2020-2021学年福建省福州市市屏东中学、擢英中学九年级（下）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．长为3cm，4cm，7cm的三条线段围成三角形的事件是（　　）

A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不是

3．如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的，则从左面看得到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．

4．下列运算正确的是（　　）

A．5m﹣2m＝3 B．（﹣a2b）3＝﹣a6b3

C．（b﹣2a）（2a﹣b）＝b2﹣4a2 D．（﹣2m）2（﹣m）3＝4m5

5．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3

6．关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（　　）

A．开口方向向上

B．对称轴是直线x＝1

C．顶点坐标为（1，2）

D．当x＞1时，y随x的增大而减小

7．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）

A． B． C． D．

8．寒假到了，为了让同学们过一个充实而有意义的假期，老师推荐给大家一本好书．已知小芳每天比小荣多看5页书，并且小芳看80页书所用的天数与小荣看70页书所用的天数相等，若设小芳每天看书x页，则根据题意可列出方程（　　）

A． B． C． D．

9．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（　　）

A．18° B．30° C．36° D．40°

10．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是（　　）

A． B． C．34 D．68

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

11．据统计，2020年中国人口数量约为1424000000人，将1424000000人用科学记数法表示为　 　人．

12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．

13．若一组数据1，3，x，4，5，6的平均数是4，则这组数据的众数是　 　．

14．关于x的方程3k﹣5x＝9的解是非负数，则k的取值范围是　 　．

15．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为　 　米．

16．如图，动点P在函数的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值等于　 　．

三、解答题（本大题共9小题，满分86分）

17．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集．

18．（8分）如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD．求证：DE＝CB．

19．（8分）已知一次函数y＝kx﹣2（a≠0）的图象过点M．

（1）求实数k的值；

（2）设一次函数y＝kx﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点N．若点A在y轴上，且S△AMN＝2S△MON，求点A的坐标．

20．（8分）已知△ABC，如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由．

21．（8分）2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有　 　人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有　 　人．

（2）请补全条形统计图．

（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

22．（10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若商贸公司要想获得最大利润，则这种干果每千克应降价多少元？

23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，

（1）求证：△EGC∽△GFH；

（2）求AD的长；

（3）求tan∠GFH的值．

24．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，＝k．

（1）求证：AE＝BF；

（2）求：tanα与tanβ的数量关系；

（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积．

25．（14分）定义：若一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝﹣满足a﹣b＝b﹣c，则称y＝ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数．

（1）判断y＝x+b和y＝﹣是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数；

（2）若y＝5x+b和y＝﹣存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与y＝﹣的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；

（3）若一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝﹣（其中a、b、c为常数，且a＞0，c＞0，a＝b）存在“等差”函数，且y＝ax+b与“等差”函数有两个交点A（x1，y1）、B（x2，y2），试判断“等差”函数图象上是否存在一点P（x，y）（其中x1＜x＜x2），使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年福建省福州市市屏东中学、擢英中学九年级（下）开学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．

故选：A．

2．长为3cm，4cm，7cm的三条线段围成三角形的事件是（　　）

A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不是

【分析】据事件发生的可能性大小判断即可．

【解答】解：∵3+4＝7，

∴长为3cm，4cm，7cm的三条线段不能围成三角形，

∴长为3cm，4cm，7cm的三条线段围成三角形的事件是不可能事件，

故选：B．

3．如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的，则从左面看得到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据简单组合体的三视图的意义可得答案．

【解答】解：从这个组合体的左面看到的是两列，其中第一列为1个，而第二列为2个，

因此选项D中的图形符合题意，

故选：D．

4．下列运算正确的是（　　）

A．5m﹣2m＝3 B．（﹣a2b）3＝﹣a6b3

C．（b﹣2a）（2a﹣b）＝b2﹣4a2 D．（﹣2m）2（﹣m）3＝4m5

【分析】先根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式进行计算，再逐个判断即可．

【解答】解：A.5m﹣2m＝3m，故本选项不符合题意；

B．（﹣a2b）3＝﹣a6b3，故本选项符合题意；

C．（b﹣2a）（2a﹣b）＝﹣（2a﹣b）2＝﹣4a2+4ab﹣b2，故本选项不符合题意；

D．（﹣2m）2（﹣m）3

＝4m2•（﹣m3）

＝﹣4m5，故本选项不符合题意；

故选：B．

5．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3

【分析】根据关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，可以得到a+2a+1＝0，然后即可得到a的值．

