第7章 参数估计

练习题

7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

（1） 样本均值的抽样标准差等于多少?

（2） 在95%的置信水平下，边际误差是多少？

解：⑴已知

样本均值的抽样标准差

⑵已知, ,，，

边际误差

7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

（1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差；

（2） 在95%的置信水平下，求边际误差；

（3） 如果样本均值为120元，求总体均值的95%的置信区间。

解.已知.根据查表得=1.96

（1）标准误差：

（2）．已知=1.96

所以边际误差=*1.96*=4.2

（3）置信区间：

7.3 从一个总体中随机抽取的随机样本，得到，假定总体标准差，构建总体均值的95%的置信区间。

置信区间：（87818.856，121301.144）

7.4 从总体中抽取一个的简单随机样本，得到，。

（1） 构建的90%的置信区间。

（2） 构建的95%的置信区间。

（3） 构建的99%的置信区间。

解；由题意知, ,.

（1）置信水平为，则.

由公式

即

则置信区间为79.026~82.974

（2）置信水平为，

由公式得=81

即81=（78.648，83.352），

则的95%的置信区间为78.648~83.352

（3）置信水平为，则.

由公式=

即

则置信区间为

7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

（1），，，置信水平为95%。

（2），，，置信水平为98%。

（3），，，置信水平为90%。

置信水平为95%

解：

置信下限：

置信上限：

解：

置信下限：

置信上限：

=3.419,s=0.974,n=32,置信水平为90%

根据t=0.1，查t 分布表可得.

所以该总体的置信区间为

（=3.4190.283

即3.4190.283=（3.136 ，3.702）

所以该总体的置信区间为3.136~3.702.

7.6 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

（1） 总体服从正态分布，且已知，，，置信水平为95%。

（2） 总体不服从正态分布，且已知，，，置信水平为95%。

（3） 总体不服从正态分布，未知，，，，置信水平为90%。

（4） 总体不服从正态分布，未知，，，，置信水平为99%。

（1）解：已知，，，1-%，

所以总体均值的置信区间为（8647，9153）

（2）解：已知，word/media/image83_1.png，，1-%，

所以总体均值的置信区间为（8734，9066）

（3）解：已知，，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差

∵置信水平1—=90% ∴

∴置信区间为

所以总体均值的置信区间为（8761，9039）

（4）解：已知，，，由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差

置信水平1—α=99% ∴

∴置信区间为

所以总体均值的置信区间为（8682，9118）

7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7（单位：h）。求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。

解：已知： n=36

1.当置信水平为90%时，，

所以置信区间为（2.88，3.76）

2.当置信水平为95%时，，

所以置信区间为（2.80，3.84）

3.当置信水平为99%时，，

所以置信区间为（2.63，4.01）

7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8。求总体均值95%的置信区间。

已知：总体服从正态分布，但未知，n=8为小样本，，

根据样本数据计算得：

总体均值word/media/image102_1.png的95%的置信区间为：，即（7.11，12.89）。

7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（单位：km）数据见Book7.9。求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。

已知：总体服从正态分布，但未知，n=16为小样本， =0.05，

根据样本数据计算可得：，s=4.113

从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：

，

即（7.18，11.57）。

7.10 从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm，标准差为1.93cm。

（1） 试确定该种零件平均长度95%的置信区间。

（2） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。

解：已知n=36, =149.5,置信水平为1-=95%，查标准正态分布表得=1.96.

根据公式得：

=149.51.96

即149.51.96=（148.9，150.1）

答：该零件平均长度95%的置信区间为148.9~150.1

（3） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。

答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。

7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量（单位：g）见Book7.11。

已知食品重量服从正态分布，要求：

（1） 确定该种食品平均重量的95%的置信区间。

（2） 如果规定食品重量低于100g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。

(1)已知:总体服从正态分布，但未知。n=50为大样本。=0.05， =1.96

根据样本计算可知=101.32 s=1.63

该种食品平均重量的95%的置信区间为

即（100.87，101.77）

（2）由样本数据可知，样本合格率：。该批食品合格率的95%的置信区间为：

=0.9=0.90.08，即（0.82，0.98）

答：该批食品合格率的95%的置信区间为：（0.82，0.98）

7.12 假设总体服从正态分布，利用Book7.12的数据构建总体均值的99%的置信区间。

根据样本数据计算的样本均值和标准差如下；

=16.13 =0.8706 E= Z=2.58*=0.45

置信区间为E 所以置信区间为（15.68，16.58）

7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18 名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13（单位：h）。假定员工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。

解：已知=13.56 7.80 n=18

E=*

置信区间=[-, +]

