利用三角形三边关系求最值

1. 已知：中，，中，,. 连接、，点、、分别为、、的中点.

图1 图2

(1) 如图1，若、、三点在同一直线上，且，

则的形状是________________，此时________；

(2) 如图2，若、、三点在同一直线上，且，

证明，并计算的值(用含的式子表示)；

(3) 在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.

2.

已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．

(1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；

(2)当∠APB变化，且其他条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

3. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设，则k = ；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．

求证：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

4. 已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:

（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；

（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；

（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.

图1 图2 图3

5. 在中，，为平面内一动点，，，其中a，b为常数，且.将沿射线方向平移，得到，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E.连接.

（1）如图1，若在内部，请在图1中画出；

（2）在（1）的条件下，若，求的长（用含的式子表示）；

（3）若，当线段的长度最大时，则的大小为__________；当线段的长度最小时，则的大小为_______________（用含的式子表示）.

图1 备用图

6. 如图1，点为正方形的中心．

（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连结，，，请依题意补全图1；

（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；

（3）如图2，点是中点，△是等腰直角三角形，是的中点，，，，△绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值．

7. 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以点B为圆心，以为半径作圆.

⑴设点P为☉B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，联结DA，DB，PB，如图2．求证：AD=BP；

⑵在⑴的条件下，若∠CPB=135°，则BD=___________；

⑶在⑴的条件下，当∠PBC=_______° 时，BD有最大值，且最大值为__________；

当∠PBC=_________° 时，BD有最小值，且最小值为__________．

8.

正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；

（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立

给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

9.

正方形的边长为，将射线绕点顺时针旋转，所得射线与线段交于点，作于点，点与点关于直线对称，连接．

（1）如图，当时，

①依题意补全图．

②用等式表示与之间的数量关系：__________．

（2）当时，探究与之间的数量关系并加以证明．

（3）当时，若边的中点为，直接写出线段长的最大值．

构造二次函数求最值

10. 已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.

（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；

（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；

（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

11.

已知关于的一元二次方程.

(1) 求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根.

(2) 若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2,

求关于的一元二次方程的解.

(3) 在(2)的条件下，将抛物线绕原点旋转，得到图象，点7为轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与图象、交于两点，当线段的长度最小时，求点的坐标.

12.

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为

（1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；

（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标.

13. 在△ABC中，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，以DE为折线，将△ADE翻折，设所得的△A’DE与梯形DBCE重叠部分的面积为y.

(1)如图(甲)，若∠C=90°，AB=10，BC=6，，则y的值为 ；

(2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D为AB中点，则y的值为 ；

(3)若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x.

①求y与x的函数解析式；

②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.

14. 已知关于的方程．

（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）若关于的二次函数的图象经过坐标原点，得到抛物线．将抛物线向下平移后经过点进而得到新的抛物线,直线经过点和点，求直线和抛物线的解析式；

（3）在直线下方的抛物线上有一点，求点到直线的距离的最大值．

利用作对称点求最值

15. 我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：

如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．

我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB＇．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB＇，与直线l的交点，就是要求的点P．

有很多问题都可用类似的方法去思考解决．

探究：

（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上

一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是__________；

（2）如图4，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小；（不写作法，保留作图痕迹）

（3）如图5，平面直角坐标系中有两点A（6，4）、 B（4，6），在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是 ，[点D的坐标应该是 ．

16. 已知二次函数．

（1） 求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；

（2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；

（3） 将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

17.

在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

18.

已知抛物线：的顶点在坐标轴上．

（1）求的值；

（2）时，抛物线向下平移个单位后与抛物线：关于轴对称，且过点，求的函数关系式；

（3）时，抛物线的顶点为，且过点．问在直线上是否存在一点使得△的周长最小，如果存在，求出点的坐标， 如果不存在，请说明理由．

19.

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-2,0）和点B，与y轴交于点C（0, ），线段AC上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，线段AB上有另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，两动点同时出发，设运动时间为t秒.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在，请求出对应的t的值;如果不存在，请说明理由.

（3）在y轴上有两点M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，请直接写出相应的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值.

20.

如图，矩形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，点B的坐标是(，1)，点D是AB边上一个动点(与点A不重合)，沿OD将△OAD翻折后，点A落在点P处．

(1)若点P在一次函数y＝2x－1的图象上，求点P的坐标；

(2)若点P在抛物线y＝ax2图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；

(3)当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM＋BM最小，并求出这个最小值．

21.

如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.

(1) 求此二次函数解析式；

(2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值.

其他方法求最值

22. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.

(1) 求点的坐标（用含的代数式表示）；

(2) 直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧.

①若为直线上一动点，求△的面积；

②抛物线的对称轴与直线交于点，作点关于直线的对称点. 以为圆心，为半径的圆上存在一点，使得的值最小，则这个最小值为 .

23.

已知抛物线经过点A（1，3）和点B（2，1）．

（1）求此抛物线解析式；

（2）点C、D分别是轴和轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；

（3）过点B作轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）

24.

如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．

(1)求此二次函数的解析式．

(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．

①直接写出点P所经过的路线长．

②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．

③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．

25.

已知在中，，，点为射线上一点（与点不重合），过点作⊥于点，且（点与点在射线同侧），连接，．

（1）如图，当点在线段上时，请直接写出的度数.

（2）当点在线段的延长线上时，依题意在图中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）在（1）的条件下，与相交于点，若，直接写出的最大值．

26. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=,过点B作直线∥AC,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,直线CA′,CB′分别交直线l于点D,E.

(1)当点A′,D首次重合时,

①请在图1中,补全旋转后的图形；

②直接写出∠A′CB的度数;

(2)如图2,若CD⊥AB,求线段DE的长；

(3)求线段DE长度的最小值.

27. 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M当AB的中点,D是射线BC上一个动点,连轻AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接ED,N为ED的中点,连接AN,MN,

(1)如图1,当BD=2时,AN= ,NM与AB的位置关系是 ;

(2)当4<BD<8时

①依题意补全图2

②判断(1)中MM与AB的位置关系是否发生变化,并证明你的结论;

(3)连接ME,在点D运动的过程中,当BD的长为何值时,ME的长最小?最小值是多少?

请直接写出结果

　　　图1　　　　　　　图2　　　　　　　　　备用图

28. 如图1,两块直角三角板(Rt△ABC和Rt△BDE)按图所示的方式摆放(重合点为B),其中∠BDE=∠ACB=90°,∠ABC=30°,BD=DE=AC=2,将△BE绕着点B顺时针旋转.

(1)当点D在BC上时,求CD的长;

(2)当△BDE旋转到A,D,E三点共线时,求△ACE的面积;

(3)如图2,连接CD,点G是CD的中点,连接AG,求AG的最大值和最小值

29. 如图1,已知,△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点D在线段AC上,点F为AB的中点,点M为BE的中点,点N为AD的中点.

(1)如图1,请直接写出∠FMN的大小以及FM和MN之间的数量关系.

(2)如图2,将△DCE绕点C顺时针旋转,此时(1)的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请写出相应正确的结论.

(3)如图3,若AB=4,CE=2,在将△DCE绕点C顺时针旋转360°过程中,直线BD,AE交于点G,△ABG的面积最小值为 .

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