2）根据古典概型概率公式求结果.

【详解】（1）依题意共有小球个，标号为2的小球个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为，得.

（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，标号为2的小球记为，则所有可能的结果为，，，,，，，，，，,，共有12种，而满足的结果有8种，故.

【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析运算能力，属基础题.

16.已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点.

（1）求实数的值；

（2）若方程在区间上有两个不同的实根，试求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据奇函数性质以及函数的图像经过点得方程组解得实数的值；（2）变量分离，结合函数的取值情况即可得解.

【详解】（1）因为函数的图像经过点，所以

因为函数是奇函数，

所以

因此

（2）因为，所以，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

因此若方程在区间上有两个不同的实根，则

【点睛】本题考查奇函数性质以及函数零点，考查综合分析运算能力，属中档题.

17.已知双曲线具有性质：若、是双曲线左、右顶点，为双曲线上一点，且在第一象限.记直线，的斜率分别为，，那么与之积是与点位置无关的定值.

（1）试对椭圆，类比写出类似的性质（不改变原有命题的字母次序），并加以证明.

（2）若椭圆的左焦点，右准线为，在（1）的条件下，当取得最小值时，求的垂心到轴的距离.

【答案】(1)见解析(2).

【解析】

【分析】

（1）根据类比对应得椭圆性质，再根据斜率公式证结论，（2）先求得椭圆方程，再根据基本不等式确定最值取法，即得直线方程，与椭圆方程联立解得点坐标，再根据直线交点得垂心坐标，即得结果.

【详解】（1）若、是椭圆左、右顶点，为椭圆上一点，且在第一象限.记直线，的斜率分别为，，那么与之积是与点位置无关的定值，即；

证明如下：设

（2）因为椭圆的左焦点，右准线为，

所以，椭圆

由（1）知，所以

当且仅当即时取“”

此时直线：

与椭圆联立得

可设垂心，

由，故

的垂心到轴的距离为.

【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析运算能力，属中档题.

18.设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出，然后讨论当时，当时的两种情况即得.

（Ⅱ）分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.

试题解析：（Ⅰ）由

可得，

则，

当时，

时，，函数单调递增；

当时，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减.

所以当时，单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

①当时，，单调递减.

所以当时，，单调递减.

当时，，单调递增.

所以word/media/image197_1.pngx=1处取得极小值，不合题意.

②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，

可得当当时，，时，，

所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，单调递减，不合题意.

④当时，即，当时，，单调递增,

当时，，单调递减，

所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为.

【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想

【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.

19.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，且椭圆的短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点和.

①求的值；

②设的中点，的中点为，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

【分析】

；

（1）由椭圆短轴长为2，得b=1，再由离心率结合计算即可得到椭圆的方程;（2）① 由直线过右焦点，设出直线AB方程，将AB方程与椭圆方程联立，写出韦达定理计算弦长AB, 由两直线斜率乘积为，将弦长AB中的斜率变为可得弦长CD,相加即得结果;②由中点坐标公式可得点M,N坐标，观察坐标知MN中点T在x轴上，所以，整理后利用基本不等式即可得面积的最值.

【详解】（1） 由题设知：

解得

故椭圆的标准方程为.

（2）①设的直线方程为，

联立消元并整理得，

所以，，

于是，

同理，

于是.

②由①知，，，，

所以，，

所以的中点为，

于是，

当且仅当，即时取等号，

所以面积的最大值为.

【点睛】圆锥曲线中求最值或范围时，一般先根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值．解题时可从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解题的关键是在两个参数之间建立等量关系；

③利用基本不等式求出参数的取值范围；

④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

20.已知函数，，.

（1）当，时，求函数的最小值；

（2）当，时，求证方程在区间上有唯一实数根；

（3）当时，设，是函数两个不同的极值点，证明：.

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）构造新函数y=，求导判断单调性，得出最小值e.（2）变量分离a=- =h（x），根据函数word/media/image92_1.png单调性求出函数h（x）的最小值，利用a的范围证明在区间(0，2)上有唯一实数根；（3）求出，问题转化为证，令x1﹣x2=t，得到t＜0，根据函数的单调性证明即可．

【详解】(1)当＝0，时， = ，求导y’= =0的根x=1

所以y在（-），（0,1）递减，在（1，+ ）递增，

所以y =e

(2) + =0,所以a=- =h（x）

H’(x)=- =0的根x=2

则h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，

所以h（2）是y=h（x）的极大值即最大值，即

所以函数f（x）在区间（0，2）上有唯一实数根；

(3) = -

F’(x) -2ax-a=0的两根是，

∵x1，x2是函数F（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），

∴a＞0（若a≤0时，f'（x）＞0，即F（x）是R上的增函数，与已知矛盾），

且F'（x1）=0，F'（x2）=0．∴，…

两式相减得：，…

于是要证明，即证明，两边同除以，

即证，即证，即证，

令x1﹣x2=t，t＜0．即证不等式，当t＜0时恒成立．

设，∴=

设，∴，

当t＜0，h'（t）＜0，h（t）单调递减，

所以h（t）＞h（0）=0，即，

∴φ'（t）＜0，∴φ（t）在t＜0时是减函数．

∴φ（t）在t=0处取得极小值φ（0）=0．

∴φ（t）＞0，得证．

∴．

【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查换元思想，是一道综合题．

江苏省海门中学2018 - 2019学年高二数学下学期期中试题文（含解析）