【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，

∴a+2a+1＝0，

∴3a+1＝0，

解得a＝﹣，

故选：C．

6．关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（　　）

A．开口方向向上

B．对称轴是直线x＝1

C．顶点坐标为（1，2）

D．当x＞1时，y随x的增大而减小

【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，根据a＝3＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项．

【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，

∴顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，根据a＝3＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，

∴A、B、C说法正确；

D说法错误．

故选：D．

7．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

【解答】解：∵＝，

∴＝，

∵DE∥AB，

∴＝＝，

故选：A．

8．寒假到了，为了让同学们过一个充实而有意义的假期，老师推荐给大家一本好书．已知小芳每天比小荣多看5页书，并且小芳看80页书所用的天数与小荣看70页书所用的天数相等，若设小芳每天看书x页，则根据题意可列出方程（　　）

A． B． C． D．

【分析】关键描述语为：“小芳看80页书所用的天数与小荣看70页书所用的天数相等”；等量关系为：小芳看80页书所用的天数＝小荣看70页书所用的天数．

【解答】解：小芳看80页书所用的天数为：，小荣看70页书所用的天数为：．所列方程为：＝．故选：D．

9．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（　　）

A．18° B．30° C．36° D．40°

【分析】证明四边形AEDF是菱形，推出∠EDF＝∠EAF＝72°可得结论．

【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，

∵BA＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA＝36°，

∴∠EAC＝72°，

∴∠AED+∠EAC＝180°，

∴DE∥AF，

∵AE＝AF＝DE，

∴四边形AEDF是菱形，

∴∠EDF＝∠EAF＝72°，

∵∠EDC＝108°，

∴∠FDC＝36°，

故选：C．

10．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是（　　）

A． B． C．34 D．68

【分析】设点O为AB的中点，H为CE的中点，连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，根据矩形的性质得到CD＝AB，EO＝AD，求得OP＝CE＝AB＝10，过H作HG⊥AB于G，根据矩形的性质得到HG＝12，OG＝5，于是得到结论．

【解答】解：设点O为AB的中点，H为CE的中点，

连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，

∵AB＝20，四边形ABCD为矩形，

∴CD＝AB，BC＝AD，

∴OP＝CE＝AB＝10，

∴CP2+EP2＝2（PH2+CH2）．

过H作HG⊥AB于G，

∴HG＝12，OG＝5，

∴OH＝13，

∴PH＝3，

∴CP2+EP2的最小值＝2（9+25）＝68，

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

11．据统计，2020年中国人口数量约为1424000000人，将1424000000人用科学记数法表示为　1.424×109　人．

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．

【解答】解：1424000000＝1.424×109．

故答案为：1.424×109．

12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≤且x≠0　．

【分析】函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣2x≥0，

即x≤时，二次根式有意义．

又因为0做除数无意义，

所以x≠0．

因此x的取值范围为x≤且x≠0．

故答案为：x≤且x≠0．

13．若一组数据1，3，x，4，5，6的平均数是4，则这组数据的众数是　5　．

【分析】根据题意可以求得x的值，从而可以求的这组数据的众数．

【解答】解：∵一组数据1，3，x，4，5，6的平均数是4，

∴，

解得，x＝5，

∴这组数据是1，3，5，4，5，6，

∴这组数据的众数是5，

故答案为：5．

14．关于x的方程3k﹣5x＝9的解是非负数，则k的取值范围是　k≥3　．

【分析】求出方程的解，根据题意得出≥0，求出不等式的解集即可．

【解答】解：3k﹣5x＝﹣9，

﹣5x＝﹣9﹣3k，

x＝，

∵关于x的方程3k﹣5x＝﹣9的解是非负数，

∴≥0，

解不等式得：k≥3，

∴k的取值范围是k≥3．

故答案是：k≥3．

15．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为　750　米．

【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，

AC＝30×25＝750（米），

∴AD＝AC•sin45°＝375（米）．

在Rt△ABD中，

∵∠B＝30°，

∴AB＝2AD＝750（米）．

故答案为：750．

16．如图，动点P在函数的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值等于　1　．

【分析】要求AF•BE的值，须把AF、BE联系起来，因此过点E、F分别作EC∥OA、FD∥OB，易得AF：AB＝DF：OB，BE：AB＝CE：OA，又OA＝OB＝1，AB＝，CE•DF＝，可得AF•BE＝2×＝1．

