导数在实际生活中的应用(1)自主学习任务单

一、学习目标

1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用，能全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．

2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

3.能通过实际问题的研究，提高自己分析问题、解决问题以及数学建模能力．

二、学习过程

1．导入新课：导数在实际生活中有着广泛的应用，例如用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.导数是求函数最大(小)值的有力工具, 那么用导数法求函数极值的方法和步骤是什么？求最值问题的步骤是什么？

2．问题导学：你能够用什么方法解决下面的最值问题？

问题1　把长为60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大？

开拓思路：如果设矩形的一边长为word/media/image3_1.png(cm),那么另一边长如何表示？

问题2　把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之各最小？

开拓思路：如果设其中一个正方形边长为word/media/image3_1.png(cm)，那么这两个正方形的面积能表示出来吗？

问题3　做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？

开拓思路：如何设水箱的高与底面棱长？他们之间的关系是什么？

3．例题导析

例1　在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长是多少时，箱子容积最大？最大容

积是多少？

分析：本题为导数在几何方面的应用.

开拓思路1：如果设箱底边长为word/media/image6_1.png(cm),则箱高如何表示？体积与它们之间具有怎样的关系？

开拓思路2：如何确定函数的定义域？

例2　圆柱形金属饮料罐的容积一定时，如何确它的高与底与半径，才能使它的材料最省？

word/media/image7.gif

开拓思路：如何将圆柱的表面积、体积用高word/media/image8_1.png和底面半径word/media/image9_1.png分别表示出来？

变式:　当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值word/media/image10_1.png时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使体积最大？

4.反馈练习

（1）求内接于半径为word/media/image11_1.png的球且体积最大的圆柱的高．

（2）已知一个圆锥的母线长为20cm，那么当圆锥的体积最大时，圆锥的高为多少？

5. 反思总结

（1）解有关函数最值的实际问题，需要考虑什么？

（2）解决实际问题时，如果函数在此区间上只有一个极值点，你有何想法？

（3）如何求解各种函数最值问题？

三、效果检测

1. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？

1.4 导数在实际生活中的应用（1）参考答案

二、学习过程

1．导入新课：

答：用导数法求函数极值的方法和步骤：

①确（确定函数定义域）②求（求函数的导数）

③列（列出函数的单调性表）④写（写出分界点出函数的极值）

求最值问题的步骤：先求极值，再与端点值比较得到最值.

2．问题导学:

问题1：解：设矩形的长为word/media/image3_1.png(cm),则宽为word/media/image17_1.png(cm)，

所以矩形面积word/media/image18_1.png，易知，当且仅当word/media/image19_1.png，即word/media/image20_1.png(cm)时，面积最大.

问题2：解：设其中一个正方形边长为word/media/image3_1.png(cm)，则另一个正方形边长为word/media/image21_1.png(cm)，

所以两个正方形面积之和为word/media/image22_1.png，易知，word/media/image23_1.png(cm)，即两个正方形边长都为12.5cm时，这两个正方形的面积之和最小.

问题3：解：设此水箱的高为word/media/image24_1.pngdm，底面棱长为word/media/image25_1.pngdm，word/media/image26_1.png，

所以其表面积为word/media/image27_1.png

此题用函数不好解决，可以用导数进行求解.

3．例题导析

例1 分析：本题为导数在几何方面的应用.

解：设箱底边长为word/media/image6_1.png(cm),则箱高为word/media/image28_1.png，

箱子的容积为word/media/image29_1.png

由word/media/image30_1.png，解得word/media/image31_1.png(舍)，word/media/image32_1.png.

且当word/media/image33_1.png时，word/media/image34_1.png；当word/media/image35_1.png时，word/media/image36_1.png.

所以函数word/media/image37_1.png在word/media/image38_1.png处取得极大值，这个极大值就是函数word/media/image39_1.png的最大值，即

word/media/image40_1.png.

例2　解：设圆柱的高为word/media/image8_1.png，底面半径为word/media/image9_1.png，则表面积word/media/image41_1.png，

又word/media/image42_1.png，则word/media/image43_1.png,故word/media/image44_1.png,word/media/image45_1.png

由word/media/image46_1.png，解得word/media/image47_1.png,word/media/image45_1.png从而word/media/image48_1.png，即word/media/image49_1.png.

当word/media/image50_1.png时，word/media/image51_1.png；当word/media/image52_1.png时，word/media/image53_1.png.

因此，当word/media/image54_1.png时，word/media/image55_1.png取得极小值，且是最小值.

答：当罐高与罐底的直径相等时，用料最省.

变式:解: 设圆柱的高为word/media/image8_1.png，底面半径为word/media/image9_1.png，则体积word/media/image56_1.png，

又表面积word/media/image57_1.png，则word/media/image58_1.png,

故word/media/image59_1.png，由word/media/image60_1.png，

解得word/media/image61_1.png. 从而word/media/image62_1.png,即word/media/image49_1.png.

答：当罐高与罐底的直径相等时，体积最大.

4.反馈练习（1）word/media/image63_1.png （2）word/media/image64_1.png cm

5. 反思总结

（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义域，所得结果要符合问题的实际意义．

（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值．

（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 ．

三、效果检测

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苏教版高中数学选修1-1第三章《导数在实际生活中的应用(1)》自主学习任务单