(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)(3),推荐文档
发布时间:2020-03-21 10:53:23
发布时间:2020-03-21 10:53:23
线性代数超强总结
√ 关于
称为
④
⑤任意一个
√ 行列式的计算:
若
上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.
关于副对角线:
√ 逆矩阵的求法:
④
⑤
√ 方阵的幂的性质:
√ 设
√ 设
√ 用对角矩阵
用对角矩阵
√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
与分块对角阵相乘类似,即:
√ 矩阵方程的解法:设法化成
当
√
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等;
② 它们对应的部分组有一样的线性相关性;
③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 判断
①
②
③
1 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
2 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.
3 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.
4 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关.
5 两个向量线性相关
6 向量组
7 向量组
向量组
8
9
10 若
11 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
12 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
向量组等价
矩阵等价
13 矩阵
矩阵
矩阵
14 向量组
15 向量组
向量组
16 向量组
17 任一向量组和它的极大无关组等价.
18 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.
19 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
20 若
若
线性方程组的矩阵式
矩阵转置的性质: | |||||||
矩阵可逆的性质: | |||||||
伴随矩阵的性质: | |||||||
线性方程组解的性质:
√ 设
当
√ 矩阵的秩的性质:
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
标准正交基
√ 内积的性质: ① 正定性:
② 对称性:
③ 双线性:
施密特
单位化:
正交矩阵
√
√ 正交矩阵的性质:①
②
③
④ 两个正交阵之积仍是正交阵;
⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.
√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的
√ 若
√
√ 若
√ 若
①
② 当
√
√
√
√
√ 若
√ 相似矩阵的性质:①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
√ 数量矩阵只与自己相似.
√ 对称矩阵的性质:
① 特征值全是实数,特征向量是实向量;
② 与对角矩阵合同;
③ 不同特征值的特征向量必定正交;
④
⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有
√ 若
√ 设
√ 若
√ 若
二次型
√ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数.
√ 两个矩阵合同的充分条件是:
√ 两个矩阵合同的必要条件是:
√
√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由
√ 当标准型中的系数
√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.
√ 任一实对称矩阵
√ 用正交变换法化二次型为标准形:
1 求出
2 对
3 构造
4 作变换
正定二次型
正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.
√ 合同变换不改变二次型的正定性.
√ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):
1 正惯性指数为
2
3
4
5 存在可逆矩阵
6 存在正交矩阵,使
√ 成为正定矩阵的必要条件: