23.5 二次函数的应用（1）

一. 课题 23.5 二次函数的应用

二. 目标分析

1.能正确分析理解函数各量之间关系，列出函数关系式，经历对生活中实际问题的分析、概括、总结、理解的过程，体现函数思想、化归思想，理解运用数学知识建立数学模型，解决实际问题的基本思路，培养灵活运用数学知识解决实际问题的能力和意识.

2.在自主学习和合作交流中尝试解决问题，在合作中培养团队意识，体会实践中获得成功的喜悦.

3.通过学数学、用数学意识的培养，进一步激发学生数学学习的热情，树立学好数学服务于社会的信心.

三. 内容分析

本单元内容是在学过的一次函数应用和二次函数性质的基础上安排的，主要体现函数与生活中熟悉的问题之间的关系，呈现应用数学的学习价值，体会数学源于生活又服务于生活.

重点：应用二次函数解决简单实际问题

难点：数学建模的过程

四. 学情分析

经过初中两年的数学学习，学生思维能力较过去有较大提高，自主探究、合作交流的意识明显增强。因此教学过程中应多创设贴近学生生活的问题情境，激发学生的有意注意，应多为学生创造自主探究、合作交流的机会，让他们勤于动手，从而乐于探究。

五. 教学方法

启发引导与合作交流教学法

六. 教具准备

PPT课件 几何画板

七. 教学过程

（一）类比、设疑引入

我们已经知道函数反映的是两个变量之间的关系，在八年级我们学习了一次函数的性质，知道应用这些知识能解决一些简单实际问题，今天我们已经学习了二次函数的性质，你能运用所学过的知识来解决一些简单实际问题吗？ （出示课题 23.5二次函数的应用）

（二）新知学习

1. 问题1 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长是多少米？

解：设矩形一边长为xm,则另一边长为（20-x）m,面积为S㎡.

由题意 得 S=x(20-x)=-(x-10)2+100

(师提出问题，生回答) 这个抛物线的开口方向是（向下 ），顶点坐标是（10，100 ），有最（大）值，当x=（10 ），S最（大）值=（100）.

即 当围成的矩形水面长为10m,宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100m2

2. 我们再看

问题2 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应地减少10个.

(1) 假设销售单价提高x元，那么这种篮球每月销售量是（500-10x ）个，销售每个篮球所获得的利润是（10+x）元 ；

(2) 设商场每月销售篮球所得利润为y元，则y与x之间的函数关系式可表示为y=（ 500-10x）(10+x).

即 y=-10x2+400x+5000

(3) 篮球销售单价提高多少元时，该商场每月可获得最大利润？最大利润是多少? （学生板演）

( 大 )值=( 9000 )

问题延伸

(4) 篮球销售单价定为( 70 )元时，商场可获得最大利润.

解题小结 （通过上面两个问题的解决我们发现）

在利用二次函数将实际问题转化为数学问题时，要正确地理解两个变量之间的关系；再把量与量之间的关系转化为函数关系式；同时要注意自变量的取值范围不仅要使二次函数有意义，而且应使实际问题有意义。

好！同学们通过上面问题的解决，已掌握了二次函数应用题的解法步骤以及要注意的问题，现在请同学们试着解决下面这个问题

3.试一试

在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)和时间x(s)的关系满足

(1) 经过多长时间炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？

(2) 经过多长时间炮弹落地爆炸?

解：(1)

(2)

4.知识应用

问题3 上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下的关系式

其中h是物体上升的高度，是物体被上抛时竖直的初始速度，g是重力加速度，通常取g=10m/s2 ,t是物体抛出后经过的时间.

在一次排球比赛中,球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s.

(1) 问排球上升的最大高度是多少？

(2) 已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果他要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）

由上式知，抛物线开口向下，顶点坐标为（1，5），所以排球上升的最大高度为5m.

(2)在h=10t-5t2 中 当h=2.5时，有10t-5t2=2.5 (画板演示)

解方程，得 t1≈0.3 t2≈1.7

攻 排球在上升和下落过程中,各有一次经过2.5m高度，但第一次经过时离球被垫起仅有0.3s.要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

因而，该运动员应在球被垫起后0.3s时扣球最佳.

问题延伸 如果该运动员想打高点强攻，还可在何时扣球？(结合图像进一步分析）

如果该运动员想打高点强攻，可在1.7s时扣球.

解题小结 这个问题有两个备选答案，应根据实际情况加以正确选择，这要求同学们平时要多观察、多思考身边的事，要热爱生活.

5. 练一练

心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受能力y与学习知识所用的连续时间xmin之间满足函数关系

y=-0.1x2+2.6x+43 (0≤x≤30)

y的值越大表示接受能力越强.

(1) x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？ x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

　 解: (1) y=-0.1x2+2.6x+43

=-0.1(x-13)2+59.9

　　所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强.

当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降.

(2) 第10min时，学生的接受能力是多少？

解：(2) 当x=10时，y=-0.1(10-13)2 +59.9=59

(3) 第几min时，学生的接受能力最强？

解：(3) X=13时，y取得最大值，

所以，在第13分时，学生的接受能力最强.

（三）小结

1.本节课的学习你有什么收获？

2.解二次函数应用题的一般步骤？

先建立数学模型，把实际问题转化为数学问题；再运用二次函数的性质进行解答；最后对解答进行分析，写出符合要求的答案并作总结性描述.

3.建立数学模型时应注意哪些问题?

正确理解量与量之间的关系,建立正确的函数关系式;注意自变量的取值范围，解要符合实际事物

（四）作业

从下面三题中至少选择两题 ：

1. 课本P27 1；

2. 课本P27 2；

3. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格出售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.

(1) 求平均每天销售量y(箱)与销售价x（元/箱）之间的关系式.

(2) 求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.

(3) 当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

八. 教学后记

本节课重在引导学生理解题意，建立数学模型，在建模过程中应给学生充分的时间去思考，效果会更好。在本节课里还可以插入一些图片和视频，积极调动学生的非智力因素，以更好地发挥多媒体教学的功能。

二次函数的应用 - 求几何图形面积的应用