1987年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S∉T，T∉S，令X=S∩T，那么S∪X等于（　　）

2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（　　）

3．（3分）设a、b是满足ab＜0的实数，那么（　　）

4．（3分）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交

那么（　　）

5．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f（x）在区间（1，2）上是（　　）

6．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）

7．（3分）极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（　　）

8．（3分）函数y=arccos（cosx）的图象是（　　）

二、解答题（共14小题，满分96分）

9．（4分）求函数的周期．

10．（4分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．

11．（4分）若（1+x）n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n．

12．（4分）求极限

13．（4分）在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．

14．（4分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数．

15．（4分）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高．

16．（10分）求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．

17．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．

18．（12分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．

19．（12分）设复数z1和z2满足关系式，其中A为不等于0的复数．

证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）

20．（12分）设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是，其中b是与n无关的常数，且b≠﹣1．

（1）求an和an﹣1的关系式；

（2）写出用n和b表示an的表达式；

（3）当0＜b＜1时，求极限．

21．（10分）定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

22．（1）求极限．

（2）设y=xln（1+x2），求y'

1987年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S∉T，T∉S，令X=S∩T，那么S∪X等于（　　）

2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（　　）

3．（3分）设a、b是满足ab＜0的实数，那么（　　）

4．（3分）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交

那么（　　）

5．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f（x）在区间（1，2）上是（　　）

6．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）

7．（3分）极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（　　）

8．（3分）函数y=arccos（cosx）的图象是（　　）

二、解答题（共14小题，满分96分）

9．（4分）求函数的周期．

10．（4分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．

11．（4分）若（1+x）n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n．

12．（4分）求极限

13．（4分）在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．

14．（4分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数．

15．（4分）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高．

16．（10分）求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．

17．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．

18．（12分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．

19．（12分）设复数z1和z2满足关系式，其中A为不等于0的复数．

证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）

20．（12分）设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是，其中b是与n无关的常数，且b≠﹣1．

（1）求an和an﹣1的关系式；

（2）写出用n和b表示an的表达式；

（3）当0＜b＜1时，求极限．

21．（10分）定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

22．（1）求极限．

（2）设y=xln（1+x2），求y'

参与本试卷答题和审题的老师有：wdnah；涨停；minqi5；wodeqing；yhx01248；qiss；gongjy；zlzhan；wsj1012；danbo7801；yzhb；wzj123；sllwyn；wdlxh；zhwsd（排名不分先后）

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2014年1月23日

1987年全国统一高考数学试卷（理科）