说明：（1）定理成立的条件

（2）注意公式重的负号与b的符号的区别

根系关系的几大用处

1 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根； 

例如：已知方程x2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ ）

A． 3，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2

2 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如； 

3 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 

4 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.

（后三种为主）

（1）计算代数式的值

例 若是方程的两个根，试求下列各式的值：

(1)； (2)； (3)； (4)．

解：由题意，根据根与系数的关系得：

(1)

(2)

(3)

(4)

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

，，，

，，

等等．韦达定理体现了整体思想．

（2）构造新方程

理论：以两个数为根的一元二次方程是。

例 解方程组 x+y=5

            xy=6   

解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根

由方程①解得 z1=2,z2=3

∴原方程组的解为 x1=2,y1=3

                 x2=3,y2=2

显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围

例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。

解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2

由题意知

△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4

∴ 为所求。

【典型例题】

例1 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．

(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．

分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．

解：(1) ∵方程两实根的积为5

∴

所以，当时，方程两实根的积为5．

(2) 由得知：

①当时，，所以方程有两相等实数根，故；

②当时，，由于

，故不合题意，舍去．

综上可得，时，方程的两实根满足．

说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．

例2 已知是一元二次方程的两个实数根．

(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．

(2) 求使的值为整数的实数的整数值．

解：(1) 假设存在实数，使成立．

∵ 一元二次方程的两个实数根

∴，

又是一元二次方程的两个实数根

∴

∴

，但．

∴不存在实数，使成立．

(2) ∵

∴ 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，

要使的值为整数的实数的整数值为．

说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．

(2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法．

一元二次方程根与系数的关系练习题

A 组

1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )

A． B． C． D．

2．若是方程的两个根，则的值为( )

A． B． C． D．

3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )

A． B． C． D．

4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )

A． B． C． D．大小关系不能确定

5．若实数，且满足，则代数式的值为( )

A． B． C． D．

6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______

7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．

8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ．

9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ， = _____ ．

10．已知实数满足，则= _____ ， = _____ ， = _____ ．

11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．

13．已知关于的一元二次方程．

(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2) 若方程的两根为，且满足，求的值．

14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．

(1)取何值时，方程存在两个正实数根？

(2) 当矩形的对角线长是时，求的值．

B 组

1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．

(1) 求的取值范围；

(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．

2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．

3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．

(1) 求实数的取值范围；

(2) 若，求的值．

根与系数关系知识讲解及练习