示范教案

教学分析　　　　　

教材将任意两直线垂直关系转化为过原点的两直线垂直来讨论垂直的条件．在实际教学中，要让学生自己归纳、总结两条直线垂直的条件，避免教师给出结论，马上做练习题的教学方式．

三维目标　　　　　

1．归纳两条直线垂直的条件，提高学生的归纳能力．

2．利用两条直线垂直的条件解决垂直问题，提高学生解决问题的能力．

重点难点　　　　　

教学重点：两条直线垂直的条件及其应用．

教学难点：归纳两条直线垂直的条件．

课时安排　　　　　

1课时

导入新课　　　　　

设计1.上一节我们学习了利用直线方程讨论两直线相交的条件，垂直是相交的特例，那么怎样用直线方程来讨论两直线垂直的条件呢？教师引出课题．

设计2.平行与垂直是解析几何中最重要的位置关系，我们已经会用直线方程来讨论两直线平行，今天我们学习用直线方程来讨论两直线垂直，教师引出课题．

推进新课　　　　　

讨论结果：

(1)l与l′平行或重合

(2)由于直线l1与直线A1x＋B1y＝0平行或重合，直线l2与直线A2x＋B2y＝0平行或重合，因此我们研究l1和l2垂直的条件时，可转化为研究直线l1′：A1x＋B1y＝0和l2′：A2x＋B2y＝0垂直的条件．

(3)假定l1，l2都不与坐标轴平行或重合．

如下图，当l1⊥l2时，通过坐标原点作直线l1′∥l1和l2′∥l2，则l1′和l2′互相垂直．

在直线l1′，l2′上，分别取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(都不是原点)．由勾股定理，得x＋y＋x＋y＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.化简，得x1x2＋y1y2＝0.

由假定可知B1≠0，B2≠0，因此y1＝－x1，y2＝－x2.代入上式，得x1x2(1＋)＝0.

因为A，B都不在y轴上，所以x1x2≠0，因此1＋＝0，①

即A1A2＋B1B2＝0.②

由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由②式可以证明两条直线l1′与l2′垂直，从而也就证明了l1与l2垂直．

假定l1，l2中有一条直线与坐标轴平行或重合．

当l1⊥l2时，可以推出l1，l2中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A1A2＋B1B2＝0.

反过来，由条件A1A2＋B1B2＝0也可以推出l1⊥l2.

总结以上讨论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线l1和l2，有

如果B1B2≠0，则l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝－.

由上面的①式，又可以得出

(4)计算步骤：

①给A1，B1，C1，A2，B2，C2赋值；

②计算M＝A1A2＋B1B2；

③若M＝0，则l1⊥l2；若M≠0，则l1与l2不垂直．

思路1

例1判断下列各组中的两条直线是否垂直：

(1)2x－4y－7＝0与2x＋y－5＝0；

(2)y＝3x＋1与y＝－x＋5；

(3)2x＝7与3y－5＝0.

解：(1)因为A1＝2，B1＝－4，A2＝2，B2＝1，得A1A2＋B1B2＝2×2＋(－4)×1＝0，所以这两条直线垂直．

(2)由k1＝3，k2＝－，得k1k2＝3×(－)＝－1，所以这两条直线垂直．

(3)因为A1＝2，B1＝0，A2＝0，B2＝3，得A1A2＋B1B2＝2×0＋0×3＝0，所以这两条直线垂直．

此题也可以直接看出直线2x＝7平行于y轴，直线3y－5＝0平行于x轴，从而可以判断这两条直线垂直．

点评：判定两直线垂直时，由一般式给出的直线方程，用A1A2＋B1B2＝0来判定；由斜截式给出的方程可以用k1k2＝－1来判定．

变式训练

判断下列两直线是否垂直，并说明理由．

(1)l1：y＝4x＋2，l2：y＝－x＋5；

(2)l1：5x＋3y＝6，l2：3x－5y＝5；

(3)l1：y＝5，l2：x＝8.

解：(1)设两直线的斜率分别是k1，k2，则k1＝4，k2＝－，

有k1·k2＝4×(－)＝－1，所以l1⊥l2.

(2)因为A1＝5，B1＝3，A2＝3，B2＝－5，A1A2＋B1B2＝5×3＋3×(－5)＝0，所以l1⊥l2.

(3)因为l1平行于x轴，l2垂直于x轴，所以l1⊥l2.

例2求证：直线Ax＋By＋C1＝0与直线Bx－Ay＋C2＝0垂直．

证明：因为AB＋B(－A)＝0，所以这两条直线垂直．

点评：一般地，我们可以把与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程表示为Bx－Ay＋D＝0.

同样可证明与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线可表示为y＝－x＋b1.

