2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

第I卷（选择题）

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一、选择题

1．已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若 成立，则成立，下列命题成立的是

A．若成立，则对于任意，均有成立；

B．若成立，则对于任意的，均有成立；

C．若成立，则对于任意的，均有成立；

D．若成立，则对于任意的，均有成立。（2007上海文理15）

2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

3． [文科]若word/media/image13_1.png（n是正整数），则word/media/image14_1.png（ ）.

(A)word/media/image15_1.png (B)word/media/image16_1.png (C) word/media/image17_1.png (D) word/media/image18_1.png

[理科] 观察下列式子：word/media/image19_1.png，可以猜想结论为( ) .

(A)word/media/image20_1.png word/media/image21_1.png

(B) word/media/image22_1.pngword/media/image21_1.png

(C) word/media/image23_1.pngword/media/image21_1.png　

(D) word/media/image24_1.pngword/media/image21_1.png

第II卷（非选择题）

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二、填空题

4． 如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

（1）每次只能移动一个金属片；

（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为word/media/image26_1.png；

则：（1）word/media/image27_1.png (2) word/media/image28_1.png .

5． 平面内的1条直线把平面分成两部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则15条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成　　▲　　部分．

6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设是 ▲

7．在直角三角形ABC中，∠C为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥S﹣ABC中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥S﹣ABC外接球的半径为　　．（3分）

8．观察下列等式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…从中可归纳得出第n个等式是 ．

9．在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 .

10．观察下列等式：

由此猜测第个等式为 ▲ ．

11．已知,且, ,…, ,…

,则 ▲ ．

12．对大于或等于2的自然数m的3次方幂有如下分解方式：

2word/media/image40_1.png=3+5,最小数是3, 3word/media/image41_1.png=7+9+11,最小数是7, 4word/media/image42_1.png=13+15+17+19,最小数是13。根据上述分解规律，在9word/media/image43_1.png的分解中，最小数是 。

13．由①矩形的对角线互相平分；②平行四边形的对角线互相平分；③矩形是平行四边形；根据三段论推理出一个结论，则这个三段论中的大前提的序号是

三、解答题

14．已知等比数列word/media/image44_1.png的首项word/media/image45_1.png，公比word/media/image46_1.png，word/media/image47_1.png是它的前word/media/image48_1.png项和.求证：word/media/image49_1.png.

15．已知数列中，，其中.

（1）求； （2）猜想数列的一个通项公式.

16．设≥＞0,求证：≥.

17．类比正弦、余弦有关公式的形式，对于给定的两个函数，写出一个正确的运算公式。

18．在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

试通过类比,写出在空间中的类似结论.

19．设a、b是非负实数，求证：word/media/image69_1.png。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。

（方法一）证明：word/media/image70_1.png

word/media/image71_1.png

word/media/image72_1.png

因为实数a、b≥0，word/media/image73_1.png

所以上式≥0。即有word/media/image69_1.png。

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

word/media/image70_1.pngword/media/image71_1.png

当word/media/image74_1.png时，word/media/image75_1.png，从而word/media/image76_1.png，得word/media/image77_1.png；

当word/media/image78_1.png时，word/media/image79_1.png，从而word/media/image80_1.png，得word/media/image81_1.png；

所以word/media/image69_1.png。

20．已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.

21．设函数．数列满足，．

(Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

(Ⅱ）证明：；

(Ⅲ）设，整数．证明：．（全国一22）

22．已知数列{}和{}满足：对于任何，有，为非零常数），且．

（1）求数列{}和{}的通项公式；

（2）若是与的等差中项，试求的值，并研究：对任意的，是否一定能是数列{}中某两项（不同于）的等差中项，并证明你的结论．（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．

23． (本小题满分16分)

已知数列的前项和为．

（1）计算,根据计算结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明；

（2）试用其它方法求．

24．已知，.

（1）当n=1,2,3时，分别比较与的大小（直接给出结论）；

（2）由(1)猜想与的大小关系，并证明你的结论.

25．设函数word/media/image111_1.png(word/media/image112_1.png为自然对数的底数)，word/media/image113_1.png（word/media/image114_1.png）．

（1）证明：word/media/image115_1.pngword/media/image116_1.png；

（2）当word/media/image117_1.png时，比较word/media/image115_1.png与word/media/image118_1.png的大小，并说明理由；

（3）证明：word/media/image119_1.png（word/media/image114_1.png）．

（本小题满分14分）

26．空间内有个平面，设这个平面最多将空间分成个部分.

(1)求；

(2)写出关于的表达式并用数学归纳法证明.

27．已知数列{an}满足a1=1，且4an+1﹣anan+1+2an=9（n∈N*）．

（1）求a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想．（10分）

28．求Sn=1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）（n∈N*）可用如下方法：

将以上各式相加，得Sn=n（n+1）（n+2），仿此方法，求Sn=1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n∈N*）．（15分）

29．试用两种方法证明：

（1）；

（2）．（本题满分15分）

30． 通过计算可得下列等式：

┅┅

将以上各式分别相加得：

即：

类比上述求法：请你求出的值.

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