1982年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一．（本题满分6分）

填表：

解：见上表word/media/image7_1.png

二．（本题满分9分）

1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值;

2．求343e459a08b499792d91506ccfb05557.png的导数word/media/image7_1.png

解：1.第15项T15=e2126d61d1f4fa301fb9514b851588fb.png

2.d44e31ff88e3e269b07c77aaa0a66fc6.png

三．（本题满分9分）

word/media/image11.gifword/media/image12.gif Y

1 X

O

Y

1

O X

在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形word/media/image7_1.png

1．54dbabaf7a328cf258ff975273d1aa9f.png

2．a691b465f8a28c52536cd6cd8310e3c0.png

解：1.得2x-3y-6=0图形是直线word/media/image7_1.png

2.化为c1de6be90c9cd4b545300561edd47809.png图形是椭圆word/media/image7_1.png

四．（本题满分12分）

已知圆锥体的底面半径为R，高为Hword/media/image7_1.png

求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）word/media/image7_1.png

A

word/media/image16.gif

D c H

h

B E

O

2R

解：设圆柱体半径为r高为hword/media/image7_1.png

由△ACD∽△AOB得

8ca13e90c4b5f27c3bb89865f8db9f9a.png

由此得feea21909c78a5364accb8f248be292c.png

圆柱体体积

7245f4ab0d36c3b6d80c16988780f6ab.png

由题意，H＞h＞0，利用均值不等式，有

f519f3950e9d48f2a6512a726897e754.png

（注：原“解一”对h求导由驻点解得word/media/image7_1.png）

五．（本题满分15分）

0cf392bebb695b8e37503a8e734da4fa.png（要写出比较过程）word/media/image7_1.png

解一：当0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png>1时，

502e548d3013a1e22e3eb790f3d6e52d.png

解二：

8ab81c55e586d494ef100af0990b40f3.png

4f0809edf3b47d789c726e3a6164d667.png

50018ca0fc1c020b94f0453293e085e8.png

六．（本题满分16分）

word/media/image27.gif A

M P（ρ，θ）

X

O

N B

如图：已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c2word/media/image7_1.png今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线word/media/image7_1.png

解：设P的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，

OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),

ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),

四边形PMON的面积

673526d428f30a0ecf64683bc1b43a5f.png

这个方程表示双曲线word/media/image7_1.png由题意，

动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分word/media/image7_1.png

七．（本题满分16分）

已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形word/media/image7_1.png

B

word/media/image29.gif

M

R

A N

Q D

K S

P

C

证：连结AC，在△ABC中，

∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥ACword/media/image7_1.png

在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，

∴QP∥ACword/media/image7_1.png∴MN∥QPword/media/image7_1.png

同理，连结BD可证MQ∥NPword/media/image7_1.png

∴MNPQ是平行四边形word/media/image7_1.png

取AC的中点K，连BK，DKword/media/image7_1.png

∵AB=BC，∴BK⊥AC，

∵AD=DC，∴DK⊥ACword/media/image7_1.png因此平面BKD与AC垂直word/media/image7_1.png

∵BD在平面BKD内，∴BD⊥ACword/media/image7_1.png∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角word/media/image7_1.png故MNPQ是矩形word/media/image7_1.png

八．（本题满分18分）

Y

word/media/image30.gifx2=2qy

y2=2px

A1

O A2 A3 X

抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切word/media/image7_1.png

解：不失一般性，设p>0,q>0.又设y2=2px的内接三角形顶点为

A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)

因此y12=2px1，y22=2px2 ，y32=2px3word/media/image7_1.png

其中y1≠y2 , y2≠y3 , y3≠y1 .

依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切word/media/image7_1.png

因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，所以原点O不能是所设内接三角形的顶点word/media/image7_1.png即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0）;又因A1A2与x2=2qy相切，所以A1A2不能与Y轴平行，即x1≠x2 , y1≠-y2,直线A1A2的方程是

818069ebf77f284136293c85dee3f9c6.png

9752ea989be21e794b2dfb1c34480067.png

0d59bd9f5b18352f1c223fbfcbedec91.png

同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即

x2≠x3, y2≠-y3,同样得到

e2a6167b9a514eda85a55ba4b143e0c4.png

由（1）（2）两方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.

由上式及y2≠0,得y3≠-y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行word/media/image7_1.png今将y2=-y1-y3代入（1）式得：

b4b26ae2c327411048fd3063738370be.png

(3)式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，即A3A1与抛物线x2=2qy相切word/media/image7_1.png所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，则A3A1也与抛物线x2=2qy相切word/media/image7_1.png

九．（附加题，本题满分20分，计入总分）

已知数列28a07bbf52a2a9c1c3d7a3860d1a2413.png和数列085272f35c68b8f1dbea4f108e365fd3.png其中458ec45e4bf68dd5eca1e739e686d502.png

d395b5f50223e08d007c0891312f442b.png

1．用p,q,r,n表示bn，并用数学归纳法加以证明;

2．求7d8052afe4b7da8161931b75c8f88aa8.png

解：1.∵0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png1=p, 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.pngn=p0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.pngn-1,∴0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.pngn=pn.

又b1=q,

b2=q0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png1+rb1=q(p+r),

b3=q0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png2+rb2=q(p2+pq+r2),…

设想b4969e7bb582450b8978cf4430f21df5.png

用数学归纳法证明：

当n=2时，24e36f7f3d20233757c376b17cb76e24.png等式成立;

设当n=k时，等式成立，即dedb6409200d8582996513bf9ecc94a8.png

则bk+1=q0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.pngk+rbk=72be92d1ef7d501f620dec386d3e1467.png

即n=k+1时等式也成立word/media/image7_1.png

所以对于一切自然数n≥2，9491d7fd3e1b30092ebcd2886edd6b96.png都成立word/media/image7_1.png

d276078315d12634cef3e3b058cbed8b.png

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1982年高考理科数学试题及答案