【解答】解：如图，过点E、F分别作EC∥OA、FD∥OB，

∴AF：AB＝DF：OB，BE：AB＝CE：OA，

两式相乘，得＝，

∵直线ABy＝﹣x+1交坐标轴与A（1，0）B（0，1）两点，

∴OA＝OB＝1，AB＝，

∵P在的图象上，

∴PM•PN＝CE•DF＝，代入＝中，

得＝，

解得AF•BE＝2×＝1．

故答案为：1．

三、解答题（本大题共9小题，满分86分）

17．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：由①解得x＜4，

由②解得x≥3，

所以不等式组的解集为3≤x＜4．

解集在数轴上表示如下图：

．

18．（8分）如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD．求证：DE＝CB．

【分析】先由角的和差性质证得∠DAE＝∠CAB，再根据SAS定理证明△ADE≌△ACB，最后根据全等三角形的性质得出DE＝CB．

【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，

即∠DAE＝∠CAB，

在△ADE和△ACB中，

，

∴△ADE≌△ACB（SAS），

∴DE＝CB．

19．（8分）已知一次函数y＝kx﹣2（a≠0）的图象过点M．

（1）求实数k的值；

（2）设一次函数y＝kx﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点N．若点A在y轴上，且S△AMN＝2S△MON，求点A的坐标．

【分析】（1）将M（﹣2，4）代入可得．

（2）根据题意可求N（0，﹣2），由S△AMN＝2S△MON，可得NA＝2ON，且N（0，﹣2），可求点A的坐标．

【解答】解：（1）根据题意得：4＝﹣2k﹣2．

∴k＝﹣3．

（2）∵一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点N．

∴当x＝0，y＝﹣2，

∴N（0，﹣2）即ON＝2．

∵S△AMN＝2S△MON．

∴NA＝2ON＝4．

∴A（0，2）或（0，﹣6）．

20．（8分）已知△ABC，如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠BDC的平分线DE；

（2）先根据角平分线的定义得到∠BDE＝∠CDE，再利用三角形外角性质得∠BDC＝∠A+∠ACD，加上∠ACD＝∠A，则∠BDE＝∠A，然后根据平行线的判定方法可判断DE∥AC．

【解答】解：（1）如图，DE为所作；

（2）DE∥AC．理由如下：

∵DE平分∠BDC，

∴∠BDE＝∠CDE，

而∠BDC＝∠A+∠ACD，

即∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ACD，

∵∠ACD＝∠A，

∴∠BDE＝∠A，

∴DE∥AC．

21．（8分）2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有　40　人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有　320　人．

（2）请补全条形统计图．

（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

【分析】（1）用“不了解”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

（2）用8800乘以样本中“比较了解”的学生所占的百分比即可；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式计算．

【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（人）；

∵本次抽取调查的学生中，比较了解”的学生有：40﹣14﹣6﹣4＝16（人），

∴估计该校800名学生中“比较了解”的学生有800×＝320（人），

故答案为：40，320；

（2）补全条形统计图如图：

（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有6个，

∴恰好抽到2名男生的概率为＝．

22．（10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若商贸公司要想获得最大利润，则这种干果每千克应降价多少元？

【分析】（1）由待定系数法即可得到函数的解析式；

（2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出函数解析式求解即可．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，

把（2，120）和（4，140）代入得，，

解得：，

∴y与x之间的函数关系式为：y＝10x+100；

（2）该干果每千克降价x元时，商贸公司获利最大，最大利润是w元，

根据题意得，w＝（60﹣40﹣x）（10x+100）＝﹣10x2+100x+2000，

∴w＝﹣10（x﹣5）2+2250，

故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．

23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，

（1）求证：△EGC∽△GFH；

（2）求AD的长；

（3）求tan∠GFH的值．

【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠的性质得出∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，证得∠EGC＝∠GFH，则可得出结论；

（2）由面积关系可得出GH：AH＝2：3，由折叠的性质得出AG＝AB＝GH+AH＝20，求出GH＝8，AH＝12，则可得出答案；

（3）由勾股定理求出DG＝16，设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，由勾股定理得出方程82+x2＝（16﹣x）2，解出x＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，