所以置信区间=[13.56-1.645*(7.80/), 13.56+1.645*(7.80/)]

=[10.36, 16.76]

7.14 利用下面的样本数据构建总体比例的置信区间。

（1），，置信水平为99%。

（2），，置信水平为95%。

（3），，置信水平为90%。

（1），，置信水平为99%。

解：由题意,已知n=44, 置信水平a=99%, Z=2.58

又检验统计量为： PZ，故代入数值计算得，

PZ=（0.316，0.704）， 总体比例的置信区间为（0.316，0.704）

（2），，置信水平为95%。

解：由题意,已知n=300, 置信水平a=95%, Z=1.96

又检验统计量为： PZ，故代入数值计算得，

PZ=（0.777，0.863）， 总体比例的置信区间为（0.777，0.863）

（3），，置信水平为90%。

解：由题意,已知n=1150, 置信水平a=90%, Z=1.645

又检验统计量为： PZ，故代入数值计算得，

PZ=（0.456，0.504）， 总体比例的置信区间为（0.456，0.504）

7.15 在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。

解：由题意可知n=200，p=0.23

（1）当置信水平为1-=90%时，Z=1.645

所以=0.230.04895

即0.230.04895=（0.1811，0.2789），

（2）当置信水平为1-=95%时，Z=1.96

所以=0.230.05832

即0.230.05832=（0.1717，0.28835）；

答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的置信区间为（18.11%，27.89%），在置信水平为95%的置信区间为（17.17%，28.835%）

7.16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存款额的标准差为1000元，要求估计误差在200元以内，应选取多大的样本？

解：已知,E=1000, ,

由公式可知n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167

答：置信水平为99%，应取167个样本。

7.17 要估计总体比例，计算下列个体所需的样本容量。

（1），，置信水平为96%。

（2），未知，置信水平为95%。

（3），，置信水平为90%。

（1）解：已知，， =2.05

由得

=2522

答：个体所需的样本容量为2522。

（2）解：已知， =1.96

由得

601

答：个体所需的样本容量为601。

（3）解：已知，， =1.645

由得

=268

答：个体所需的样本容量为268。

7.18 某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。

（1） 求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为95%。

（2） 如果小区管理者预计赞成的比例能达到80%，应抽取多少户进行调查？

（1）已知：n=50

根据抽样结果计算的样本比例为P=32/50=60%

根据（7.8）式得：

即

答：置信区间为（51.37%，76.63%）

（2）已知

则有：

答：应抽取62户进行调查

7.19 根据下面的样本结果，计算总体标准差的90%的置信区间。

（1），，。

（2），，。

（3），，。

解：已知，

1) 查表知，

由公式

得，解得（1.72，2.40）

2) 查表知，

由公式

得，解得（0.015，0.029）

3) 查表知，

由公式

得，解得（24.85，41.73）

7.20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取了10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：min）见Book7.20。

（1） 构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。

（2） 构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。

（3） 根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？

7.21 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：

（1） 求的90%的置信区间。

（2） 求的95%的置信区间。

（3） 求的99%的置信区间。

7.22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：

（1） 设，求95%的置信区间。

（2） 设，，求的95%的置信区间。

（3） 设，，求的95%的置信区间。

（4） 设，，求的95%的置信区间。

（5） 设，，求的95%的置信区间。

7.23 Book7.23是由4对观察值组成的随机样本。

（1） 计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算和。

（2） 设和分别为总体A和总体B的均值，构造的95%的置信区间。

7.24 一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试，得到的自信心测试分数见Book7.24。构建两种方法平均自信心得分之差的95%的置信区间。

7.25 从两个总体中各抽取一个的独立随机样本，来自总体1的样本比例为，来自总体2的样本比例为。

（1） 构造的90%的置信区间。

（2） 构造的95%的置信区间。

7.26 生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对工序进行改进以减小方差。两部机器生产的袋茶重量（单位：g）的数据见Book7.26。构造两个总体方差比的95%的置信区间。

7.27 根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间，若要求边际误差不超过4%，应抽取多大的样本？

解：已知P=2% E=4% 当置信区间1-为95%时

= n=

1-=0.95 ==1.96

N===47.06

答：所以应取样本数48。

7.28 某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求边际误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本？

解：已知，，当时，。

应抽取的样本量为：

7.29 假定两个总体的标准差分别为，，若要求误差范围不超过5，相应的置信水平为95%，假定，估计两个总体均值之差时所需的样本量为多大。

7.30 假定，边际误差，相应的置信水平为95%，估计两个总体比例之差为时所需的样本量为多大。

大学统计学第七章练习题及标准答案