变式训练

求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：

(1)(－1,3)，y＝2x－3；

(2)(1,2)，2x＋y－10＝0.

解：(1)设所求直线方程为y＝－x＋b.

因为直线过点(－1,3)，代入方程，得b＝，所以所求方程为y＝－x＋，即x＋2y－5＝0.

(2)设所求的直线方程为x－2y＋C＝0.

因为直线过点(1,2)，代入方程，得C＝3，所以所求直线方程为x－2y＋3＝0.

思路2

例3已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC的形状．

分析：先作图猜想，然后给出证明．

解：由题意，知kAB＝＝－，kBC＝＝2.

∵kAB·kBC＝－1，

∴AB⊥BC.∴△ABC为直角三角形．

点评：此类判断三角形形状的题目，通过先画图猜想结论，再利用相关知识证明．

变式训练

已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(－2,6)，求证：AB⊥PQ.

证明：kAB＝＝，kPQ＝＝－，

∴kABkPQ＝－1，∴AB⊥PQ.

例4已知△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(－1,1)、C(0,3)，求BC边上的高所在的直线方程．

分析：BC边上的高所在直线的斜率与直线BC的斜率互为负倒数，然后用点斜式求解．

解：设BC边上的高所在直线斜率为k，则k·kBC＝－1，又kBC＝＝2，

∴k＝－.∴由点斜式，得y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.

点评：本题中利用两直线垂直的条件求出了BC边上的高所在直线斜率，再利用点斜式求得直线的方程．

变式训练

求经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程．

解：解方程组，得

又所求直线的斜率k＝－，∴y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.

1．已知三点A(4,1)、B(0,5)、C(8,5)，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形　 　B．等边三角形　 　C．等腰三角形　 　D．等腰直角三角形

答案：D

2．求过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．

分析：一般地，由于与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的斜率同已知直线互为负倒数，故可设其方程为Bx－Ay＋λ＝0，这是常常用到的解题技巧(直线系方程)．

解：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋λ＝0.

∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋λ＝0，解得λ＝0.

故所求直线l的方程为x－2y＝0.

3．求经过直线y＝2x＋3和3x－y＋2＝0的交点，且垂直于第一条直线的直线方程．

解：解方程组得

又所求直线的斜率k＝－，∴y－5＝－(x－1)，即x＋2y－11＝0.

4．△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)．求点A和点C的坐标．

解：如下图所示，由方程组解得顶点A(－1,0)，∴直线AB的斜率为kAB＝＝1.

∵x轴是∠A的平分线，∴直线AC的斜率为－1，直线AC的方程为y＝－(x＋1)．①

已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∴直线BC的斜率为－2，BC所在直线的方程为y－2＝－2(x－1)．②

由①②联立，解此方程组得即顶点C坐标为(5，－6)．

∴所求顶点A坐标为(－1,0)，顶点C坐标为(5，－6)．

已知点A的坐标为(－4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0.求点A关于直线l的对称点A′的坐标．

解：设点A′的坐标为(x′，y′)，因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，而直线l的斜率是－3.所以kAA′＝.

又因为kAA′＝，所以＝.①

再因为直线l的方程为3x＋y－2＝0，AA′的中点坐标是(，)，所以3·＋－2＝0.②

由①和②解得x′＝2，y′＝6.

所以A′点的坐标为(2,6)．

本节课学习了两条直线垂直的条件及其应用．

本节练习B　3,4题．

本课通过探究两直线垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．通过对两直线垂直的位置关系的研究，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣．组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励．

备选习题

1．根据下列条件，求直线的方程．

(1)经过点A(3,2)，且与直线4x＋y－2＝0平行；

(2)经过点C(2，－3)，且平行于过两点M(1,2)和N(－1，－5)的直线；

(3)经过点B(3,0)，且与直线2x＋y－5＝0垂直．

解：(1)由题意得，k＝－4，由点斜式，得y－2＝－4(x－3)，即4x＋y－14＝0.

(2)所求直线的斜率为k＝＝，

∴由点斜式得y＋3＝(x－2)，即7x－2y－20＝0.

(3)所求直线的斜率为k＝，∴由点斜式，得y＝(x－3)，即x－2y－3＝0.

2．证明两直线互相垂直．

2x＋3y＋4＝0；3x－2y－1＝0.

证明：∵k1＝－，k2＝－＝，∴k1·k2＝－1.∴两直线互相垂直．

3．已知两点A(7，－4)、B(－5,6)，求线段AB的垂直平分线的方程．

解：∵kAB＝＝＝－，

∴AB的垂直平分线的斜率为，AB的中点为(1,1)．

∴由点斜式，得y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0.

最新人教版高中数学必修2第三章《两条直线垂直的条件》教案