由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，

∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，

∴∠EGC＝∠GFH，

∴△EGC∽△GFH．

（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，

∴GH：AH＝2：3，

∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，

∴AG＝AB＝GH+AH＝20，

∴GH＝8，AH＝12，

∴AD＝AH＝12．

（3）解：在Rt△ADG中，DG＝＝＝16，

由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，

∵GH2+HF2＝GF2，

∴82+x2＝（16﹣x）2，

解得：x＝6，

∴HF＝6，

在Rt△GFH中，tan∠GFH＝．

24．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，＝k．

（1）求证：AE＝BF；

（2）求：tanα与tanβ的数量关系；

（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积．

【分析】（1）证明△ABF≌△DAE（AAS），可得出AE＝BF；

（2）由锐角三角函数的定义可得出．证明△AED∽△GBA，得出，可得出结论；

（3）得出∠AED＝∠BFA＝90°，当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，求出S△AOB即可得出答案．

【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED＝∠BFA＝90°，

∴∠ADE+∠DAE＝90°，

∵∠BAF+∠DAE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAF，

∴△ABF≌△DAE（AAS），

∴AE＝BF；

（2）在Rt△DEF和Rt△EFB中，tanα＝，tanβ＝，

∴．

由①可知∠ADE＝∠BAG，∠AED＝∠GBA＝90°，

∴△AED∽△GBA，

∴，

由①可知，AE＝BF，

∴，

∴，

设＝k，AB＝BC，

∴，

∴＝k．

∴tanα＝ktanβ．

（3）∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED＝∠BFA＝90°，

∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧，

同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图．

∵AB＝AD＝4．

∴所围成的图形的面积为S＝S△AOB＝×4×4＝4．

25．（14分）定义：若一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝﹣满足a﹣b＝b﹣c，则称y＝ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数．

（1）判断y＝x+b和y＝﹣是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数；

（2）若y＝5x+b和y＝﹣存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与y＝﹣的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；

（3）若一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝﹣（其中a、b、c为常数，且a＞0，c＞0，a＝b）存在“等差”函数，且y＝ax+b与“等差”函数有两个交点A（x1，y1）、B（x2，y2），试判断“等差”函数图象上是否存在一点P（x，y）（其中x1＜x＜x2），使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）假设存在，根据等差函数定义得出b＝4，从而得出解析式；

（2）根据等差函数定义得出5+c＝2b，即c＝2b﹣5，根据“等差”函数的图象与y＝﹣的图象的一个交点的横坐标为1，列出方程即可求得b，进而求得c，即可解决问题．

（3）存在，由题意a＝b，a+c＝2b，推出b＝2c，a＝3c，则一次函数解析式为y＝3cx+2c，“等差”函数解析式为y＝3cx2+2cx+c，即3x2﹣x﹣1＝0，可得x1+x2＝，x1x2＝﹣，|x1﹣x2|＝＝，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

【解答】解：（1）存在，

假设一次函数y＝x+b与反比例函数y＝﹣存在“等差”函数，

则a＝1，c＝3，a+c＝2b，

解得：b＝2，

∴存在“等差”函数，其解析式为y＝x2+2x+3；

（2）根据题意知：a＝5，5+c＝2b，

∴c＝2b﹣5，

则“等差”函数的解析式为y＝5x2+bx+2b﹣5，反比例函数的解析式为y＝﹣，

根据题意，将x＝1代入，

得：5+b+2b﹣5＝﹣2b+5，解得b＝1，c＝﹣3，

故一次函数的解析式为y＝5x+1，反比例函数的解析式为y＝；

（3）存在．

根据题意知：a＝b，a+c＝2b，

∴b＝2c，a＝3c，

则“等差”函数的解析式为y＝3cx2+2cx+c，一次函数解析式为y＝3cx+2c，

∵y＝3cx+2c与“等差”函数y＝3cx2+2cx+c有两个交点A（x1，y1）、B（x2，y2），

∴3cx2﹣cx﹣c＝0，即3x2﹣x﹣1＝0，

∴x1+x2＝，x1•x2＝﹣，

∴|x1﹣x2|＝＝，

如图，过点P（x，3cx2+2cx+c）作PH⊥x轴，交AB于H，则H（x，3cx+2c），

∵点P（x，y）（其中x1＜x＜x2），

∴P点在A，B之间，

∴PH＝3cx+2c﹣（3cx2+2cx+c）＝﹣3cx2+cx+c，＝﹣3c（x2﹣x﹣）＝﹣3c[（x﹣）2﹣]，

∴S＝|x1﹣x2|•PH＝××{﹣3c[（x﹣）2﹣]}＝﹣c[（x﹣）2﹣]，

∴当x＝时，S取得最大值，最大值为c．

此时点P的坐标是（，c）．

福建省福州市市屏东中学、擢英中学2020-2021学年九年级下学期开学数学试卷 解析版